129331406890781250平面有限元法作业
第三章作业
3-1：试证明平面三角形单元内任一点的形函数之和恒等于1。
证明1：设单元发生X 方向的刚体位移0u ，则单元内到处应有位移0u ，有
0u u u u m j i ===
()00u u N N N u N u N u N u m j i m m j j i i =++=++=
1=++m j i N N N
若位移函数不满足此要求，则不能反映单元的刚体位移，不能得到正确的结果。#
证明2：设P 是三角形内任一点，可用面积坐标表示为()
m j i L L L P 。由面积坐标的定义和性质知1=++m j i L L L ，且三节点三角形的一点的面积坐标即为其形函数，故平面三角形单元内任一点的形函数之和恒等于1。#
3-2：试证明三角形单元的任一边上的一点的三个形函数与第三个顶点的坐标无关。 证明1：设k 是三角形ij 边上的任一点，点k 面积坐标得
0==m m L N #
证明2：三角形单元是协调单元，必须在单元边界上保持连续性，所以在单元边界上的点的位移只能由边上两个节点的形函数来贡献，否则就会撕裂和重叠，即（如在ij 边上的点）
j
j i i j j i i v N v N v u N u N u +=+=
故三角形的三边上的点的形函数只与边上节点的坐标有关，而与第三点无关。#
3-3：证明三角形单元是常应变单元。
证明：
y x u 321ααα++=，y x v 654ααα++=
2αε=??=
x
u
x 6αε=??=
y
v
y
53ααγ+=??+??=
x
v y u xy # 即三角形单元是常应变单元。
3-4：已知单元刚度矩阵[][][][]tdxdy B D B k T
A e
??=
，试说明[][]D B ,分别是什么矩阵，与单
元的那些特性有关？若厚度为t 的平面三角形常应变单元ijm 的单元刚度矩阵记为：
[][][]
[][][]
[]???
?
?
??
???=mm jm jj im ij ii k k k k k k k 说明子块[]
ij k 的物理意义，并证明[]k 为对称矩阵。
解：[]B 是应变矩阵又称几何矩阵，与单元节点坐标有关；[]D 为弹性矩阵，与材料的弹性常数E 、μ有关。
[]ij
k 表示当节点j 处产生单位位移，其余节点完全被约束时，在节点i 处引起的节点力。
利用矩阵的运算关系
[]
[][][][]
[][][]
[]tA B D B tA B D B k T
T T
T
T
T
T
==
由于[]D 是对称矩阵，[][]D D T
=
所以[][][][][]k tA B D B k T
T
==，即[]k 为对称矩阵。#
3-5：图示平面等腰三角形单元，若3.0=μ，弹性模量为E ，厚度为t ，求形函数矩阵[]N 、应变矩阵[]B 及单元刚度矩阵[]K 。（补充题意：平面应力情况）
解：对平面等腰直角三角形建立图示坐标系。
x
y
m
j i m j i j m m j i x x c y y b y x y x a +-=-=-=
0,,0===i i i c a b a ，a c a b a a a c b a m m m j j j =-=====,,;,0,02
22
1a A =
形函数
a x y c x
b a A y x N i i i i =++=
)(21),( a
y
y c x b a A y x N j j j j =++=)(21),(
a y
a x y x N m --=1),(
形函数矩阵：
[]6
2//10
/0
/0
//10/0/????
?
??----=a y a x a
y a
x a
y a x a y a x N
求应变矩阵
[]?????
?????=????
??????=10000110021a b c c b A
B i i i i i
[]
??????????==0110001a B j ，[]????
?
??
???----==1110011a B m
则
[][][][][]
6
31101101010000100011??????
??
???----==a B B B B m j i 应力矩阵
[][][][][]()
6
32
212
10
2
1210
110
010011???
?????????
?
---------=
=μμμμμμμμ
μa E
S S S S m j i 三角形单元的刚度矩阵
[]()
6
62
232
1121212321
211
10021210210
112?????????????????
??????
???
?-+-------------=
=μμμμμμμμμμμμμ
μ称
对Et DBtA B k T e 等腰直角三角形的单元刚度矩阵与三角形的面积和节点坐标无关，请同学们记住这个结论，
解题时会方便。等边三角形的单元刚度矩阵也有此性质（自行推导）。 代入已知数据得
[]6
635.165.0135.035.03.35.13.035.035.011003.035.035.0035.00182.1?????
???
?????????????--------==称对Et k e
#
3-6：验证矩形单元的位移模式是否满足位移连续性条件。 解：矩形单元如图示，矩形单元的位移模式取为：
xy
y x v xy y x u 87654321αααααααα++++=++++=
在单元的边界a x ±=及b y ±=上，位移是按线性变化的，而在公共边界上有两个节点相连，这两个公共节点有共同的节点位移值，从而保证了两个相邻单元在其公共边界上位移的连续性。故四节点矩形单元满足位移连续性条件。#
3-7：求以下受力单元的等效节点载荷{}R 。已知：m j im ij l l l 、、、q 、P ，厚度t ，P 点作用在jm 中点处，沿x 方向，三角形分布载荷垂直于ij 边。
解：q 的单元2
N/m ，设厚度为t ，如图示
t ql t ql X ij ij i 6330cos 31-=?-=
t ql t ql Y ij ij i 6
1
30sin 31-=?-=
t ql P P t ql X ij ij j 12
3
2230cos 61-=+?-=
t ql t ql Y ij ij j 12
1
30sin 61-=?-=
2
P
X m =，0=m Y
等效节点载荷
{}T
ij ij ij ij P
t ql t ql P t ql t
ql R ??
????----=02
1211232616
3#
3-8：如图a, b, c 所示的半带宽各是多少？从带宽优化的角度出发，那种节点编号最好？
20
2)19(102)14(82)13(=?+==?+==?+=c b a B B B 考虑带宽优化即要求半带宽尽可能的小，故a 图节点编号最好。#
3-9：写出图3-8题a 图网格剖分方案用单元矩阵子块组集成的整体刚度矩阵，标出整体刚度矩阵的阶数。子块编号如下图a ，
解：结构离散为12个单元，12
个节点，故总体刚度
矩阵的阶数为24×24。
用单元矩阵子块表示的整体刚度矩阵为：
??????????????????
??????????
?????????
