第七讲-自由曲线与曲面造型
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（u） （u） （u）
（u） t 15 0
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t
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• 1975 年 ， 美 国 锡 拉 丘 兹 （ Syracuse ） 大 学 的 佛 斯 普 里 尔 （Versprill）提出了有理B样条方法。 • 80 年代后期皮格尔（ Piegl ）和蒂勒（ Tiller ）将有理 B 样条发展 成非均匀有理B样条(NURBS)方法，并已成为当前自由曲线和曲面描述 的最广为流行的技术。
k 0
p(u,v )
i 0 j0 m n i 0 j0
m
n
i ,j i ,j
d N i,k (u ) N j,l ( v )
i ,j
N i,k (u ) N j,l ( v )
•非均匀有理B样条（NURBS）成为当前大多数商用 CAD软件系统的内部 表达技术。
Solid Edge
从美学和外形功能要求的角度可对构造模型进行评价和修改。
对构造曲面生成NC加工程序，以完成对该曲面的加工。 平面模型 Subdivision 曲面模型
1.2 工业产品的形状分类及其表示
1. 工业产品的形态：
规则形体
自由曲面形体
规则形体:是仅由初等解析曲面(例如平面、圆柱面、圆锥面、球 面、圆环面等)组成，大多数机械零件属于这一类，可以用画法几 何与机械制图的方法完全清楚表达和传递所包含的全部形状信息。 自由曲面形体:是不能由初等解析曲面组成，而以复杂方式自由变 化的曲线曲面即所谓自由型曲线曲面组成，例如飞机、汽车、船 舶的外形零件。这一类形状单纯用画法几何与机械制图是不能表 达清楚的。 自由曲线和曲面因不能由画法几何与机械制图方法表达清楚， 成为工程师们首要解决的问题。人们一直在寻求用数学方法唯一 定义自由曲线和曲面的形状。
█ 对形状数学描述的要求
• 从计算机对形状处理的角度来看 （3）易于定界
（4）统一性：
统一的数学表示，便于建立统一的数据库
1.3 形状的数学描述
█ 对形状数学描述的要求
• 从形状表示与设计的角度来看 （1）丰富的表达能力：表达两类曲线曲面 （2）易于实现光滑连接
（3）形状易于预测、控制和修改
• 从其他角度来看 （1）导数易计算 （2）易渲染 （3）易碰撞检测 一般不存在对所有条 件都满足的形状数学 描述方法！！！
第七讲 几何造型
自由曲线与曲面设计基础－1
赵欢喜
本讲教学内容
1、自由曲线与曲面造型概论
2、曲线曲面的一般参数样条表达 3、Bezier曲线 4、B样条曲线 5、NURBS曲线 6、OpenGL曲线绘制
曲线与曲面的一些例子
1.1 表面形状表示模型
☼本课题研究的是形体的表面造型（表面模型）
平面模型：用多边形网格描述形体表面（Subdivision）。 曲面模型：用曲面片代替平面模型中的小平面片（NURBS）。
• 1974 年 ， 美 国 通 用 汽 车 公 司 的 戈 登 （ Gorden ） 和 里 森 费 尔 德 （Riesenfeld）将B样条理论用于形状描述，提出了B样条曲线和曲面。
Ni ，
Ni+1 ，
3
Ni+2 ，
3
Ni+3 ，
3
1 若t i u t i 1 N i ,0 (u ) 0 其它 N (u ) (u t i ) N i ,k 1 (u ) (t i k 1 u ) N i 1,k 1 (u ) i ,k tik ti t i k 1 t i 1 0 / 0 0 n C(u ) Pi N i ,k (u )
