疲劳分析与MSC.Fatigue

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−
a2
2 2σ Y
f P (a ) =
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a − 2 f P ( a ) = 2 e 2σ Y σY
a2
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一、平稳窄带过程的峰值分布
Ø 平稳高斯窄带过程的峰值分布服从瑞利分布
a − 2 f P ( a ) = 2 e 2σ Y σY
a2
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+ a
+∞
0
& ⋅ f (a , y & )dy & y
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γ =∫
+ a
+∞
0
− 2 σ & ⋅ f (a , y & ) dy & = Y& ⋅ e 2σ Y y 2πσ Y
a2
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四、正穿越a的期望频率
Ø 正穿越y＝0的期望频率为
+ γ0 =
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二、窄带过程的理想化自谱
Ø 将响应过程的自谱曲线理想化成直线，用下式描述
S , SY (ω ) = 0 0, ∆ω ∆ω ω0 − ≤ ω ≤ ω0 + 2 2 其它
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三、响应过程的概率密度函数
电子讲稿
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主 讲：马 天 飞
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第 三 章 动力可靠性分析
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第一节 疲劳分析简介
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一、基本概念
1、疲劳（fatigue）： Ø 在某点或某些点。
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一、概念
Ø 一个样本函数在时间T内出现正穿越y＝a的次数，称为 正穿越次数，用 na (T ) 表示；显然它是一个随机变量。
+ na ，表示在时间T内正穿越 (T ) Ø 它的集合平均 N a+ (T ) = E
+
y(t)＝a次数的均值，称为平均正穿越次数。 显然，平均正穿越次数正比于时间段长度T
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一、平稳窄带过程的峰值分布
Ø 峰值小于a的峰出现的概率等于（1- γ / γ ）； Ø 对于峰值 P这个连续型随机变量，其分布函数
+ a + 0
FP (a) = P {P < a} = 1 − γ a+ / γ 0+
Ø 因为Y(t)是平稳窄带过程，所以 γ 0 与a无关，是常数。则 峰值的概率密度函数
FT f (T ) 表示在规定时间T内失效的概率，则可靠度为
PR = 1 − FTf (T )
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二、结构的破坏形式
2、疲劳破坏 Ø 是由响应Y(t)的中、小幅值成份引起的。 Ø 每一个工作循环对结构产生一定的损伤，当累积损伤 达到某一固定值后，结构就破坏。 Ø 疲劳寿命的分析方法根据曼纳（Miner）提出的累积 损伤理论进行。
+ + Na (T ) = γ a T
+ Ø γ a 是单位时间内正穿越y(t)＝a的平均次数，称为期望
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频率或平均频率。
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二、正穿越水平线y＝a的条件
Ø Y(t)在(t,t+dt)时间间隔内正穿越水平线y＝a的条件 是 y(t)<a 且 y(t+dt)>a。 或者可以写成
& (t ) > 0 且 && & (t ) / dt y y (t ) < − y
& (t ) 处 Ø 即 y (t )、y
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二、平稳宽带过程的峰值分布
& (t ) 就有一个负穿越 y & = 0 的点； Ø y(t)有一个峰值，在 y & (t ) 负穿越 y & = 0 的频率。 Ø 因而Y(t)的极大值频率就是 y & (t ) ，显然 有 一次 负穿越 就有一次 正穿 越， Ø 对 于 连续的 y
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一、平稳窄带过程的峰值分布
Ø 峰值分布研究的是响应过程循环幅值的分布情况。 Ø y(t)为一平稳窄带过程Y(t)的样本函数。显然，发生 一次正穿越y=a的事件，必出现一个峰值大于a的峰。
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一、平稳窄带过程的峰值分布
+ Ø 在一足够长的时间T内，正穿越y＝a的平均次数为 γ a T ，
Ø 据此推测，Y(t)也是频率近似为ω0的周期函数，近似
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为变幅变相的正弦波。
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Ø 其导数过程的均值等于原过程均值的导数， µY& = 0 ； S 0 ∆ω 1 +∞ 2 2 Ø 它们的方差 σ Y = E Y (t ) = 2π ∫−∞ SY (ω )d ω = π 3 − ω13 S 0 ω2 σ Y2 ⋅ & = π 3 & (t ) 在同一时刻是正交的，所以 ρ & = 0 。 Ø Y(t)与 Y YY
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三、响应过程的概率密度函数
f ( y) = 1 2πσ Y e
− y2
2 2σ Y
=
1 2 S 0 ∆ω
exp(−
y 2π ) 2 S 0 ∆ω
1 y2 y &2 1 & ) = f ( y) ⋅ f ( y &) = f ( y, y exp − + 2 2 2 σY 2πσ Y σ Y& σ & Y
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三、正穿越水平线y＝a的概率
Ø 在dt时间内y(t)正穿越y＝a的概率等于二维概率密度
& ) 曲面与三角形阴影区域的底面所构成的楔形 函数 f ( y , y
体积。 a− y &> P 1 = P y < aI y dt & ) dydy & = ∫∫ f ( y, y
+
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一、平稳窄带过程的峰值分布
Ø 当Y(t)为平稳高斯过程时，有
− a2 2 2σ Y
γ = γ ⋅e
+ a
+ 0
Ø 则它峰值的分布函数和概率密度函数分别为
FP (a ) = 1 − e
dFP ( a) 1 dγ + =− + ⋅ a da γ 0 da
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第三节 穿 越 分 析