?=+++++++++++++++++++++++++++++++++++++1212121211121211101111
1110111181010
12912
12109111210999
1110811118810109891110987688
8710877887477
969966896566
76587457655676543255
447434543144
53652355233
32253124
223
32122
11411211100000
0000
0000
00000
00000000
0000000
00000000
0k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k K 称
对
#
3-10：图示的正方形薄板，在对角线顶点作用有沿厚度均匀分布的载荷，其合力为2kN ，板厚为1mm ，为简单起见令0=μ，
1．根据结构特点和受力特点，确定该结构是平面应力问题还是平面应变问题？
2. 画出平板的有限元计算模型（包括单元类型选择、网格划分、单元、节点编号、载荷和约束的处理等）；
3. 写出上述有限元计算模型的节点载荷向量{}R 和节点位移向量{}δ；
4. 按对称性，画出简化的有限元模型。写出由单元刚度矩阵子块组集而成的整体刚度矩阵，并确定整体刚度矩阵的阶数；
5. 写出整体刚度方程，求解方板的变形。
解：1）根据薄板的结构特点与受力情况，确定该问题属于平面应力问题。
2）对平板用4个单元，5个节点进行结构离散，结构离散及约束和载荷的情况见有限元计算模型如右图所示。
3）图示有限元模型的节点载荷向量{}R 和节点位移向量
{}δ为：
{}[]T
R 2000000002000000-=
{}[]T v u v u v u v u v u 5
5443322
11=δ
4）按对称性，简化的有限元计算模型如右图所示。
由单元刚度矩阵子块组集而成的整体刚度矩阵：
[][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][]12
124
664654634564325525443533
25224524424243643354313331321313
2252243123321221211131
1211100
000
000000?++++++++++++??
?
??
?
?
?
???
???????????=k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k K 5）单元节点编码i ，j ，m 如果按上图，则各个单元刚度矩阵相同，等腰直角三角形的单元
刚度矩阵为（题3-5结果）
[]()
6
62
232
1121212321
211
10021210210112?????????????????
??????
?
??
?-+-------------=
μμμμμμμμμμμμμμ称
对Et k e
0=μ
[]6
65.15.015.05.005.05.105.05.01101000
5.05.005.05.005.05.005.05.00010001
2???
?????
?????????????------------=Et k e
总体刚度矩阵
12
125.005
.05.00
5
.00
00
010
1
00000000
5.0035.05
.05.025.005.0005.015.03015.015.0000005.005.15.00015.000
005.015.05.10005.000
0025.00035.015.005
.05.005.01005.035.02000005.01015.035.015.0005.005
.05.05.025.0305.000000000101000
00005.005.05.005
.02????
?
?
?
??
?
??
?
??
?
????
???
?????
??
?
???
??
???----------------------------------------=Et K 边界条件：0654421
======v v v u u u
???
?
?
?
??
?
??
?
??
?
?
???
??????????????????????????????????????????????
???
????????----------------------------------------=??????????????????
????????????????????-0000005.005
.05.00005.00
000101000000005.0035.05.05.025.005.0005.015.03015.015.0000005.005.15.00015.000
005.015.05.10005.0000025.00035.015.005
.05.005
.01
005.035.02000005.01015.035.015.0005.005.05.05.025.0305.000
000
10100000005.005
.05.005
.02000001000653321654421u u v u v v Et Y Y Y X X X
上式利用降阶后解得
??
????
??????????
??????----=??????????????????????E E E E E E u u v u v v /176.0/176.0/37.0/088.0/25.1/25.3653321 本题没有验证，仅供参考。#
3-11 题意（略）
解：单元节点编码i ，j ，m 如果按上图，则各个单元刚度矩阵相同，等腰直角三角形的单元刚度矩阵为（题3-5结果）
[]()
6
62
232
1121212321
211
10021210210112?????????????????
??????
?
??
?-+-------------=
μμμμμμμμμμμμμμ称
对Et k e 0=μ
[]6
65.15.015.05.005.05.105.05.01101000
5.05.005.05.005.05.005.05.00010001
2????????
?????????????------------=Et k e
总体刚度矩阵
8
81441342133
124
212321222
132122110?+++?????????????
?=k k k k k k k k k K 称
对
????????
????
??????????????------------------------=
5.15.05.0010005.05.15.015.05.0005.05.05.1005.0100105.15.005
.05.01005.05.105
.05.05.05.05.0005.1010015.05.005.15.00005.05.015.05
.12Et K 边界条件：0442211
======v u v u v u
??
??????????????????????????????????????????????????------------------------=????????????
??????????????-0000005.15.05.0010005.05.15.015.05.0005.05.05.1005.0100105.15.005.05.01005.05.105.05.05.05.05.0005.1010015.05.005.15.00005.05.015.05
.12033442211v u Et Y X P Y X Y X
????????????=??????-335.1005.120v u Et P 03=u ，Et
P
v 343-
= 本题只计算一遍，仅供参考。#
