加权平均值及其中误差

加权平均值及其中误差

此时当各观测量的精度不相同时，不能按算术平均值（6-17）式和中误差（6-19）及（6-20）式来计算观测值的

最或是值和评定其精度。计算观测量的最或然值应考虑到各观测值的质量和可靠程度，显然对精度较高的观测值，在计算最或然值时应占有较大的比重，反之，精度较低的应占较小的比重，为此的各个观测值要给定一个数值来比较它们的可靠程度，这个数值在测量计算中被称为观测值的权(weight)。显然，观测值的精度愈高，中误差就愈小，

权就愈大，反之亦然。

在测量计算中，给出了用中误差求权的定义公式

)

,,2,1(22

n i m

P i

i ==

μ （6-21）

式中P 为观测值的权，μ为任意常数，m 为各观测值对应的中误差。在用上式求一组观测值的权P i 时，必须采用同一μ值。

当取P =1时，μ就等于m ，即μ=m ，通常称数字为1的权为单位权，单位权对应的观测值为单位权观测值。单位权观测值对应的中误差μ为单位权中误差。

当已知一组非等精度观测值的中误差时，可以先设定μ值，然后按（6-21）式计算各观测值的权。 例如：已知三个角度观测值的中误差分别为m 1=±3″、m 2=±4″、m 3=±5″，它们的权分别为：

2

3

232

2

222

121///m P m P m P μμμ===

若设"3±=μ 则 P 1=1

P 2=9/16

P 3=9/25 若设"1±=μ 则 P '1=1/9 P '2=1/16

P '3=1/25

上例中P 1:P 2:P 3=P '1:P '2:P '3=1:0.56:0.36。可见，μ值取得不同，权值也不同，但不影响各权之间的比例关系。当

"3±=μ时，P 1就是该问题中的单位权，m 1=±3"就是单位权中误差。

中误差是用来反映观测值的绝对精度，而权是用来比较各观测值相互之间的精度高低。因此，权的意义在于它们之间所存在的比例关系，而不在于它本身数值的大小。

对某量进行了n 次非等精度观测，观测值分别为L 1、L 2、…、L n ，相应的权为P 1、P 2、…、P n ，则加权平均值x 就是非等精度观测值的最或是值，计算公式为

[]][212211P PL P P P L P L P L P x n n n =++++++=

（6-22）

显然，当各观测值为等精度时，其权为P 1=P 2=…=P n =1，上式就与求算术平均值的（6-17）式一致。 设L 1…L n 的中误差为m 1…m n ，则根据误差传播定律，由（6-22）可导出加权平均值的中误差为

2

2

22

22

22212

212

][]

[]

[n

n m P P m P P m P P M +

++

=

（6-23）

而

i i P M m 2

2

=

由（6-21）式，有2

2i i m P μ=，代入上式得

[]

[]P )P P P (P M 2

n 2122

2x

μ=

++μ= []P M x μ

±

=

（6-24）

实际计算时，上式中的单位权中误差μ一般用观测值的改正数来计算，其公式为:

[]

1n PVV -±

=μ

（6-25）

【例】 如图6-2所示，从已知水准点A 、B 、C 经三条水准路线，测得E 点的观测高程H i 及水准路线长度S i 。求E 点的最或是高程及其中误差。

计算见表6-3，计算中的定权公式为P i =1/S i 。

表6-3 非等精度观测平差计算

路线

E 点高程H

(m)

路线长

(k

m)

S 1

P =

V (m m)

PVV

精 度 评

定

1 527.459 4.5

0.22 10

22.00 81.72

122

=±

=μ mm

84.878

.081

.7=±

=F M mm

2 527.484 3.2 0.31 -15

69.75 3 527.458 4.0 0.25 11

30.25 x =527.469

0.78

122

最后结果可写成H E =527.469±0.009（m

图6-2水准路线