平均值与标准差
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標準差涵義說明:
由前面的燈泡的例子,若發生於家庭中,換個 燈泡還不是大問題.但是如果發生在無支架的 體育館中,換個燈泡就事態嚴重.因為, 一只燈 泡約20元,而搭個架子也許要20000元.如果 品質差異很小,則可以設定一定時間之后,搭 一次架子,更新全部燈泡.因此,光由平均值尚 不足以明確表示品質的好壞.為了使得平均值 能有效地表示出它的可靠度,才有了“標準差” 這個度量項目.
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方根.
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n-1為自由度,所謂自由度,(請看圖3),假設有 三顆樹,即A.B.C,依序排列成一直線,(3-1)即 自由度的意思.(3個樣本,只有2個間隔,故自 由度取2).
Xi 圖2. 將Xi平方起來
20 30
AB
C
圖3. 三顆樹中兩兩排列
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自由度的定義:
自由度,顧名思意就是自由的程度,也就是不 被限制的程度. 為什麼自由度(ψ)等於n-1呢?為什麼樣本標 準差(s)等於√s/n ,群體標準差(σ)等於 √s/n-1,能以自由度加以解釋嗎?
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平均值(X)的定義為:
1n
X=n Σ Xs 其中: Xs為個別值,n為樣本數,由
S=1
前面範例,平均值為100的組合可以無窮 多組,例如 (0,200),(10,190),(20,180),(40,160)…… 等,(二元一次方程式----(x+y)/2=100), 故依照法律觀點,如果購買者要求賠償,老 板是可以不必賠償.
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標準差的定義:
σ = X差ΣniX係-1距2i 表. 示個別值與平均值之間的 n係表示樣本數;(n-1)為自由度(自 由程度的大小或個數).
將xi平方起來,即是 X,如2i 圖2所示,將它們相加, 即 ; 愈Σ大X2i則Σ表X2示i 品質分佈愈寬,品質愈不 均勻.為了減少數字起見,再除以n-1並開平
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Байду номын сангаас
(Xi係表示個別值與 平均值之差距)
X
Xi
Xi
(圖1.僅是平均值尚不足以 表示品質的好壞)
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例:某人買了二只燈泡,說明書上寫著:“平均壽命 100小時”;結果其中一只點了102小時,另一 只則只點了98小時;平均壽命為100小時,購買 者毫無怨言. (102+98)/2=100(小時) 后來,又買了二只,結果一只點了180小時,另一 只則只點了20小時;平均壽命亦為100小時,這 時購買者會沉默嗎?(180+20)/2=100 (小時)
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譬如:三個人共分一塊餅,第一個人可以隨心 所欲,自由切取任意大小的一片,第二個亦可 如此,但是第三個人卻不能有所選擇,他只能 享用剩下來的一片.換而言之,他受到了限制, 在此種情形下,有二個人可以自由選取,所以 自由度(ψ)=3-1=2.
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方程式X1+X2+X3+...+Xn=K1式中,若X1至 Xn-1之值(n-1個數值)已被決定,則Xn值亦被決 定而不能自由選擇,故上式中之自由度(ψ)等於 n-1.若Xn, Xn-1已知,則 X1+X2+X3+...+Xn=K2式中之自由度等於n3.若X2至Xn均已知,則X1=X3式中的自由度等 於零.故限制的條件愈多,自由度就愈小.前例中 三個人共分一塊餅,若再規定第一個人與第二 個人一樣多,則自由度等於1,若再加規定,第三 個人享用多一倍,則自由度等於零.
淺釋平均值、標準差 與自由度的涵義
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※淺釋平均值,標準差與自由度的涵義
平均值於日常生活中經常被活用,但其所 能提供之資訊相當有限,一般人對於平均 值都以為了很了解,其實若是只知道平均 值而不了解標準差,可以說對平均值沒有 真正了解.
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身為工程人員,若是不了解標準差,則經常會受 到平均值的愚弄而困惑不已,對於平均值而言, 如果缺少標準差,平均值其實是一個無意義的 數字----標準差就是平均值的可靠度.如圖所 示,有兩組數據,它們具有相同的平均值,橫線 代表平均值位置,縱軸則代表個別值的位置;由 圖中很明顯看出,兩組數據具有相同的平均值, 但是,品質的分佈卻截然不同.