平面问题的有限元方法,8.6作业,集中力,平面问题
题目：为一个受到集中力P 作用的结构，t=1,试按平面应力问题计算，采用三角形单元，求出节点位移。 假设E 为弹性模量，泊松比ν=61，m N P y 16=,t=1cm,平面应力问题 将结构划成单元，并对其编号。 （1）定义单元
单元定义和有关数据见下表。 j i m j i m i m j i m j m j i m j i x x c y y b x x c y y b x x c y y b +-=-=+-=-=+-=-=,,, 编程为：betai = yj-ym; betaj = ym-yi; betam = yi-yj; gammai = xm-xj; gammaj = xi-xm; gammam = xj-xi; 依次代入节点的坐标求得下表：
i j m △i b j b m b i c j c m c 单元号① 1 （0,1） 2 （0， 0） 3 （1，1） 2 1-1 0 1 1 -1 0 ② 2 （0，0） 4 （1， 0） 3 （1，1） 2 1-1 1 0 0 -1 1 ③ 3 4 5 2 10 -1 1 1 -1 0
（1，1） （1，0） （2，0） ④ 3 （1，1） 5 （2，0） 6 （2，1） 21 -1 0 1 0 -1 1 （2）求各单元的刚度矩阵 从上表可以看出，4个单元刚度不同 单元①的刚度矩阵为： ???? ??????=333231232221 131211 1K K K K K K K K K K ()3,2,1===m j i 其中子矩阵表达式为： ???? ??????-+-+-+-+?-=s r s r s r s r s r s r s r s r rs b b v c c c b b c b c c b c c v b b Et K 21212121)1(42ννννν()m j i s r ,,,=
有限元分析报告大作业
有限元分析》大作业基本要求： 1.以小组为单位完成有限元分析计算，并将计算结果上交； 2.以小组为单位撰写计算分析报告； 3.按下列模板格式完成分析报告； 4.计算结果要求提交电子版，一个算例对应一个文件夹，报告要求提交电子版和纸质版。 有限元分析》大作业 小组成 员： 储成峰李凡张晓东朱臻极高彬月 Job name ：banshou 完成日 期： 2016-11-22 一、问题描述 （要求：应结合图对问题进行详细描述，同时应清楚阐述所研究问题的受力状况 和约束情况。图应清楚、明晰，且有必要的尺寸数据。）如图所示，为一内六角螺栓扳手，其轴线形状和尺寸如图，横截面为一外 接圆半径为0.01m的正六边形，拧紧力F为600N，计算扳手拧紧时的应力分布 图1 扳手的几何结构 数学模型
要求：针对问题描述给出相应的数学模型，应包含示意图，示意图中应有必要的尺寸数据；
图 2 数学模型 如图二所示，扳手结构简单，直接按其结构进行有限元分析。 三、有限元建模 3.1 单元选择 要求：给出单元类型， 并结合图对单元类型进行必要阐述， 包括节点、自由度、 实常数等。） 图 3 单元类型 如进行了简化等处理，此处还应给出文字说
扳手截面为六边形，采用4 节点182单元，182 单元可用来对固体结构进行
二维建模。182单元可以当作一个平面单元，或者一个轴对称单元。它由4 个结点组成，每个结点有2 个自由度，分别在x,y 方向。 扳手为规则三维实体，选择8 节点185单元，它由8 个节点组成，每个节点有3 个自由度，分别在x，y，z 方向。 3.2 实常数 （要求：给出实常数的具体数值，如无需定义实常数，需明确指出对于本问题选择的单元类型，无需定义实常数。） 因为该单元类型无实常数，所以无需定义实常数 3.3材料模型 （要求：指出选择的材料模型，包括必要的参数数据。） 对于三维结构静力学，应力主要满足广义虎克定律，因此对应ANSYS中的线性，弹性，各项同性，弹性模量EX：2e11 Pa, 泊松比PRXY=0.3 3.4几何建模由于扳手结构比较简单，所以可以直接在ANSYS软件上直接建模，在ANSYS建 立正六 边形，再创立直线，面沿线挤出体，得到扳手几何模型 图4 几何建模
ANSYS 有限元分析 平面薄板
《有限元基础教程》作业二：平面薄板的有限元分析 班级：机自101202班 姓名：韩晓峰 学号：0210 一．问题描述： P P h1mm R1mm 10m m 10mm 条件：上图所示为一个承受拉伸的正方形板，长度和宽度均为10mm ，厚度为h 为1mm ，中心圆的半径R 为1mm 。已知材料属性为弹性模量E=1MPa ，泊松比为，拉伸的均布载荷q ＝1N/mm 2。根据平板结构的对称性，只需分析其中的二分之一即可，简化模型如上右图所示。 二．求解过程： 1 进入ANSYS 程序 →ANSYS →ANSYS Product Launcher →File management →input job name: ZY2 →Run 2设置计算类型 ANSYS Main Menu: Preferences →select Structural → OK 3选择单元类型 ANSYS Main Menu: Preprocessor →Element Type →Add/Edit/Delete →Add →select Solid Quad 4node 42 →OK → Options… →select K3: Plane Strs w/thk →OK →Close 4定义材料参数 ANSYS Main Menu: Preprocessor →Material Props →Material Models →Structural →Linear →Elastic →Isotropic →input EX: 1e6, PRXY: → OK 5定义实常数以及确定平面问题的厚度 ANSYS Main Menu: Preprocessor →Real Constants …→Add/Edit/Delete →Add →Type 1→OK →Real Constant Set ,THK:1→OK →Close
重庆大学有限元第一次作业
有限元分析技术课程大作业 科 目：有限元分析技术 教 师： 姓 名： 学 号： 专 业： 机械设计及理论 类 别： 学 术 上课时间： 2016 年 11 月至 2017 年 1 月 考 生 成 绩： 阅卷评语： 阅卷教师 (签名) 重庆大学研究生院
第一章 问题提出 1.1工程介绍 某露天大型玻璃平面舞台的钢结构如图1所示，每个分格（图2中每个最小的矩形即为一个分格）x 方向尺寸为1m ，y 方向尺寸为1m ；分格的列数（x 向分格）=学生序号的百位数值×10+十位数值+5，分格的行数（y 向分格）=学生序号的个位数值+4，如序号为041的同学分格的列数为9，行数为5，111号同学分格的列数为16，行数为5。 钢结构的主梁（图1中黄色标记单元）为高160宽100厚14的方钢管，其空间摆放形式如图3所示；次梁（图1中紫色标记单元）为直径60厚10的圆钢管（单位为毫米），材料均为碳素结构钢Q235；该结构固定支撑点位于左右两端主梁和最中间（如不是正处于X 方向正中间，偏X 坐标小处布置）的次梁的两端，如图2中标记为UxyzRxyz 处。 玻璃采用四点支撑与钢结构连接（采用四点支撑表明垂直作用于玻璃平面的面载荷将传递作用于玻璃所在钢结构分格四周的节点处，表现为点载荷，如图4所示）；试对在垂直于玻璃平面方向的22 /KN m 的面载荷（包括玻璃自重、钢结构自重、活载荷（人员与演出器械载荷）、风载荷等）作用下的舞台进行有限元分析.（每分格面载荷对于每一支撑点的载荷可等效于0.5KN 的点载荷）。 1.2 作业内容 （1）屏幕截图显示该结构的平面布置结构，图形中应反映所使用软件的部分界面，如图1-2； （2）该结构每个支座的支座反力； （3）该结构节点的最大位移及其所在位置； （4）对该结构中最危险单元（杆件）进行强度校核。 图1-1
