昆明市2019届高三复习诊断测试(理科)数学试卷及答案

2
4 12
；16． 3 . 5
三、解答题
17．解：(1)由
a2

2
，
S3

7
得
a1q 2, a1 a1q

a1q 2

7,
解得
a1

4
，
q

1 2
或
a1
1，
q

2
（舍）．
所以
an

4 ( 1)n1 2

( 1 )n3 2
．
(2)由(1)可知：
Sn

a1(1 qn ) 1 q
18．(本小题满分 12 分)
“中国大能手”是央视推出的一档大型职业技能挑战赛类节目，旨在通过该节目，在全社会传
播和弘扬“劳动光荣、技能宝贵、创造伟大”的时代风尚．某公司准备派出选手代表公司参加
“中国大能手”职业技能挑战赛．经过层层选拔，最后集中在甲、乙两位选手在一项关键技能
的区分上，选手完成该项挑战的时间越少越好．已知这两位选手在 15 次挑战训练中，完成
20．(本小题满分 12 分) 如 图 ， 在 四 棱 锥 P ABCD 中 ， 底 面 ABCD 是 平 行 四 边 形 ， PD 平 面 ABCD ， PD AD BD 2 ， AB 2 2 ， E 是棱 PC 上的一点． (1)若 PA ∥平面 BDE ，证明： PE EC ； (2)在(1)的条件下，棱 PB 上是否存在点 M ，使直线 DM 与平面 BDE 所成角的大小 为 30o ？若存在，求 PM : MB 的值；若不存在，请说明理由．
6
6
5
8
34
7
12.6 10.4 18.5 3.0 8.1 16.3
根据表中数据，下列说法正确的是( )
A．利润率与人均销售额成正相关关系
B．利润率与人均销售额成负相关关系
C．利润率与人均销售额成正比例函数关系
D．利润率与人均销售额成反比例函数关系
4．在平面直角坐标系 xOy 中，角 的终边与单位圆交点的横坐标为 3 ，则 cos 2 ( ) 2
由
x my 1,
~23 题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题 ：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．已知向量 a (1,3) ， b (1,t) ，若 (a 2b) a ，则 t
．
14．设
m

0
，
p
:
0

x

m
，
q
:
x
x 1

0
，若
p
是
q
的充分不必要条件，则
m
的值可以
是
y2 b2
1
(a b 0) 的左，右焦点， B 为 C 的短轴的一个端点
直线 BF1 与 C 的另一个交点为 A ，若 △BAF2 为等腰三角形，则
AF1 AF2
(
)
A． 1 3
B． 1 2
C． 2 3
D． 3
8．在平面四边形 ABCD 中， D 90 ， BAD 120 ， AD 1 ， AC 2 ， AB 3 ，
则 BC ( )
A． 5
B． 6
C． 7
D． 2 2
9．数学中有很多公式都是数学家欧拉（Leonhard Euler）发现的，它们都叫做欧拉公式，分
散在各个数学分支之中.任意一个凸多面体的顶点数V 、棱数 E 、面数 F 之间，都满足关
系式V E F 2 ，这个等式就是立体几何中的“欧拉公式”．若一个凸二十面体的每个
A． 5 ， 9
B． 5 ，10
C． 6 ，10
D． 6 ， 9
6．将函数 y sin(2x π) 的图象向右平移 π 个单位长度，则所得图象的对称轴可以为( )
3
6
A． x π 6
B． x π 4
C． x π 3
D． x π 2
7．已知 F1 ，
F2
为椭圆
C
：
x2 a2
．(只需填写一个满足条件的 m 即可)
15．已知点 P(1,
3) 在双曲线 C
：x2 a2

y2 b2
1
(a
0, b 0) 的渐近线上，F
为C
的右焦点，O
为原点，若 FPO 90 ，则 C 的方程为____________．
16．如图，在矩形 OABC 与扇形 OCD 拼接而成的平面图形中， OA 3 ， AB 5 ， COD π ．点 E 在 CD 上， F 在 AB 上， 6 EOF π ．设 AOF x ，则当平面区域 OECBF (阴影部份) 3 的面积取到最大值时， cos x __________．
C． 9 32
D． 3 16
11．设函数
f
(x)