4. 易于处理多值问题和斜率无穷大的情形。
5. 易于计算曲线、曲面上的点。而隐式方程需求解非线 性或超越方程，另外，求导、等距的计算也被简化； 6. 参数方程中，代数、几何相关和无关的变量是完全分 离的，而且对变量个数不限，从而便于用户把低维空 间中曲线、曲面扩展到高维空间去。这种变量分离的 特点使我们可以用数学公式处理几何分量。
图 Ferguson曲面
• 1964年，美国麻省理工学院的孔斯（Coons）用封闭曲线的四条边界 定义一张曲面。同年，舍恩伯格（ Schoenberg ）提出了参数样条曲线、 曲面的形式。
• 1971年，法国雷诺（Renault）汽车公司的贝塞尔（Bezier）发表 了一种用控制多边形定义曲线和曲面的方法。
Inventor
Pro/E
UG NX
CATIA
有关基本概念介绍
位置矢量 p(t)
化直平面
法平面
密切平面
切矢 T=dp / dt
主法矢: N= dT/dc (弧长) 曲率k : dT/dt
曲率半径: 1/k
副法矢B, 三个平面
插值：给定一组有序的数据点Pi，i=0, 1, …, n，构造一条曲线
顺序通过这些数据点，称为对这些数据点进行插值，所构造的 曲线称为插值曲线。常用插值方法有线性插值、抛物线插值等。 逼近：构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点， 称为对这些数据点进行逼近，所构造的曲线为逼近曲线。 拟合：插值和逼近则统称为拟合（fitting）。 光滑与光顺
█ 曲线的表示形式
非参数表示 • 显式表示
y f(x ) z g(x )
• 隐式表示
f(x ,y ,z ) 0 g(x ,y ,z ) 0
█ 曲线的表示形式（曲面同学们自己写）
参数表示
x x(t ) y y(t ) z z(t )
• 参数的含义
t [a,b ]
• 时间，距离，角度，比例等等 • 规范参数区间[0，1]
█曲面的显式与隐式表示
显式表示:如曲面方程z=f(x，y)，式中每个z值对应唯一的x、y 值，该表示计算非常方便，但无法描述多值或封闭面，如球。
隐式表示:如曲面f(x,y，z)=0，这种表示不便于由已知的参量x， y计算z值
- 1 = 0
█曲面的参数表示
参数表示优点
2. 易于规定曲线、曲面的范围。
曲线曲面表示的几何不变性 是指它们不依赖于坐标系的 选择或者说在旋转和平移变 换下不变的性质
1. 易于满足几何不变性的要求，可以对参数方程直接进行几 何变换，节省计算量。
3. 有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。 例如：一条二维三次曲线的显式表示为：
• 1963年美国波音飞机公司的佛格森（Ferguson）最早引入参数三次 曲线，将曲线曲面表示成参数矢量函数形式，构造了组合曲线和由四 角点的位置矢量、两个方向的切矢定义的佛格森双三次曲面片。
Q’ 0 Q0
t= 0
Q0 1 Q’ 1 Q1
t= 1 v
Q1 1
Q0 0 图 Ferguson曲线
u
Q1 0
曲线设计与建模
我们如何有效、快速地设计、表达和绘 制自由曲线？
灵活的模型 容易计算 直观、用户友好的交互界面
我们的选择:
参数曲线
• 多项式参数曲线 • Bezier
为什么用参数曲线？
一条曲线可用多边形、折线段来近似
不能缩放 需要较多的点来使“曲线”看上去光滑
曲线也可以隐式地指定: f(x,y) = 0.