有限元作业第二次作业
土木工程专业 有限元第二次作业 姓名： 班级： 学号： 指导教师： 二〇一五年 6月12日
习 题：平面应力问题的八节点等参元，已给定8个节点 的坐标。试查资料并论述： 1、单元中位移函数u （ξ，η），v （ξ，η）和单元节点位 移{δe }的关系式； 2、[ B ]矩阵的计算步骤和计算式； 3、单元刚度矩阵[ k e ]的一般计算方法和计算步骤； 4、论述相邻单元间公共边界上位移的连续性； 5、如果给定母单元中点A ， （ξ，η），怎样求实际单元中与 A ，相对应的点A （x ，y ）；反之，如果给定实际单元中的 点A （x ，y ），怎样求其在母单元中对应点A ， （ξ，η）？ 6、如果已经求解得到单元8个节点的位移值{δe }怎样求单 元中某一点B （x ，y ）的应力？ 实际单元 1 2 6 7 Y 1 2 43 67 8η= 1η=﹣1 母单元 ξ= 1 ξ=﹣1
解： 1、此题分两步进行： 单元位移场的表达： 如图1所示,在任意四边形的每边中间设一附加节点，则单元边界就变成二次曲线的了。如果直接在整体坐标系(),x y 下，像八节点矩形元那样，构造双二次多项式的位移插值函数，则因曲边四边形单元边界是二次曲线，故边界上的位移是()x y 或的五次多项式， 它不能由曲边上三个节点的位移分量唯一地决定，从而不能保证相邻两个单元在公共边上位移的协调条件，所以在整体坐标系(),x y 下构造完全协调的位移插值 函数是很困难的，利用坐标变换，可将曲边四边形单元变换成基本单元，如图2所示的在自然坐标(),ξη下具有边长为2的八节点正方形单元，自然坐标系(),ξη是外节点坐标值为±1的局部坐标系。在自然坐标系的单元上构造 协调的位移插值函数，其形状函数是较普通的，取位移分量为,ξη的双二次多项式, 即： 2222 123456782222910111213141516u a a a a a a a a v a a a a a a a a ξηξξηηξηξηξηξξηηξηξη?=+++++++??=+++++++?? （1-1） 利用8 个节点的16 个位移分量可唯一确定16 个待定常数1216,,a a a …,，若代入8个节点的局部坐标值，得： 图1：在总坐标系中具有二 次曲边的四边形单元 图2：在自然坐标系中的 曲边四边形的基本单元
有限元法大作业
有限元法大作业 一平面刚架的程序 用Visual C++编制的平面刚架的源程序如下： ///////////////////////////////////////////////////////程序开始////////////////////////////////////////////////////////////////// #include"iostream.h" #include"math.h" #include"stdlib.h" #include"conio.h" //***************** //声明必要变量 //***************** #define PI 3.141592654 int NE; //单元数 int NJ; //节点数 int NZ; //支承数 int NPJ; //有节点载荷作用的节点数 int NPF; //非节点载荷数 int HZ; //载荷码 int E; //单元码 int fangchengshu; double F[303]; //各节点等效总载荷数值 int dym_jdm[100][2]; //单元码对应的节点码:dym_jdm[][0], dym_jdm[][1]分为前后节点总码 int zhichengweizhi[300]; //记录支持节点作用点的数组 int fjzhzuoyongdanyuan[100]; //非节点载荷作用单元 int fjzhleixing[100]; //非节点载荷类型:1-均布,2-垂直集中,3-平行集中,4-力偶,5-角度集中 double fjzhzhi[100]; //非节点载荷的值 double fjzhzuoyongdian[100]; //非节点载荷在各竿的作用点 double fjzhjiaodu[100]; //非节点载荷作用角度 int jdzhzuoyongdian[100]; //节点载荷作用的节点数组 double jiedianzaihe[101][3];//节点载荷值,其jiedianzaihe[][0]-- jiedianzaihe[][2]分别为U, V, M double zhengtigangdu[303][303]; //整体刚度数组 double changdu[100]; //各单元竿长数组 double jiaodu[100]; //各单元角度数组 double tanxingmoliang[100]; //各单元弹性模量数组 double J_moliang[100]; //各单元J模量数组 double mianji[100]; //各单元面积数组 double weiyi[303]; //记录各个节点位移的数组 double dy_weiyi[100][6]; //各个单元在局部坐标系中的位移数组dy_weiyi[i][0]-dyweiyi[i][6]分别为第i+1单元的u1,v1,@1,u2,v2,@2 double dy_neili[100][6];//各个单元在局部坐标系中的固端内力dy_weiyi[i][0]-dyweiyi[i][6]分别为第i+1单元的U1,V1,M1,U2,V2,M2 double gan_neili[100][6];//各个单元的竿端内力数组,gan_neili[i][6]表示第i+1单元的6内力. //*******************
现代设计方法(关于有限元)作业
《现代设计方法》作业关于有限元法的研究 学院：机械工程学院 专业：机械制造及其自动化
0.有限元法 有限元法分析起源于50年代初杆系结构矩阵的分析。随后，Clough于1960年第一次提出了“有限元法”的概念。其基本思想是利用结构离散化的概念，将连续介质体或复杂结构体划分成许多有限大小的子区域的集合体，每一个子区域称为单元（或元素），单元的集合称为网格，实际的连续介质体（或结构体）可以看成是这些单元在它们的节点上相互连接而组成的等效集合体；通过对每个单元力学特性的分析，再将各个单元的特性矩阵组集成可以建立整体结构的力学方程式，即力学计算模型；按照所选用计算程序的要求，输入所需的数据和信息，运用计算机进行求解。 当前，有限元方法/理论已经发展的相当成熟和完善，而计算机技术的不断革新，又在很大程度上推进了有限元法分析在工程技术领域的应用。然而，如此快速地推广和应用使得人们很容易忽视一个前提，即有限元分析软件提供的计算结果是否可靠、满足使用精度的前提，是合理地使用软件和专业的工程分析。有限元法分析一般包括四个步骤：物理模型的简化、数学模型的程序化、计算模型的数值化和计算结果的分析。每一个步骤在操作过程中都或多或少地引入了误差，这些误差的累积最终可能会对计算结果造成灾难性的影响，进而蒙蔽我们的认识和判断。 1.受内压空心圆筒的轴对称有限元分析 例图1.1所示为一无限长的受内压的轴对称圆筒，该圆筒置于内径为120mm的刚性圆孔中，试求圆筒内径处的位移。结构的材料参数
为：200 =，0.3 E GPa μ=。 图1 结构图 对该问题进行有限元分析的过程如下。 （1）结构的离散化与编号 由于该圆筒为无限长，取出中间一段（20mm高），采用两个三角形轴对称单元，如图1.2所示。对该系统进行离散，单元编号及结点编号如图1.3所示，有关结点和单元的信息见表1.1。 图1.2 有限元模型
第三章平面问题的有限元法作业及答案