(x2

2x

2)e x

1 x3 3

1 x2 2
的极值点的最大值为
x0
，若
x0
n, n
1
，则整
数 n 的值为( )
A． 2
B． 1
C． 0
D．1
12．已知三棱锥 A BCD 中，底面 BCD 为等边三角形， AB AC AD 3 ， BC 2 3 ，点
据上表中的数据，应用统计软件得下表 2：
均值（单位：秒） 方差
线性回归方程
甲
85
50.2
tˆ甲 1.59x 99.28
乙
84
54
tˆ乙 1.73x 100.25
(1)根据上述回归方程，预测甲、乙分别在下一次完成该项关键技能挑战所用的时间；
(2)若该公司只有一个参赛名额，根据以上信息，判断哪位选手代表公司参加职业技能挑战
A．{1, 0, 1, 2}
B．{1, 0, 1}
C．{1 , 0}
D．{0 , 1}
2．在复平面内，复数
2 1
i
对应的点位于(
)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下：
月份 人均销售额 利润率(%)
1
2
3
45
面均为三角形，则由欧拉公式可得该多面体的顶点数为( )
A．10
B． 12
C．15
D． 20
10．现分配 3 名师范大学生参加教学实习，有 4 所学校可供选择，每名学生随机选择一所学
校，则恰有 2 名学生选择同一所学校的概率为( )
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A． 9 16
B． 3 8
赛更合适？请说明你的理由．
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19．(本小题满分 12 分) 过点 E(1, 0) 的直线 l 与抛物线 C ： y2 4x 交于 A ， B 两点， F 是 C 的焦点． (1)若线段 AB 中点的横坐标为 3 ，求 AF BF 的值； (2)求 AF BF 的取值范围．
的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 π ( R) ． 6
(1)求 C1 的极坐标方程；
(2)若曲线 C2 的极坐标方程为 8cos 0 ，直线 l 与 C1 在第一象限的交点为 A ，与 C2 的交
点为 B (异于原点)，求 AB ．
23．(本小题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲 已知函数 f (x) 2x 1 x 1 ． (1)求不等式 f (x) 1 的解集； (2)若不等式 f (x) x2 x m 的解集为 R ，求实数 m 的取值范围．
E 为 CD 的中点，点 F 为 BE 的中点．若点 M 、N 是空间中的两动点，且 MB NB 2 ， MF NF
MN 2 ，则 AM AN ( )
A． 3
B． 4
C． 6
D． 8
第Ⅱ源自文库 非选择题(共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22
A． 3 2
B． 3 2
C． 1 2
D． 1 2
5．下面是 (a b)n ( n N* )当 n 1， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 时展开式的二项式系数表示形式
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(a b)1 ………………………………………………1 1
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秘密★启用前
【考试时间：1月7日 15∶00—17∶00】
昆明市 2019 届高三复习诊断测试
理科数学试卷
第Ⅰ卷 选择题(60 分)
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。
1．已知集合 A {1, 0 , 1 , 2} ， B {x | (x 1)(x 2) 0} ，则 A B ( )
21．(本小题满分 12 分) 已知函数 f (x) ln x ax ， a R ． (1)讨论 f (x) 的单调性； (2)若函数 f (x) 存在两个零点 x1 ， x2 ，使 ln x1 ln x2 m 0 ，求 m 的最大值．
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yˆ乙 1.7316 100.25 72.57 (秒) (2)甲、乙两位选手完成关键技能挑战成功的次数都为 10 次，失败次数都为 5 次，
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所以，只需要比较他们完成关键技能挑战成功的情况即可，根据所给信息，结合(1)中 预测结果，综合分析，选手乙代表公司参加技能挑战赛更合适，理由如下：
因为在相同次数的挑战练习中，两位选手在关键技能挑战的完成次数和失败次数都分别
相同， x甲 x乙 ，乙选手用时更短；
由于 S甲2 S乙2 ，虽然甲选手的发挥更稳定，但稳定在较大的平均数上，随着训练次数 增加，甲、乙用时都在逐步减少，乙的方差大，说明乙进步更大；
从(1)的计算结果 yˆ乙 yˆ甲 进一步说明，选手乙代表公司参加技能挑战赛更合适。

4(1 1
1
2n 1
)

8(1
1 2n
)

8
．
2
因为 an 0 ，所以 Sn 单调递增．
又因为 S3 7 ，所以当 n 4 时， Sn (7,8) ．
所以， Sn m 恒成立时，又因为 m Z ，故 m 的最小值为 8 ．
18．解：(1)当 x 16 时， yˆ甲 1.59 16 99.28 73.84 (秒)
19．解：(1)设 A(x1, y1) ， B(x2 , y2 ) ，则 x1 x2 6 ，
由抛物线的定义知 AF x1 1， BF x2 1 ,
则 AF BF x1 x2 2 8 ．
(2)设 A(x1, y1) ， B(x2 , y2 ) ,直线 l 的方程为 x my 1 ，
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一、选择题 题号 1 答案 D
昆明市 2019 届高三复习诊断测试 理科数学参考答案
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C AD C B AC B AC B
二、填空题
13． 2 ；14． 1 (填 0 m 1 的值均可) ； 15． x2 y2 1
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．(本小题满分 12 分)
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已知数列 an 是等比数列，公比 q 1 ，前 n 项和为 Sn ，若 a2 2 ， S3 7 ． (1)求 an 的通项公式；
(2)设 m Z ，若 Sn m 恒成立，求 m 的最小值．
该项关键技能挑战所用的时间 t (单位：秒)及挑战失败(用“×”表示)的情况如下表 1：
序号 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
t甲
× 96 93 × 92 × 90 86 × × 83 80 78 77 75
t乙
× 95 × 93 × 92 × 88 83 × 82 80 80 74 73
(a b)2 …………………………………………1 2 1
(a b)3 ……………………………………1
3 31
(a b)4 ………………………………1
4 41
(a b)5 …………………………1
5 10 5
1
(a b)6 ……………………1
6 15 20 15 6
1
借助上面的表示形式，判断 与 的值分别是( )
请考生在第 22、23 题中任选一题作答。并用铅笔在答题卡选考题区域内把所选的题号涂黑。 如果多做，则按所做的第一题计分。 22．(本小题满分 10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程
x 3cost,
在平面直角坐标系
xOy
中，曲线
C1
的参数方程为

y

sin
t,
( t 为参数)．以原点为极点，x 轴