Bézier的历史
上世纪60年代，Bézier 曲线和曲面由 Pierre Bézier 和 Paul de Casteljau分别提出，最初 是用于汽车自动化生产的计算机建模。
Pierre Bezier: (1910 –1999)
雷诺的一名法国工程师
Paul de Casteljau: (1930 – )
u
Q1 0
图 Ferguson曲面
• 1964年，美国麻省理工学院的孔斯（Coons）用封闭曲线的四条边界 定义一张曲面。同年，舍恩伯格（ Schoenberg ）提出了参数样条曲线、 曲面的形式。
1.4 曲线曲面造型发展历程
• 1963年美国波音飞机公司的佛格森（Ferguson）最早引入参数三次 曲线，将曲线曲面表示成参数矢量函数形式，构造了组合曲线和由四 角点的位置矢量、两个方向的切矢定义的佛格森双三次曲面片。
Q’ 0 Q0
t= 0
Q0 1 Q’ 1 Q1
t= 1 v
Q1 1
Q0 0 图 Ferguson曲线
u
Q1 0
图 Ferguson曲面
• 1964年，美国麻省理工学院的孔斯（Coons）用封闭曲线的四条边界 定义一张曲面。同年，舍恩伯格（ Schoenberg ）提出了参数样条曲线、 曲面的形式。
1.4 曲线曲面造型发展历程
1.4 曲线曲面造型发展历程
• 1963年美国波音飞机公司的佛格森（Ferguson）最早引入参数三次 曲线，将曲线曲面表示成参数矢量函数形式，构造了组合曲线和由四 角点的位置矢量、两个方向的切矢定义的佛格森双三次曲面片。
Q’ 0 Q0
t= 0
Q0 1 Q’ 1 Q1
t= 1 v
Q1 1
Q0 0 图 Ferguson曲线
1 若t i u t i 1 N ( u ) i ,0 0 其它 N (u ) (u t i ) N i ,k 1 (u ) (t i k 1 u ) N i 1,k 1 (u ) i ,k tik ti t i k 1 t i 1 0 / 0 0
但难于制图
参数曲线可以指明运动的点在时刻t时的位置
2D曲线的参数方程
坐标方程
也可以写成向量形式
我们可以容易地计算移动点的速度V(t)
曲线上点P(t) 的切向量也是 V(t).
多项式参数曲线
x(t) 和 y(t) 都是多项式方程
记为向量形式
例：三次曲线
多项式曲线的优点：容易计算、可微
曲面造型(Surface Modeling)是计算机辅助几何设计 (Computer Aided Geometric Design, CAGD)和计算机 图形学的一项重要内容，主要研究在计算机图象系统 的环境下对曲线曲面的表示、设计、显示和分析。
它起源于汽车、飞机、船舶、叶轮等的外形放样工 艺，由Coons、BeziΒιβλιοθήκη Baidur等大师于二十世纪六十年代奠定 其理论基础。 经过三十多年的发展，曲面造型现在已形成了以有 理B样条曲面(Rational B-spline Surface)为基础的参数 化特征设计和隐式代数曲面(Implicit Algebraic Surface) 表示这两类方法为主体，以插值(Interpolation)、逼近 (Approximation)这二种手段为骨架的几何理论体系。
1.2 工业产品的形状分类及其表示
几点注释：
(1) 本课程主要介绍NURBS造型技术。但传统的NURBS模型仅允许调 整控制顶点或权因子来局部改变曲面形状。 (2)不同于工业产品外形设计，计算机动画业和其他实体造型业需要与 曲面表示方法无关的变形方法或形状调配方法。这些内容不在本课程的教 学范围内，另外，曲面变形、曲面重建、曲面简化、曲面转换和曲面等距 性等等内容本课程也不涉及。有兴趣的同学可参看有关书籍资料。 (3）采用何种工业产品形态的决定因素：
为什么不用标准多项式来设 计？
为什么不用标准多项式来设 计？
Bezier的解决方案
Bezier的解决方案
Bezier 的解决方案
在这个例子里，Bezier使用 { (1-t)2, 2(1-t)t, t2 } (而不是幂函数 { 1, t, t2 })作 为基函数，使得系数具有了某种直观的 意义，是什么？