第三章 平面问题的有限元法作业 1. 图示一个等腰三角形单元及其节点编码情况，设μ=0，单元厚度为t 。求 1）形函数矩阵[]N ；2）应变矩阵[]B ；3）应力矩阵[]S 。 4 第1题图 第2题图 2. 如题图所示，结构为边长等于a 的正方形，已知其节点位移分别为：11(,)u v 、 22(,)u v 、33(,)u v 、44(,)u v 。试求A 、B 、C 三点的位移。其中A 为正方形形心，B 为三角形形心。 3.直角边边长为l 的三角形单元，如题图所示。试计算单元等效节点载荷列阵（单元厚度为t ，不计自重）。 第3题图 第4题图 4. 如题图所示，各单元均为直角边边长等于l 的直角三角形。试计算（1）单元等效节点载荷列阵；（2）整体等效节点载荷列阵。已知单元厚度为t ，不计自重。
5．下列3个有限元模型网格，哪种节点编号更合理？为什么？ 9 34 6 7912 11 34 6 12142 (a) (b) (c) 第5题图 6.将图示结构画出有限元模型；标出单元号和节点号；给出位移边界条件；并计算半带宽（结构厚度为t ）。 2a (a) (b) 无限长圆筒 (c) 第6题图 7. 结构如图所示，已知结构材料常数E 和 ，单元厚度为t 。利用结构的对称性，采用一个单元，分别计算节点位移和单元应力。 第7题图
答案： 1. 1）形函数 i x N a = ， j y N a = ， 1m x y N a a =-- 2）应变矩阵 []1000101 000101011011B a -????=-??--???? 3）应力矩阵 []100010100 01 0111 110022 2 2S a ? ???-? ?=-????- -? ?? ? 2. A 点的位移为 ()2312A u u u = + ， ()231 2A v v v =+ B 点的位移为 ()24313B u u u u = ++ ， ()2431 3B v v v v =++ C 点的位移为 ()1223C a u u u = + ， ()C 1223 a v v v =+ 3. 单元等效节点载荷列阵为 {}11 11 00003 663 T e i j i j R q q q q ?? =++?? ?? 4. （2）整体等效节点载荷向量为 {}111100006 322T R qlt P qlt P P qlt qlt ?? =-???? 7. （1） 减缩后的整体刚度方程 22 12 2 1222 22221110222021102(1)2 2102x x b b ab R b ab b P v Et ab a b ab ab R v b a μμμ μμμμμμ---??- - ??????????--?????? -??? ?=????---+ +? ???? ?????????-????+?? ? ? 节点位移
有限元作业
有限元作业
有限元分析大作业 学院： 班级： 姓名： 学号： 日期：
试题一（对应第二章） 如图所示，有一受轴向拉伸载荷2000P N =作用的变截面杆件，在0x =处，杆件截面积为2020A mm =，在180x L mm ==处，杆件截面积为201102 A mm =，杆件弹性模量为200GPa ，泊松比为0.3，试建立该杆件的有限元模型，并计算端部位移。（在划分网格时，沿长度方向取三个等长度杆单元） x P 0A 012A L 解：计算分析 000()(1)2(1)2(1)2x x x x A P x A A x A L P x A L P x E EA L σσσε===-=-==-
[ ]00 000022()[ln(2)]ln 2ln(2)12x x x x P dx PL PL u x dx L x L L x x EA EA EA L ε===--=--??- ??? ?? 0() 1.3860.1242mm PL u L EA == 数学建模：将其用二维模型进行降维处理，分为四个节点，三个等长度单元。 后处理
读出最大应力：1.750*10^2mpa 则计算得到右端部位移u（L）=0.12683 轴向位移随杆长变化图如下：
试题二（对应第三章） 一正方形平板,尺寸为40 mm×40 mm,厚度为2 mm,板中央有直径为d的圆孔如下图所示,板材弹性模量为200GPa,泊松比为0.3,在板的左端和右端分别施加20 MPa的拉力载荷.试建立该平板的有限元模型，并分别计算圆孔直 d=5,10,15,20和25mm时，平板开孔应力集中系数。
有限元大作业
风电主轴承有限元分析 XXX 摘要：基于有限元法在接触问题中的应用，对风电主轴承进行非线性分析。以轴承外圈的内表面和内圈的外表面为目标面，以滚子为接触面创建接触对分析滚子的接触应力情况。最大应力值出现在滚子边缘出，对最大承载滚子环向接触应力分析表明，有限元分析结果与理论计算结果相近，验证了利用有限元法分析风电主轴承应力状态的可行性。 关键词：风电主轴承；接触应力；有限元分析 0 引言 随着传统能源的日益枯竭以及环境污染问题愈发严重，风能作为一种清洁的的可再生能源近些年受到越来越多的关注。风力发电技术已广泛运用于世界各地。一些发达国家风力发电产业已得到了迅猛发展，技术日趋成熟，并开始走向产业化规模化发展阶段[1-3]。 风电主轴承是风力发电机重要的组成部分。其结构形式图下图1所示。据统计，如今安装的所有风力发电机中，采用主轴轴承支撑原理的占总数的75-80％[4]，这种支撑是轴承内圈安装在旋转的主轴上，外圈固定在单独的轴承座上，相对于圆锥滚子轴承或圆柱滚子轴承来说，主轴轴承位置处轴产生变形，需要轴承具有一定的调心作用，所以都采用了调心滚子轴承。近年来由于计算机技术的飞速发展，轴承的受力分析计算已经普遍采用有限元分析的方法，能够准确合理地解决轴承复杂的非线性接触问题，为轴承的分析和计算提供了一种新的方法，成为未来的一个发展方向。在机械设备的设计过程中,对受力较大且复杂的零件进行受力分析,校核其整体和局部强度并进行合理的布局设计,是为了防止因应力过大而导致在实际工作中损坏或寿命降低[5]。本文主要运用ANSYS Workbench有限元软件对风电主轴承进行静力学计算，分析轴承内部结构参数对轴承载荷分布和最大接触应力的影响规律。 图1 风电主轴承结构及安装图 1 有限元分析过程 1.1 风电轴承有限元分析基本步骤 不同的物理性质和数学模型的问题,有限元法求解的基本步骤是相同的,只不过 具体公式推导和运算求解不尽相同。有限元分析求解问题的基本计算步骤[6]: 1.问题及求解域定义； 2.求解域离散化； 3.确定状态变量及控制方法； 4.单元推导；
平面问题的有限元法-Read
3 弹性力学平面问题的有限元法 本章包括以下的内容： 3.1弹性力学平面问题的基本方程 3.2单元位移函数 3.3单元载荷移置 3.4单元刚度矩阵 3.5单元刚度矩阵的性质与物理意义 3.6整体分析 3.7约束条件的处理 3.8整体刚度矩阵的特点与存储方法 3.9方程组解法 3.1弹性力学平面问题的基本方程 弹性力学是研究弹性体在约束和外载荷作用下应力和变形分布规律的一门学科。在弹性力学中针对微小的单元体建立基本方程，把复杂形状弹性体的受力和变形分析问题归结为偏微分方程组的边值问题。弹性力学的基本方程包括平衡方程、几何方程、物理方程。 弹性力学的基本假定如下： 1）完全弹性，2）连续，3）均匀，4）各向同性，5）小变形。 3.1.1基本变量 弹性力学中的基本变量为体力、面力、应力、位移、应变，各自的定义如下。 体力 体力是分布在物体体积内的力，例如重力和惯性力。 面力 面力是分布在物体表面上的力，例如接触压力、流体压力。 应力 物体受到约束和外力作用，其内部将产生内力。物体内某一点的内力就是应力。 图3.1
