第六章含耦合电感电路的计算

23 3
12 1
R
.
I
jL
I
jM
I jM
I
33
32
13 1
23 2
4、 同名端的实验测定
电路理论基础
R S 1 i R1
i
*
R*2 2
+
L1 L2
V
–
1'
2'
①如若图电电压路表，正当偏闭，合则开u关22'S时M，dditi增加0 ，，ddti端钮0 2与1为同名端
②若电压表反偏，则 u22'
M
di dt
注意
电路理论基础
•一个线圈可以不止和一个线圈有磁耦合关系； 有多个线圈，相互两两之间都有磁耦合，每 对耦合线圈的同名端必须用不同的符号来标记。
(2) 互感电压的符号有两重含义。 同名端； 参考方向；
(3)互感现象的利与弊： 利用——变压器：信号、功率传递； 避免——干扰； 克服：合理布置线圈相互位置减少互感作用。
小结：
耦合电感的电压有两部分，一部分是自感电压，另 一部分为互感电压；
自感电压的正负，当施感电流与自感电压为关联方 向时，自感电压取“+”号，否则去“-”号；
互感电压的正负，当施感电流与互感电压对同名端 一致时，互感电压取“+”号，否则取“-”号；换 句话讲，当施感电流由一个线圈的同名端流入时， 在另一线圈的同名端的电压为高电位，即为“+” 号，否则取“-”号；
L L1 L2 2M
L L1 L2 2M 0
M
1 2
( L1
L2
)
互感不大于两个自感的算术平均值。
互感的测量方法
电路理论基础
* 顺接一次，反接一次，就可以测出互感：
M L顺 L反 4
* 全耦合 M L1L2
L L1 L2 2M L1 L2 2 L1L2
( L1 L2 )2
u, i 取关联参考方向
(2) 耦合线圈的电流电压关系VCR电路理论基础
11
21
N1
N2
i1
+ u11 – + u21 –
当 线 圈 1 中 通 入 电 流 i1 时 ， 在 线 圈 1 中 产 生 磁 通 (magnetic flux)，同时，有部分磁通穿过临近线圈
2。当i1为时变电流时，磁通也将随时间变化，从
是自感电压与互感电压的叠加。
互感的性质
①从能量角度可以证明，对于线性电感 M12=M21=M
②互感系数 M 只与两个线圈的几何尺寸、匝数 、 相
互位置和周围的介质磁导率有关，如其他条件不变时，
有
M N1N2 （L N2）
3、耦合电感的同名端
电路理论基础
具有互感的线圈两端的电压包含自感电压和互感电 压。表达式的符号与参考方向和线圈绕向有关。对
耦合电感(线圈绕向相同)的VCR 电路理论基础
在电路分析中，可以去掉线圈的绕向和相对位置，
画出耦合电感的模型。
N1
N2
1 i1 M i2
12
i1
1
* u11
i2
1’ 2 * u22
2’
22
+*
u_1 L1
1’
* +2
L2 _u2
2’
u12
ຫໍສະໝຸດ Baidu
u21
u1
u2
u1
u11
u12
L1
di1 dt
M
di2 dt
u21 u22
-M
di1 dt
+L2
di2 dt
结论：表示两个线圈相互作用，不再考虑实际绕向和相
对位置，只画出同名端及参考方向即可。
耦合电感的相量模型
电路理论基础
i1
+ u_1
* L1
M
i2
*+ L2 _u2
（1）施感电流均由同名端流入，
电压在同名端为“+”，耦合电感的
VCR时域形式：
u1 L1
)
( L2
Ψ22 i2
)
可以证明：M12= M21= M。
电路理论基础
当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两端的电
压均包含自感电压和互感电压：
u1
u11
u12
L1
di1 dt
M di2 dt
理想耦合线圈
u2
u21
u22
M
di1 dt
L2
d i2 dt
的伏安关系
上式体现了线圈间的耦合作用，每个线圈的端电压
i3
3
N3
3’
•
+ u31 –
引入同名端可以解决这个问题。
u21
M 21
di1 dt
u31
M 31
di1 dt
同名端：当两个电流分别从两个线圈的对应端子流
入 ，其所产生的磁场相互加强时，则这两个对应端 子称为同名端。
耦合电感的同名端
电路理论基础
同名端的确定不仅与线圈的绕向有关，而且还与
线圈的相对位置有关。
•
I1
j M
•
I2
+ *
+
•
U1
j L1