纯美学要求 产品性能对形态的要求 产品结构唯一性要求
1.3 形状的数学描述
█ 对形状数学描述的要求
• 从计算机对形状处理的角度来看
（1）唯一性
（2）几何不变性（形状跟坐标系无关） 对在不同测量坐标系测得的同一组数据点进行插值、逼近、 拟合，用同样的数学方法得到的拟合曲线形状不变。
1.3 形状的数学描述
y ax3 bx 2 cx d
只有四个系数控制曲线的形状。 而采用二维三次曲线的参数表达式为：
P(t) a1t 3 a 2t 2 a3t a 4 b1t 3 b2t 2 b3t b4
则有8个系数可用来控制此曲线的形状。
t [0,1]
参数表示优点（续）
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（u） （u） （u）
（u） t 15 0
i ＋
t
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• 1975 年 ， 美 国 锡 拉 丘 兹 （ Syracuse ） 大 学 的 佛 斯 普 里 尔 （Versprill）提出了有理B样条方法。 • 80 年代后期皮格尔（ Piegl ）和蒂勒（ Tiller ）将有理 B 样条发展 成非均匀有理B样条(NURBS)方法，并已成为当前自由曲线和曲面描述 的最广为流行的技术。
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i 0 j0 m n i 0 j0
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N i,k (u ) N j,l ( v )
•非均匀有理B样条（NURBS）成为当前大多数商用 CAD软件系统的内部 表达技术。
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从美学和外形功能要求的角度可对构造模型进行评价和修改。
对构造曲面生成NC加工程序，以完成对该曲面的加工。 平面模型 Subdivision 曲面模型
1.2 工业产品的形状分类及其表示
1. 工业产品的形态：
规则形体
自由曲面形体
规则形体:是仅由初等解析曲面(例如平面、圆柱面、圆锥面、球 面、圆环面等)组成，大多数机械零件属于这一类，可以用画法几 何与机械制图的方法完全清楚表达和传递所包含的全部形状信息。 自由曲面形体:是不能由初等解析曲面组成，而以复杂方式自由变 化的曲线曲面即所谓自由型曲线曲面组成，例如飞机、汽车、船 舶的外形零件。这一类形状单纯用画法几何与机械制图是不能表 达清楚的。 自由曲线和曲面因不能由画法几何与机械制图方法表达清楚， 成为工程师们首要解决的问题。人们一直在寻求用数学方法唯一 定义自由曲线和曲面的形状。
█ 对形状数学描述的要求
• 从计算机对形状处理的角度来看 （3）易于定界
（4）统一性：
统一的数学表示，便于建立统一的数据库
1.3 形状的数学描述
█ 对形状数学描述的要求
• 从形状表示与设计的角度来看 （1）丰富的表达能力：表达两类曲线曲面 （2）易于实现光滑连接
（3）形状易于预测、控制和修改
• 从其他角度来看 （1）导数易计算 （2）易渲染 （3）易碰撞检测 一般不存在对所有条 件都满足的形状数学 描述方法！！！
第七讲 几何造型
自由曲线与曲面设计基础－1
赵欢喜
本讲教学内容
1、自由曲线与曲面造型概论
2、曲线曲面的一般参数样条表达 3、Bezier曲线 4、B样条曲线 5、NURBS曲线 6、OpenGL曲线绘制
曲线与曲面的一些例子
1.1 表面形状表示模型
☼本课题研究的是形体的表面造型（表面模型）
平面模型：用多边形网格描述形体表面（Subdivision）。 曲面模型：用曲面片代替平面模型中的小平面片（NURBS）。
• 1974 年 ， 美 国 通 用 汽 车 公 司 的 戈 登 （ Gorden ） 和 里 森 费 尔 德 （Riesenfeld）将B样条理论用于形状描述，提出了B样条曲线和曲面。
Ni ，
Ni+1 ，
3
Ni+2 ，
3