如图3.1假想用通过物体内任意一点p 的一个截面mn 将物理分为Ⅰ、Ⅱ两部分。将部分Ⅱ撇开，根据力的平衡原则，部分Ⅱ将在截面mn 上作用一定的内力。在mn 截面上取包含p 点的微小面积A ?，作用于A ?面积上的内力为Q ?。 令A ?无限减小而趋于p 点时，Q ?的极限S 就是物体在p 点的应力。 S A Q A =??→?0lim 应力S 在其作用截面上的法向分量称为正应力，用σ表示；在作用截面上的切向分量称为剪应力，用τ表示。 显然，点p 在不同截面上的应力是不同的。为分析点p 的应力状态，即通过p 点的各个截面上的应力的大小和方向，在p 点取出的一个平行六面体，六面体的各楞边平行于坐标轴。 图3.2 将每个上的应力分解为一个正应力和两个剪应力，分别与三个坐标轴平行。用六面体表面的应力分量来表示p 点的应力状态。应力分量的下标约定如下： 第一个下标表示应力的作用面，第二个下标表示应力的作用方向。 xy τ，第一个下标x 表示剪应力作用在垂直于X 轴的面上，第二个下标y 表示剪应力指 向Y 轴方向。 正应力由于作用表面与作用方向垂直，用一个下标。x σ表示正应力作用于垂直于X 轴的面上，指向X 轴方向。 应力分量的方向定义如下： 如果某截面上的外法线是沿坐标轴的正方向，这个截面上的应力分量以沿坐标轴正方向为正； 如果某截面上的外法线是沿坐标轴的负方向，这个截面上的应力分量以沿坐标轴负方向为正。 剪应力互等：xz zx zy yz yx xy ττττττ===,, 物体内任意一点的应力状态可以用六个独立的应力分量x σ、y σ、z σ、xy τ、yz τ、zx τ
ansys有限元分析作业经典案例
有 限 元 分 析 作 业 作业名称 输气管道有限元建模分析 姓 名 陈腾飞 学 号 3070611062 班 级 07机制（2）班 宁波理工学院
题目描述： 输气管道的有限元建模与分析 计算分析模型如图1所示 承受内压：1.0e8 Pa R1=0.3 R2=0.5 管道材料参数：弹性模量E=200Gpa；泊松比v=0.26。 图1受均匀内压的输气管道计算分析模型（截面图） 题目分析： 由于管道沿长度方向的尺寸远远大于管道的直径，在计算过程中忽略管道的断面效应，认为在其方向上无应变产生。然后根据结构的对称性，只要分析其中1/4即可。此外，需注意分析过程中的单位统一。 操作步骤 1.定义工作文件名和工作标题 1.定义工作文件名。执行Utility Menu-File→Chang Jobname-3070611062，单击OK按钮。 2.定义工作标题。执行Utility Menu-File→Change Tile-chentengfei3070611062，单击OK按钮。 3.更改目录。执行Utility Menu-File→change the working directory –D/chen 2.定义单元类型和材料属性 1.设置计算类型 ANSYS Main Menu: Preferences →select Structural →OK
2.选择单元类型。执行ANSYS Main Menu→Preprocessor →Element Type→Add/Edit/Delete →Add →select Solid Quad 8node 82 →apply Add/Edit/Delete →Add →select Solid Brick 8node 185 →OK Options…→select K3: Plane strain →OK→Close如图2所示，选择OK接受单元类型并关闭对话框。 图2 3.设置材料属性。执行Main Menu→Preprocessor →Material Props →Material Models →Structural →Linear →Elastic →Isotropic，在EX框中输入2e11，在PRXY框中输入0.26，如图3所示，选择OK并关闭对话框。 图3 3.创建几何模型 1. 选择ANSYS Main Menu: Preprocessor →Modeling →Create →Keypoints →In Active CS →依次输入四个点的坐标：input:1(0.3,0),2(0.5,0),3(0,0.5),4(0,0.3) →OK
有限元作业
有限元作业答卷 一、问题解答 1、解：令2 21()()2()2dy p x q x y f x y dx ????=+-?? ??????? π 则可以得到()()y q x y f x π=-， ()y dy p x dx 'π=，()y d d dy p x dx dx dx '?? π= ??? 又有其Euler 方程公式为：0u u d dx ' ππ- = 综上得到原泛函问题的Euler 方程及其边界条件为： ()()(), [,] (1().1.1),()a b d dy p x q x y f x x a b dx dx y a y y b y ?????-+=∈ ?? ?==?? 2、（1）解：引入Sobolev 空间0V H ( )∞=Ω,任取V v ∈乘以方程两端积分： (((,))(,))(,)k x y u q x y u vdxdy f x y vdxdy Ω Ω -???+=???? 再利用格林公式得到： ((,)(,))(,) (,)u k x y u v q x y uv dxdy k x y vds f x y vdxdy n Ω Γ Ω ????+-=?????? 由边界条件得到： (,) ((,)(,))(,)(,) g x y k x y u v q x y uv dxdy f x y vdxdy k x y vds n Ω Ω Γ ????+=+?????? 令 A(,)((,)(,))(,) F()(,)(,)u v k x y u v q x y uv dxdy g x y v f x y vdxdy k x y vds n Ω ΩΓ ?=???+?????=+???????? 得变分方程 A(,)F(), (1.2.1)u v v v V =∈ 其解0u H ()∞∈Ω便为椭圆型方程第一边值问题的Galerkin 意义广义解。 （2）证：下面用Lax-Milgram 定理证明广义解的存在唯一性。 首先，由Hilbert 空间的Schwarz 不等式得到 1 (,)V f v f v f v v ≤≤?∈
有限元 2-弹性力学平面问题有限单元法(2.1三角形单元,2.2几个问题的讨论)资料
第2章 弹性力学平面问题有限单元法 2.1 三角形单元(triangular Element) 三角形单元是有限元分析中的常见单元形式之一，它的优点是: ①对边界形状的适应性较好，②单刚形式及其推导比较简单,故首先介绍之。 一、结点位移和结点力列阵 设右图为从某一结构中取出的一典型三角形单元。 在平面应力问题中，单元的每个结点上有沿x 、y 两个方向的力和位移，单元的结点位移列阵规定为： 相应结点力列阵为: (式2-1-1) 二、单元位移函数和形状函数 前已述及，有限单元法是一种近似方法，在单元分析中，首先要求假定（构 造）一组在单元内有定义的位移函数作为近似计算的基础。即以结点位移为已知量，假定一个能表示单元内部（包括边界）任意点位移变化规律的函数。 构造位移函数的方法是：以结点(i,j,m)为定点。以位移(u i ,v i ,…u m v m )为定点上的函数值，利用普通的函数插值法构造出一个单元位移函数。 在平面应力问题中，有u,v 两个方向的位移,若假定单元位移函数是线性的,则可表示成: (,)123 u u x y x y ααα==++ 546(,)v v x y x y ααα==++ (2-1-2)a 式中的6个待定常数α1 ,…, α6 可由已知的6个结点位移分量(3个结点的坐标) {}??? ?? ?????=????? ???? ?????????????=m j i m e d d d d m j j i v u v u v u i {} i i j j m X Y X (2-1-1)Y X Y i e j m m F F F F ?? ?? ???? ???? ??==??????????????????
