初中圆题型总结

圆的基本题型

纵观近几年全国各地中考题，圆的有关概念以及性质等一般以填空题，选择题的形式考查并占有一定的分值；一般在10分－15分左右，圆的有关性质，如垂径定理，圆周角，切线的判定与性质等综合性问题的运用一般以计算证明的形式考查；利用圆的知识与其他知识点如代数函数，方程等相结合作为中考压轴题将会占有非常重要的地位，另外与圆有关的实际应用题，阅读理解题，探索存在性问题仍是热门考题，应引起注意.下面究近年来圆的有关热点题型，举例解析如下。

一、圆的性质及重要定理的考查

基础知识链接：（1）垂径定理；（2）同圆或等圆中的圆心角、弦、弧之间的关系.(3)圆周角定理及推论 （4）圆内接四边形性质

【例1】（江苏镇江）如图，AB 为⊙O 直径，CD 为弦，且CD AB ⊥，垂足为H ． （1）OCD ∠的平分线CE 交⊙O 于E ，连结OE ．求证：E 为弧ADB 的中点； （2）如果⊙O 的半径为1，3CD =， ①求O 到弦AC 的距离；

②填空：此时圆周上存在 个点到直线AC 的距离为1

2

． 【解析】（1）OC OE =，E OCE ∴∠=∠ 又OCE DCE ∠=∠，E DCE ∴∠=∠． OE CD ∴∥．

又CD AB ⊥，90AOE BOE ∴∠=∠=． E ∴为弧ADB 的中点．

（2）①CD AB ⊥，AB 为⊙O 的直径，3CD =

13

22CH CD ∴==．又1OC =，3

32sin 1CH COB OC ∴∠===．

60COB ∴∠=， 30BAC ∴∠=．

作OP AC ⊥于P ，则11

22OP OA ==．

②3.

A

B

D

E O C

H

【点评】 本题综合考查了利用垂径定理和勾股定理及锐角三角函数求解问题的能力.运用垂径定理时，需添加辅助线构造与定理相关的“基本图形”. 几何上把圆心到弦的距离叫做弦心距,本题的弦心距就是指线段OD 的长.在圆中解有关弦心距半径有关问题时,常常添加的辅助线是连半径或作出弦心距,把垂径定理和勾股定理结合起来解题.如图,⊙O 的半径为r ,弦心距为d ,弦长a 之间

的关系为2

222a r d ⎛⎫

=+ ⎪⎝⎭.根据此公式,在a 、r 、d 三个量中,知道任何两个量就可

以求出第三个量.平时在解题过程中要善于发现并运用这个基本图形. 【例2】 （安徽芜湖）如图，已知点E 是圆O 上的点，

B 、

C 分别是劣弧A

D 的三等分点， 46BOC ∠=， 则AED ∠的度数为 ．

【解析】由B 、C 分别是劣弧AD 的三等分点知，圆心角∠AOB=∠BOC=∠COD, 又46BOC ∠=，所以∠AOD=138º.

根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。从而有AED ∠＝69º. 点评 本题根据同圆或等圆中的圆心角、圆周角的关系。 【强化练习】

【1】.如图，⊙O 是ABC 的外接圆，60BAC ∠=︒，AD ，CE 分别是BC ，AB 上的高，且AD ，CE 交于点H ，求证：AH=AO

(1)如图，在⊙O 中，弦AC ⊥BD ，OE ⊥AB ，垂足为E ，求证：OE=1

2

CD

(2)如图，AC ，BD 是⊙O 的两条弦，且ACBD ，⊙O 的半径为12

，求AB 2＋CD 2

的值。

【2】（第25题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，连接CD，且AE=DE，BC=CE．

（1）求∠ACB的度数；

（2）过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，DE=3，EG=2，求AB的长．

二、直线与圆的位置关系

基础知识链接：

1、直线与圆的位置关系有三种:

⑴如果一条直线与一个圆没有公共点,那么就说这条直线与这个圆相离.

⑵如果一条直线与一个圆只有一个公共点,那么就说这条直线与这个圆相切,此时这条直线叫做圆的切线,这个公共点叫做切点.

⑶如果一条直线与一个圆有两个公共点,那么就说这条直线与这个圆相交,此时这条直线叫做圆的割线,这两个公共点叫做交点.

2、直线与圆的位置关系的判定；

3、弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；

4. 和圆有关的比例线段

（1）相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等；（2）推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项；

（3）切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；

（4）推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

5. 三角形的内切圆

（1）有关概念：三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形、多边形的内切圆、圆的外切多边形；

6、圆的切线的性质与判定。

【例1】（甘肃兰州）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BD 是⊙O 的直径，AE CD ⊥，垂足为E ，DA 平分BDE ∠． （1）求证：AE 是⊙O 的切线；

（2）若301cm DBC DE ∠==，，求BD 的长．

【解析】（1）证明：连接OA ，DA 平分BDE ∠，BDA EDA ∴∠=∠．

OA OD ODA OAD =∴∠=∠，．OAD EDA ∴∠=∠．

OA CE ∴∥．

AE DE ⊥，9090AED OAE DEA ∴∠=∠=∠=，．

AE OA ∴⊥．AE ∴是⊙O 的切线．

（2）BD 是直径，90BCD BAD ∴∠=∠=． 3060DBC BDC ∠=∠=，，120BDE ∴∠=．

DA 平分BDE ∠，60BDA EDA ∴∠=∠=．

30ABD EAD ∴∠=∠=．

在Rt AED △中，90302AED EAD AD DE ∠=∠=∴=，，

． 在Rt ABD △中，903024BAD ABD BD AD DE ∠=∠=∴==，，

． DE 的长是1cm ，BD ∴的长是4cm ．

【点评】证明圆的切线，过切点的这条半径为必作辅助线.即经过半径的外端且

D E C

B

O A

D

E C

B

O

A