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一、概念
穿越分析研究的是在规定时间T内响应时间历程曲线 正穿越水平线y＝a的次数。 Ø 时间历程曲线穿过水平线y＝a，称为穿越； Ø 若以正斜率穿越y＝a，称为正穿越； Ø 若以负斜率穿越y＝a，则称为负穿越。
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二、结构的破坏形式
2、疲劳破坏 Ø 曼纳认为结构的累计损伤为
∑N
i
ni
i
=D
Ø 当累计数D＝1时，结构便破 坏；而当D<1时，认为结构有一 定损伤但并没有破坏。
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第二节 平稳高斯窄带过程的统计特性
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一、宽带过程与窄带过程
Ø 根据随机过程所含频率成份的多少，即功率谱频带宽窄 的不同，可以分为窄带随机过程和宽带随机过程。 Ø 窄带过程的自功率谱密度 函数具有尖峰特性，并且只 有在尖峰附近的一个很窄的 频带内，才取有意义的量级。 Ø 它的极端情形是相位随机
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& (t ) 负穿越 y & (t ) = 0 的条 这也是 y
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件。
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二、平稳宽带过程的峰值分布
& (t ) 负穿越 y & (t ) = 0 的条件可以写为 Ø 在dt时间内，y
& (t ) > 0 且 y & (t + dt ) < 0 y Ø 在dt内出现峰值的条件是
Ø 当Y(t)为平稳高斯过程时，假设均值为零，则有
− 2 − 2 1 1 & ) = f ( a) f ( y &) = f ( a, y e 2σ Y ⋅ e 2σ Y& 2πσ Y 2πσ Y& a2 &2 y
其期望频率
Ø 从而得到适用于平稳过程正穿越a的期望频率的一般 表达式
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γ =∫
Ø 在dt时间内正穿越y＝a的平均次数为 γ dt 。 Ø 显然，当dt很小时，可以认为dt时间内正穿越y＝a的 平均次数与dt内发生正穿越a的事件的概率是相等的。 即
+ γa dt = dt ∫ +∞ 0
+ a
& ⋅ f (a , y & )dy & y
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四、正穿越a的期望频率
σ Y& 2πσ Y
a2 2 2σ Y
Ø 从而，平稳高斯过程正穿越a的期望频率表达式
+ γa = γ 0+ ⋅ e −
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第四节 峰 值 分 布
Ø 对于平稳过程，总有
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Ø（例题3-1）
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a − y (t ) & (t ) > y (t ) < a 且 y dt
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二、正穿越水平线y＝a的条件
& 坐标中满足上述条件的点都落在 Ø 几何意义：在 yoy
图中三角形阴影区域中，而在该区域之外的点就不会发 生正穿越。
& (t ) dt y (t ) < a 且 y (t ) > a − y
Ø 假设响应Y(t)为平稳高斯过程，则它的一维和二维概率 密度函数取决于 Ø 当τ
µY、µY&、σ Y、σ Y&、ρYY& 。
→ ∞ 时，RY (τ ) → 0 ，即 µY = 0 ；
Ø 自相关函数为减幅正弦波
RY (τ ) = 1 2π
∫
+∞
−∞
SY (ω )e jωτ d ω =
2 S0 sin( ∆ωτ / 2) cos ω0τ π τ
它等于这段时间里出现的峰值大于a的峰的平均个数。
+ Ø 而在这段时间内，正穿越y＝0的平均次数为 γ 0 T 。
Ø 对于窄带过程，所有极大值均出现在y＝0以上，而所有极
+ 小值均出现在y＝0以下，因此 γ 0 T 就等于峰出现的平均个数。 + + Ø 则峰值大于a的峰出现的概率等于 γ a / γ 0 。
& )dy f ( a, y
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&∫ = ∫ dy
0
+∞
a
& ( f ( a, y & ) ⋅ ydt & ) = ∫ dy
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& a − ydt
& )dy f ( y, y
= dt ∫
0
& ⋅ f (a, y & )dy & y
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四、正穿越a的期望频率
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二、结构的破坏形式
1、首次超越（偏移）破坏 是指结构关键部位的随机响应过程Y(t)首次超出上 限值U或下限值L，结构便失效。
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二、结构的破坏形式
1、首次超越（偏移）破坏 假设Tf为发生超限前持续工作的时间，即首次超越 时间。显然Tf为一个连续型的随机变量，其分布函数为 FT f (t ) = P {T f ≤ t} 表示在时刻t之前失效的累计概率。
二、平稳宽带过程的峰值分布
Ø 随机过程 Y(t) 的 极 大 值（ 峰 值）出 现 的 平 均 频率 称 为 极 大值频率。 Ø 平稳宽带过程Y(t)的峰出现 的条件是，在t时刻
& (t ) = 0 且 && y y (t ) < 0
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Ø 曲线关于直线是不对称的； Ø 当 a = σ Y 时，曲线有极大值； Ø 峰值 P非常小或非常大的概率很小，而且大多数峰值都出现在 标准差附近。 （例题3-2）
D
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三、正穿越水平线y＝a的概率
Ø 因为微元时间 dt很小，所以只有在 y(t)非常接近 a的 情况下才会出现正穿越水平线 y=a的事件，可以认为
& ) f (a , y &) f ( y, y
则 &∫ P dy 1 = ∫
0 +∞ 0 +∞ +∞ a
a − ydt &
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变化的正弦波。
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一、宽带过程与窄带过程
Ø 宽带过程的功率谱密度函数在相当宽的频带上取有意义 的量级。
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二、窄带过程的理想化自谱
Ø 单自由度系统在受到宽带激励时，响应过程是窄带过 程。
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Ø 它的极端情形是理想白噪声。