弹性力学平面问题的有限元法
Mmm 3 弹性力学平面问题的有限元法 本章包括以下的内容： 3.1弹性力学平面问题的基本方程 3.2单元位移函数 3.3单元载荷移置 3.4单元刚度矩阵 3.5单元刚度矩阵的性质与物理意义 3.6整体分析 3.7约束条件的处理 3.8整体刚度矩阵的特点与存储方法 3.9方程组解法 3.1弹性力学平面问题的基本方程 弹性力学是研究弹性体在约束和外载荷作用下应力和变形分布规律的一门学科。在弹性力学中针对微小的单元体建立基本方程，把复杂形状弹性体的受力和变形分析问题归结为偏微分方程组的边值问题。弹性力学的基本方程包括平衡方程、几何方程、物理方程。 弹性力学的基本假定如下： 1）完全弹性，2）连续，3）均匀，4）各向同性，5）小变形。 3.1.1基本变量 弹性力学中的基本变量为体力、面力、应力、位移、应变，各自的定义如下。 体力 体力是分布在物体体积内的力，例如重力和惯性力。 面力 面力是分布在物体表面上的力，例如接触压力、流体压力。 应力 物体受到约束和外力作用，其内部将产生内力。物体内某一点的内力就是应力。
图3.1 如图3.1假想用通过物体内任意一点p 的一个截面mn 将物理分为Ⅰ、Ⅱ两部分。将部分Ⅱ撇开，根据力的平衡原则，部分Ⅱ将在截面mn 上作用一定的内力。在mn 截面上取包含p 点的微小面积A ?，作用于A ?面积上的内力为Q ?。 令A ?无限减小而趋于p 点时，Q ?的极限S 就是物体在p 点的应力。 S A Q A =??→?0lim 应力S 在其作用截面上的法向分量称为正应力，用σ表示；在作用截面上的切向分量称为剪应力，用τ表示。 显然，点p 在不同截面上的应力是不同的。为分析点p 的应力状态，即通过p 点的各个截面上的应力的大小和方向，在p 点取出的一个平行六面体，六面体的各楞边平行于坐标轴。 图3.2 将每个上的应力分解为一个正应力和两个剪应力，分别与三个坐标轴平行。用六面体表面的应力分量来表示p 点的应力状态。应力分量的下标约定如下： 第一个下标表示应力的作用面，第二个下标表示应力的作用方向。 xy τ，第一个下标x 表示剪应力作用在垂直于X 轴的面上，第二个下标y 表示剪应力指 向Y 轴方向。
有限元分析大作业报告要点
有限元分析大作业报告 试题1： 一、问题描述及数学建模 图示无限长刚性地基上的三角形大坝，受齐顶的水压力作用，试用三节点常应变单元和六节点三角形单元对坝体进行有限元分析，并对以下几种计算方案进行比较： （1）分别采用相同单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算； （2）分别采用不同数量的三节点常应变单元计算； （3）当选常应变三角单元时，分别采用不同划分方案计算。 该问题属于平面应变问题，大坝所受的载荷为面载荷，分布情况及方向如图所示。 二、采用相同单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算 1、有限元建模 （1）设置计算类型：两者因几何条件和载荷条件均满足平面应变问题，故均取Preferences 为Structural （2）选择单元类型：三节点常应变单元选择的类型是Solid Quad 4 node182；六节点三角形单元选择的类型是Solid Quad 8 node183。因研究的问题为平面应变问题，故对Element behavior（K3）设置为plane strain。 （3）定义材料参数：弹性模量E=2.1e11，泊松比σ=0.3 （4）建几何模型：生成特征点；生成坝体截面 （5）网格化分：划分网格时，拾取lineAB和lineBC，设定input NDIV 为15；拾取lineAC，设定input NDIV 为20，选择网格划分方式为Tri+Mapped，最后得到600个单元。
（6)模型施加约束：约束采用的是对底面BC 全约束。大坝所受载荷形式为Pressure ，作用在AB 面上，分析时施加在L AB 上，方向水平向右，载荷大小沿L AB 由小到大均匀分布。以B 为坐标原点，BA 方向为纵轴y ，则沿着y 方向的受力大小可表示为： }{*980098000)10(Y y g gh P -=-==ρρ 2、 计算结果及结果分析 （1） 三节点常应变单元 三节点常应变单元的位移分布图 三节点常应变单元的应力分布图
重庆大学研究生有限元大作业
姓名：色学号：2 专业：机械工程类别：学术 上课时间：2015年11 月至2016 年 1 月考生成绩： 阅卷评语： 阅卷教师(签名)
有限元分析技术作业 姓名: 色序号: 是学号: 2 一、题目描述及要求 钢结构的主梁为高160宽100厚14的方钢管，次梁为直径60厚10的圆钢管（单位为毫米），材料均为碳素结构钢Q235；该结构固定支撑点位于左右两端主梁和最中间。主梁和次梁之间是固接。试对在垂直于玻璃平面方向的2kPa的面载荷（包括玻璃自重、钢结构自重、活载荷（人员与演出器械载荷）、风载荷等）作用下的舞台进行有限元分析。 二、题目分析 根据序号为069，换算得钢结构框架为11列13行。由于每个格子的大小为1×1（单位米），因此框架的外边框应为11000×13000（单位毫米）。 三、具体操作及分析求解 1、准备工作 执行Utility Menu：Fi le→Clear＆start new 清除当前数据库并开始新的分析，更改文件名和文件标题，如图 1.1。选择GUI filter，执行Main Menu: Preferences→Structural→OK，如图1.2所示 图1.1清除当前数据库并开始新的分析 1
2 图1.2 设置GUI filter 2、选择单元类型。 执行Main Menu: Preprocessor →Element Type →Add/Edit/Delete →Add→ select→ BEAM188，如图2.1。之后点击OK(回到Element Types window) →Close 图2.1选择单元 3、定义材料属性 该钢结构材料为碳素结构钢Q235，其弹性模量为210GPa ，执行Main Menu→Preprocessor →Material Props →Material Models →Structural →Linear →Elastic →Isotropic ，此处协调单位制为mmkgs ，故EX 设为2.1E8, PRXY 设置