Ni+3 ，
3
1 若t i u t i 1 N i ,0 (u ) 0 其它 N (u ) (u t i ) N i ,k 1 (u ) (t i k 1 u ) N i 1,k 1 (u ) i ,k tik ti t i k 1 t i 1 0 / 0 0 n C(u ) Pi N i ,k (u )
4. 易于处理多值问题和斜率无穷大的情形。
5. 易于计算曲线、曲面上的点。而隐式方程需求解非线 性或超越方程，另外，求导、等距的计算也被简化； 6. 参数方程中，代数、几何相关和无关的变量是完全分 离的，而且对变量个数不限，从而便于用户把低维空 间中曲线、曲面扩展到高维空间去。这种变量分离的 特点使我们可以用数学公式处理几何分量。
图 Ferguson曲面
• 1964年，美国麻省理工学院的孔斯（Coons）用封闭曲线的四条边界 定义一张曲面。同年，舍恩伯格（ Schoenberg ）提出了参数样条曲线、 曲面的形式。
• 1971年，法国雷诺（Renault）汽车公司的贝塞尔（Bezier）发表 了一种用控制多边形定义曲线和曲面的方法。
Inventor
Pro/E
UG NX
CATIA
有关基本概念介绍
位置矢量 p(t)
化直平面
法平面
密切平面
切矢 T=dp / dt
主法矢: N= dT/dc (弧长) 曲率k : dT/dt
曲率半径: 1/k
副法矢B, 三个平面
插值：给定一组有序的数据点Pi，i=0, 1, …, n，构造一条曲线
顺序通过这些数据点，称为对这些数据点进行插值，所构造的 曲线称为插值曲线。常用插值方法有线性插值、抛物线插值等。 逼近：构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点， 称为对这些数据点进行逼近，所构造的曲线为逼近曲线。 拟合：插值和逼近则统称为拟合（fitting）。 光滑与光顺
█ 曲线的表示形式
非参数表示 • 显式表示
y f(x ) z g(x )
• 隐式表示
f(x ,y ,z ) 0 g(x ,y ,z ) 0
█ 曲线的表示形式（曲面同学们自己写）
参数表示
x x(t ) y y(t ) z z(t )
• 参数的含义
t [a,b ]
• 时间，距离，角度，比例等等 • 规范参数区间[0，1]
█曲面的显式与隐式表示
显式表示:如曲面方程z=f(x，y)，式中每个z值对应唯一的x、y 值，该表示计算非常方便，但无法描述多值或封闭面，如球。
隐式表示:如曲面f(x,y，z)=0，这种表示不便于由已知的参量x， y计算z值
- 1 = 0
█曲面的参数表示
参数表示优点
2. 易于规定曲线、曲面的范围。
曲线曲面表示的几何不变性 是指它们不依赖于坐标系的 选择或者说在旋转和平移变 换下不变的性质
1. 易于满足几何不变性的要求，可以对参数方程直接进行几 何变换，节省计算量。
3. 有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。 例如：一条二维三次曲线的显式表示为：
• 1963年美国波音飞机公司的佛格森（Ferguson）最早引入参数三次 曲线，将曲线曲面表示成参数矢量函数形式，构造了组合曲线和由四 角点的位置矢量、两个方向的切矢定义的佛格森双三次曲面片。
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Q0 1 Q’ 1 Q1
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Q0 0 图 Ferguson曲线
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曲线设计与建模
我们如何有效、快速地设计、表达和绘 制自由曲线？
灵活的模型 容易计算 直观、用户友好的交互界面
我们的选择:
参数曲线
• 多项式参数曲线 • Bezier
为什么用参数曲线？
一条曲线可用多边形、折线段来近似
不能缩放 需要较多的点来使“曲线”看上去光滑
曲线也可以隐式地指定: f(x,y) = 0.
