人教中考数学 锐角三角函数综合试题及详细答案
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一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.某地是国家AAAA 级旅游景区,以“奇山奇水奇石景,古賨古洞古部落”享誉巴渠,被誉为 “小九寨”.端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”,昂首向天,望穿古今.一个周末,某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离.他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ,想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40,从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60,5CB m =, 2.7CD m =.景区管理员告诉同学们,上嘴尖到地面的距离是3m .于是,他们很快就算出了AB 的长.你也算算?(结果精确到0.1m .参考数据:400.64400.77400.84sin cos tan ︒≈︒≈︒≈,,.2 1.41,3 1.73≈≈)
【答案】AB 的长约为0.6m . 【解析】 【分析】
作BF CE ⊥于F ,根据正弦的定义求出BF ,利用余弦的定义求出CF ,利用正切的定义求出DE ,结合图形计算即可. 【详解】
解:作BF CE ⊥于F ,
在Rt BFC ∆中, 3.20BF BC sin BCF ⋅∠≈=,
3.85CF BC cos BCF ⋅∠≈=,
在Rt ADE ∆E 中,3 1.73tan 3AB DE ADE =
==≈∠, 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+=﹣=,==﹣=
由勾股定理得,22BH AH 0.6(m)AB =+≈, 答:AB 的长约为0.6m .
【点睛】
考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.
2.如图,△ABC 内接于⊙O ,2,BC AB AC ==,点D 为AC 上的动点,且
10cos B =. (1)求AB 的长度;
(2)在点D 运动的过程中,弦AD 的延长线交BC 的延长线于点E ,问AD•AE 的值是否变化?若不变,请求出AD•AE 的值;若变化,请说明理由.
(3)在点D 的运动过程中,过A 点作AH ⊥BD ,求证:BH CD DH =+.
【答案】(1) 10AB ;(2) 10AD AE ⋅=;(3)证明见解析.
【解析】
【分析】(1)过A 作AF ⊥BC ,垂足为F ,交⊙O 于G ,由垂径定理可得BF=1,再根据已知结合RtΔAFB 即可求得AB 长;
(2)连接DG ,则可得AG 为⊙O 的直径,继而可证明△DAG ∽△FAE ,根据相似三角形的性质可得AD•AE=AF•AG ,连接BG ,求得AF=3,FG=
1
3
,继而即可求得AD•AE 的值; (3)连接CD ,延长BD 至点N ,使DN=CD ,连接AN ,通过证明△ADC ≌△ADN ,可得AC=AN ,继而可得AB=AN ,再根据AH ⊥BN ,即可证得BH=HD+CD. 【详解】(1)过A 作AF ⊥BC ,垂足为F ,交⊙O 于G ,
∵AB=AC ,AF ⊥BC ,∴BF=CF=1
2BC=1, 在RtΔAFB 中,BF=1,∴AB=10
cos 10
BF B == (2)连接DG ,
∵AF ⊥BC ,BF=CF ,∴AG 为⊙O 的直径,∴∠ADG=∠AFE=90°, 又∵∠DAG=∠FAE ,∴△DAG ∽△FAE , ∴AD :AF=AG :AE , ∴AD•AE=AF•AG ,
连接BG ,则∠ABG=90°,∵BF ⊥AG ,∴BF 2=AF•FG , ∵22AB BF -=3,
∴FG=
13
, ∴AD•AE=AF•AG=AF•(AF+FG )=3×
10
3
=10; (3)连接CD ,延长BD 至点N ,使DN=CD ,连接AN ,
∵∠ADB=∠ACB=∠ABC ,∠ADC+∠ABC=180°,∠ADN+∠ADB=180°, ∴∠ADC=∠ADN , ∵AD=AD ,CD=ND , ∴△ADC ≌△ADN , ∴AC=AN ,
∵AB=AC ,∴AB=AN , ∵AH ⊥BN , ∴BH=HN=HD+CD.
【点睛】本题考查了垂径定理、三角函数、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等,综合性较强,正确添加辅助线是解题的关键.
3.如图,某无人机于空中A 处探测到目标B D 、的俯角分别是30、60︒︒,此时无人机的飞行高度AC 为60m ,随后无人机从A 处继续水平飞行303m 到达'A 处.
(1)求之间的距离
(2)求从无人机'A 上看目标的俯角的正切值. 【答案】(1)120米;(223
. 【解析】 【分析】
(1)解直角三角形即可得到结论;
(2)过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ,连接'A D ,于是得到'60A E AC ==,
'30CE AA ==3,在Rt △ABC 中,求得DC=
3
3
AC=203,然后根据三角函数的定义即可得到结论. 【详解】
解:(1)由题意得:∠ABD=30°,∠ADC=60°, 在Rt △ABC 中,AC=60m ,
∴AB=sin 30AC
︒
=6012
=120(m )
(2)过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ,连接'A D , 则'60A E AC ==, '30CE AA ==3,
在Rt △ABC 中, AC=60m ,∠ADC=60°,
∴DC=3AC=203
∴DE=503
∴tan ∠A 'A D= tan ∠'A DC=
'A E DE =503=
2
35
答:从无人机'A 上看目标D 的俯角的正切值是
2
35
.
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用,添加辅助线建立直角三角形是解题的关键.
4.已知在平面直角坐标系中,点()()()3,0,3,0,3,8A B C --,以线段BC 为直径作圆,圆心为E ,直线AC 交E 于点D ,连接OD . (1)求证:直线OD 是
E 的切线;
(2)点F 为x 轴上任意一动点,连接CF 交E 于点G ,连接BG :
①当1
an 7
t ACF ∠=时,求所有F 点的坐标 (直接写出); ②求
BG
CF
的最大值. 【答案】(1)见解析;(2)①143,031F ⎛⎫
⎪⎝⎭
,2(5,0)F ;② BG CF 的最大值为12.