有限元分析报告大作业
基于ANSYS软件的有限元分析报告 机制1205班杜星宇U201210671 一、概述 本次大作业主要利用ANSYS软件对桌子的应力和应变进行分析,计算出桌子的最大应力和应变。然后与实际情况进行比较,证明分析的正确性,从而为桌子的优化分析提供了充分的理论依据，并且通过对ANSYS软件的实际操作深刻体会有限元分析方法的基本思想，对有限元分析方法的实际应用有一个大致的认识。 二、问题分析 已知：桌子几何尺寸如图所示，单位为mm。假设桌子的四只脚同地面完全固定，桌子上存放物品，物品产生的均匀分布压力作用在桌面，压力大小等于300Pa，其中弹性模量E=9.3GPa，泊松比μ=0.35，密度ρ=560kg/m3，分析桌子的变形和应力。
将桌脚固定在地面，然后在桌面施加均匀分布的压力，可以看作对进行平面应力分析，桌脚类似于梁单元。由于所分析的结构比较规整且为实体，所以可以将单元类型设为八节点六面体单元。 操作步骤如下： 1、定义工作文件名和工作标题 （1）定义工作文件名：执行Utility Menu/ File/Change Jobname，在弹出Change Jobname 对话框修改文件名为Table。选择New log and error files复选框。 （2）定义工作标题：Utility Menu/File/ Change Title，将弹出Change Title对话框修改工作标题名为The analysis of table。 （3）点击：Plot/Replot。 2、设置计算类型 （1）点击：Main Menu/Preferences,选择Structural,点击OK。
有限元作业
1.试题2 图示薄板左边固定，右边受均布压力P=100Kn/m 作用，板厚度为0.3cm ；试采用如下方案，对其进行有限元分析，并对结果进行比较。 1）三节点常应变单元；（2个和200个单元） 2）四节点矩形单元；（1个和50个单元） 3）八节点等参单元。（1个和20个单元） 解答过程如下： 定义材料为钢，参数为E=2e11N/m 2，泊松比v=0.3，根据题意，作为平面应力问题处理 1） 三节点常应变单元 采用plane 42 element ，在mesh 时，选择tri ，从而得到三节点常应变单元。 1.1）2个单元 ANSYS 计算分析过程：直接先生成Nodes ，构成Elements ，进行解算，得到von-mises stress 分布图如图1.1.1所示。最大应力为SMX=100801Pa 。 图1.1.1 2个三节点常应变单元Von-Mises 应力结果 1.2）200个单元 由于精确划分为200个单元不易实现，而题目意思在于比较不同单元数目下求解结果正确性和精确性，本题取208个单元。
ANSYS实现方式：在mesh时将两侧lines上分段12段，上下lines上分段7段，从而得到如图1.2.1所示208个三节点常应变单元，求解得到Von-Mises应力分布如图1.2.2所示。根据图示得最大应力为SMX=103633Pa。 2）四节点矩形单元 采用plane 42 element，左侧边界all dofs约束，右侧施加均布载荷。 2.1）1个单元 直接creat 4个nodes控制薄板图形，生成element得到1个四节点矩形单元。ANSYS 计算求解得到如图2.1.1所示Von-Mises应力分布图。得到SMX=105264Pa。 图2.1.1 1个四节点矩形单元Von-Mises应力分布图 2.2）50个单元 对lines进行划分，两侧划分为10段，上下lines分为5段，从而mesh得到50个四节点矩形单元，如图2.2.1所示。解算得如图2.2.2所示应力图，SMX=112962Pa。 图1.2.2 208个三节点常应变 单元Von-Mises分布图图2.1.1 208个三节点常应变 单元的单元分布图
有限元课程作业
2016 年秋季学期研究生课程考核 （读书报告、研究报告） 考核科目:有限元及工程软件 学生所在院（系）:航天工程与力学系 学生所在学科:工程力学 学生姓名:衡忠超 学号:16S118156 学生类别:应用型 考核结果阅卷人
1算例一带孔平板的应力分析 问题描述：一个承受拉力的平板，在其中心位置有一圆孔，结构尺寸如下图所示。要求分析圆孔应力集中处的Mises应力。 材料特性：弹性模量E=210GPa，泊松比为0.3 平板厚度：1mm， 拉伸载荷：P=100MPa。 1.1前处理 该问题是一个对称问题，取右上1/4部分进行分析。设置一个（Static，General）分析步即可。 草图： 各向同性材料：
边界条件： 满足变形协调的对称边界条件。 载荷为Shell edge load，进过转化得到边界载荷为100N/mm。 网格-S4R单元 1.2计算 采用默认设置进行计算。 1.3后处理 Mises等效应力云图，可以发现在圆孔部分应力最大。圆孔应力集中处，Mises
等效应力为247.4MPa。 若采用完整模型计算，Mises等效应力云图如下所示，可以发现其和1/4模型计算结果完全一致。
2算例二大型带孔支架刚度计算 题目要求：支架一端牢固地焊接在一个大型结构上，支架的圆孔穿过一个相对较软的杆件，圆孔和杆件用螺纹连接。材料的弹性模量为210GPa，泊松比为0.3。支架有两种工况： 1、杆件的一端受到y轴负向的集中力2kN，其大小随时间变化。 2、支架的自由端在局部区域受到均布切力36MPa。 试分析在两种工况下支架挠度随时间的变化情况；内圆角处的最大主应力。根据计算结果进行改进设计，减少应力集中。 2.1前处理 该问题是一个平面应力问题，并且为轴对称问题，所以去模型的二分之一进行分析。设置两个（Static，General）分析步即可，第一步加载集中力2KN，第二步加载剪切力。材料为各向同性材料。 建模几何：本模型建模较为复杂，先进行截面草图绘制，不考虑顶部倒角和圆孔。拉伸之后得到一个实体，再进行顶部倒圆角和底部圆孔切除。