j L2
•
U2
_
*_
•
I1
+ *
j L1
•
U1
_
•
jM I 2
_+
_
•
I2
+ *
j L2 •
U2
•
jM I 1
+_
例6-2 试写出图示电路伏安关系的相量形式电路理论基础
•
I1
j M
+
*
•
U1
j L1
+
j L2
•
U2
_
*
•
I2
_
U1 jωL1 I1 jωMI2
•
I2
+ *
j L2 •
U2
+
•
jM I 1
_
_
(2) 电流从非同名端流入，耦合电感的VCR 电路理论基础
i1 M i2
+* u_1 L1
+ L2 _u2 *
u1
L1
di1 dt
M
di2 dt
u2
M
di1 dt
L2
di2 dt
在正弦交流电路中，其相量形式的方程为
U1 jL1I1 jMI2
U2 jMI1 jL2 I2
当而i在1、线u圈11、两u端21产方生向感与应电符压合u右21 。手定则时，根据电
磁感应定律和楞次定律：
耦合线圈的电流电压关系VCR 电路理论基础
u11
dΨ11 dt
N1
dΦ11 dt
u21
dΨ21 dt
N2
dΦ21 dt
u11：自感电压； u21：互感电压。
互感磁链
自 当线圈周围无铁磁物质(空心线圈)时，有
0
，端钮2’与1为同名端
当两组线圈装在黑盒里，只引出四个端线组，要确定 其同名端，就可以利用上面的结论来加以判断。
当断开S时，如何判定？
5、耦合系数 (coupling coefficient)k：
电路理论基础
k 表示两个线圈磁耦合的紧密程度。
def
k
12 • 21
Mi2 • Mi1
M
11
u2
u21
u22
M
di1 dt
L2
di2 dt
耦合电感(线圈绕向相反)的VCR 电路理论基础
N1
N2
12
i1
1
* u11
i2
1’ 2
u12
u1
u22 * 2’
u21 u2
1 i1
i2
22
+*
+2
u_1 L1 M *L2 _u2
1’
2’
u1
u11 u12
L1
di1 dt
M di2 dt
u2
图(a)两个线圈绕向不同，相对位置不同，则同名
端为1 和2’。图(b)两个线圈绕向相同，但相对位置不
同，则同名端为1 和2 。
i
i
1*
2
1*
*2
1'
2'
1'
2'
*
(a)
(b)
确定同名端的方法：
当已知线圈的绕向和相对位置判断同名端要注意：
1、电流流入端 2、磁场加强
该端为同名端。
例6-1
•*
1
2
电路理论基础
（1）单个线圈的VCR（复习）
磁链 是线圈中电流i的函数：
= N = f(i)
其中：N为线圈匝数，为磁通
i
ue
N
理想情况下，可用线性电感L作为线圈的电路模型。
电感元件的磁链 与电流 i 成正比: =L i
根据电磁感应定律与楞次定律， 电感线圈中的电压电流关系为：
u dψ L di dt dt
其中：N1 和N2为线圈匝数，为磁
i1
通,ψ为磁通链。
互感现象
线圈2中没有电流通过，但由线 u12 u11 e1
圈1的电流在线圈2中感应电压，此 种现象为互感现象。
i2
同样，在线圈2中有交流电流通 u21
过，在线圈1种也会产生感应电压。 在工作时，多个线圈之间有耦合作用。
21
2、耦合线圈的电流电压关系VCR 电路理论基础
L L1 L2 2M
耦合电感的串联
电路理论基础
(2) 反串（同名端和同名端连接在一起）
i R1 *
M
* R2
u1 L1
uL22
u
iR L u
u
R1 i
L1
di dt
M
di dt
L2
di dt
M
di dt
R2 i
( R1
R2 )i
( L1
L2
2M ) di dt
Ri
L di dt
R R1 R2
22
L1i1 L2i2
L1 L2
可以证明，k1。
全耦合: 11= 21 ，22 =12
L1
N 1Φ11 i1
,
L2
N 2Φ22 i2
M 21
N 2Φ21 i1
,
M12
N 1Φ12 i2
M12 M 21 L1L2 , M 2 L1L2
k1
k 的大小与两个线圈的结构、相互位置及周 围磁介质有关。
•
jωL2 I
•
jωM I
•
U1
•
•
R1 I
jωL1 I
•
I
(a) 顺串
•
jωL1 I
•
R1 I
•
U1
•
jωL2 I
•
•
jωM I
U
•
U2
•
R2 I (b) 反串