標準差涵義說明:
由前面的燈泡的例子,若發生於家庭中,換個 燈泡還不是大問題.但是如果發生在無支架的 體育館中,換個燈泡就事態嚴重.因為, 一只燈 泡約20元,而搭個架子也許要20000元.如果 品質差異很小,則可以設定一定時間之后,搭 一次架子,更新全部燈泡.因此,光由平均值尚 不足以明確表示品質的好壞.為了使得平均值 能有效地表示出它的可靠度,才有了“標準差” 這個度量項目.
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方根.
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n-1為自由度,所謂自由度,(請看圖3),假設有 三顆樹,即A.B.C,依序排列成一直線,(3-1)即 自由度的意思.(3個樣本,只有2個間隔,故自 由度取2).
Xi 圖2. 將Xi平方起來
20 30
AB
C
圖3. 三顆樹中兩兩排列
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自由度的定義:
自由度,顧名思意就是自由的程度,也就是不 被限制的程度. 為什麼自由度(ψ)等於n-1呢?為什麼樣本標 準差(s)等於√s/n ,群體標準差(σ)等於 √s/n-1,能以自由度加以解釋嗎?
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平均值(X)的定義為:
1n
X=n Σ Xs 其中: Xs為個別值,n為樣本數,由
S=1
前面範例,平均值為100的組合可以無窮 多組,例如 (0,200),(10,190),(20,180),(40,160)…… 等,(二元一次方程式----(x+y)/2=100), 故依照法律觀點,如果購買者要求賠償,老 板是可以不必賠償.
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標準差的定義:
σ = X差ΣniX係-1距2i 表. 示個別值與平均值之間的 n係表示樣本數;(n-1)為自由度(自 由程度的大小或個數).
將xi平方起來,即是 X,如2i 圖2所示,將它們相加, 即 ; 愈Σ大X2i則Σ表X2示i 品質分佈愈寬,品質愈不 均勻.為了減少數字起見,再除以n-1並開平
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(Xi係表示個別值與 平均值之差距)
X
Xi
Xi
(圖1.僅是平均值尚不足以 表示品質的好壞)
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例:某人買了二只燈泡,說明書上寫著:“平均壽命 100小時”;結果其中一只點了102小時,另一 只則只點了98小時;平均壽命為100小時,購買 者毫無怨言. (102+98)/2=100(小時) 后來,又買了二只,結果一只點了180小時,另一 只則只點了20小時;平均壽命亦為100小時,這 時購買者會沉默嗎?(180+20)/2=100 (小時)
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譬如:三個人共分一塊餅,第一個人可以隨心 所欲,自由切取任意大小的一片,第二個亦可 如此,但是第三個人卻不能有所選擇,他只能 享用剩下來的一片.換而言之,他受到了限制, 在此種情形下,有二個人可以自由選取,所以 自由度(ψ)=3-1=2.
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方程式X1+X2+X3+...+Xn=K1式中,若X1至 Xn-1之值(n-1個數值)已被決定,則Xn值亦被決 定而不能自由選擇,故上式中之自由度(ψ)等於 n-1.若Xn, Xn-1已知,則 X1+X2+X3+...+Xn=K2式中之自由度等於n3.若X2至Xn均已知,則X1=X3式中的自由度等 於零.故限制的條件愈多,自由度就愈小.前例中 三個人共分一塊餅,若再規定第一個人與第二 個人一樣多,則自由度等於1,若再加規定,第三 個人享用多一倍,則自由度等於零.
淺釋平均值、標準差 與自由度的涵義
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※淺釋平均值,標準差與自由度的涵義
平均值於日常生活中經常被活用,但其所 能提供之資訊相當有限,一般人對於平均 值都以為了很了解,其實若是只知道平均 值而不了解標準差,可以說對平均值沒有 真正了解.
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身為工程人員,若是不了解標準差,則經常會受 到平均值的愚弄而困惑不已,對於平均值而言, 如果缺少標準差,平均值其實是一個無意義的 數字----標準差就是平均值的可靠度.如圖所 示,有兩組數據,它們具有相同的平均值,橫線 代表平均值位置,縱軸則代表個別值的位置;由 圖中很明顯看出,兩組數據具有相同的平均值, 但是,品質的分佈卻截然不同.