Bézier的历史
上世纪60年代，Bézier 曲线和曲面由 Pierre Bézier 和 Paul de Casteljau分别提出，最初 是用于汽车自动化生产的计算机建模。
Pierre Bezier: (1910 –1999)
雷诺的一名法国工程师
Paul de Casteljau: (1930 – )
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图 Ferguson曲面
• 1964年，美国麻省理工学院的孔斯（Coons）用封闭曲线的四条边界 定义一张曲面。同年，舍恩伯格（ Schoenberg ）提出了参数样条曲线、 曲面的形式。
1.4 曲线曲面造型发展历程
• 1963年美国波音飞机公司的佛格森（Ferguson）最早引入参数三次 曲线，将曲线曲面表示成参数矢量函数形式，构造了组合曲线和由四 角点的位置矢量、两个方向的切矢定义的佛格森双三次曲面片。
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Q0 0 图 Ferguson曲线
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• 1964年，美国麻省理工学院的孔斯（Coons）用封闭曲线的四条边界 定义一张曲面。同年，舍恩伯格（ Schoenberg ）提出了参数样条曲线、 曲面的形式。
1.4 曲线曲面造型发展历程
1.4 曲线曲面造型发展历程
• 1963年美国波音飞机公司的佛格森（Ferguson）最早引入参数三次 曲线，将曲线曲面表示成参数矢量函数形式，构造了组合曲线和由四 角点的位置矢量、两个方向的切矢定义的佛格森双三次曲面片。
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1 若t i u t i 1 N ( u ) i ,0 0 其它 N (u ) (u t i ) N i ,k 1 (u ) (t i k 1 u ) N i 1,k 1 (u ) i ,k tik ti t i k 1 t i 1 0 / 0 0
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参数曲线可以指明运动的点在时刻t时的位置
2D曲线的参数方程
坐标方程
也可以写成向量形式
我们可以容易地计算移动点的速度V(t)
曲线上点P(t) 的切向量也是 V(t).
多项式参数曲线
x(t) 和 y(t) 都是多项式方程
记为向量形式
例：三次曲线
多项式曲线的优点：容易计算、可微
曲面造型(Surface Modeling)是计算机辅助几何设计 (Computer Aided Geometric Design, CAGD)和计算机 图形学的一项重要内容，主要研究在计算机图象系统 的环境下对曲线曲面的表示、设计、显示和分析。
它起源于汽车、飞机、船舶、叶轮等的外形放样工 艺，由Coons、BeziΒιβλιοθήκη Baidur等大师于二十世纪六十年代奠定 其理论基础。 经过三十多年的发展，曲面造型现在已形成了以有 理B样条曲面(Rational B-spline Surface)为基础的参数 化特征设计和隐式代数曲面(Implicit Algebraic Surface) 表示这两类方法为主体，以插值(Interpolation)、逼近 (Approximation)这二种手段为骨架的几何理论体系。
1.2 工业产品的形状分类及其表示
几点注释：
(1) 本课程主要介绍NURBS造型技术。但传统的NURBS模型仅允许调 整控制顶点或权因子来局部改变曲面形状。 (2)不同于工业产品外形设计，计算机动画业和其他实体造型业需要与 曲面表示方法无关的变形方法或形状调配方法。这些内容不在本课程的教 学范围内，另外，曲面变形、曲面重建、曲面简化、曲面转换和曲面等距 性等等内容本课程也不涉及。有兴趣的同学可参看有关书籍资料。 (3）采用何种工业产品形态的决定因素：
为什么不用标准多项式来设 计？
为什么不用标准多项式来设 计？
Bezier的解决方案
Bezier的解决方案
Bezier 的解决方案
在这个例子里，Bezier使用 { (1-t)2, 2(1-t)t, t2 } (而不是幂函数 { 1, t, t2 })作 为基函数，使得系数具有了某种直观的 意义，是什么？
纯美学要求 产品性能对形态的要求 产品结构唯一性要求
1.3 形状的数学描述
█ 对形状数学描述的要求
• 从计算机对形状处理的角度来看
（1）唯一性
（2）几何不变性（形状跟坐标系无关） 对在不同测量坐标系测得的同一组数据点进行插值、逼近、 拟合，用同样的数学方法得到的拟合曲线形状不变。
1.3 形状的数学描述
y ax3 bx 2 cx d
只有四个系数控制曲线的形状。 而采用二维三次曲线的参数表达式为：
P(t) a1t 3 a 2t 2 a3t a 4 b1t 3 b2t 2 b3t b4
则有8个系数可用来控制此曲线的形状。
t [0,1]
参数表示优点（续）