•
jωM I
•
为非关联方向时，符号为负。
电路理论基础
对互感电压，因产生该电压的电流在另一线圈 上，因此，要确定其符号，还必须知道两个线 圈的绕向。这在电路分析中显得很不方便。
11
s
1和2、1和3 ’为同名端， 1 ’和2’、1 ’和3
0 也为同名端
N1 i1 1 * •
i2
1’
N2
2*
2’
+ u11 – + u21 –
i2为时变时，线圈2和线圈1两端分别产生感应电压 u22 ， u12 。
耦合线圈的电流电压关系VCR 电路理论基础
12
N1 + u12 –
i2 N2 + u22
u12
dΨ12 dt
N1
dΦ12 dt
M 12
di2 dt
u22
dΨ22 dt
N2
d Φ22 dt
L2
di2 dt
22
–
( M 12
Ψ12 i2
6. 2 含有耦合电感电路的计算 电路理论基础
1、互感线圈的串联
(1) 顺串（同名端和异名端连接在一起）
i R1 *
M
L2 R2
*
u1 L1
u2
u
iR L u
u
R1 i
L1
di dt
M
di dt
L2
di dt
M
di dt
R2 i
( R1
R2 )i
( L1
L2
2M
)
di dt
Ri
L
di dt
R R1 R2
3
*
1'
2'
3' •
实际中，线圈制好后，很难看出其绕向，用上
述的方法不能判断出同名端，但是同名端是与感应
电压和施感电流有关的。
由上述分析可以看出： 感应电压与施感电流的方向对同名端是一致的，
换句话讲，电流方向（参考方向）由一个线圈同名端 处流入，则在另一线圈的线圈同名端处产生的感应电 压的极性（或参考极性）必然为“+”极性。
自感电压，当u, i 取关联参考方向，i与 符合右手
螺旋定则，其表达式为
u11
dΨ11 dt
N1
dΦ11 dt
L1
di1 dt
上式说明，对于自感电压由于电压电流为同一线圈
上的，只要参考方向确定了，其数学描述便可容易
地写出，可不用考虑线圈绕向。对线性电感，用u,i
描述其特性，当u,i取关联方向时，符号为正；当u,i
例6-3
.
.
试写出U12 ，U23相量方程。
电路理论基础
.
I1 1
M13
*
*
M12 *
M23
.
I3
3
相量方程为 . 2 I2 . U12 R1 I1 jL1I1 jM12I2 jM13I3
.
R2 I2 jL2I2 jM12I1 jM23I3
U R
.
I
jL
I
jM
I jM
I
23
22
22
U2 jMI1 jL2 I2
•
I1
j M
+
*
•
U1
j L1
+
*
j L2
•
U2
•
_
I2 _
•
I1
j M
+
_
*
•
U1
j L1
j L2
•
U2
_
*
•
I2
+
U1 jωL1 I1 jωMI2 U2 jωMI1 jωL2 I2
U1 jL1I1 jMI2
U2 jMI1 jL2I2
耦合电感的VCR方程正负号的确电定路理：论基础
感 磁 链
Ψ11 L1i1 , Ψ 21 M21i1,
u11
L1
di1 dt
,
u21
M 21
d i1 dt
L1：线圈1的自感系数；M21：线圈1对线圈2的互感系
数。(self-inductance coefficient) (mutual inductance coefficient)
单位：H
同理，当线圈2中通电流i2时会产生磁通22，12 。
di1 dt
M
di2 dt
u2
M
di1 dt
L2
di2 dt
在正弦交流电路中，其相量形式的方程为
U1 jωL1 I1 jωMI2 互感的作用相当于受控源
U2 jωMI1 jωL2 I2
（CCVS）
•
I1
•
I1
j M
•
I2
+
*
•
U1
j L1
+
*
j L2
•
U2
_
_
+
*
j L1
•
U1
+
•
jM
_
I
2_
当 L1=L2 时 , M=L
4L 顺接
L= 0
反接
在正弦激励下耦合电感串联的相量形式和相量电路图理论基础
•
j M
I
R1
•
*
j L1
R2 * j L2 •
+ +
•
U1
–+ •
U
•
U2
–
–
•
•
•
U ( R1 R2) I j( L1 L2 2M ) I
相量图： • U
•
jωM I
•
U2
•
R2 I
电路理论基础
第六章 含耦合电感电路的计算
第六章 含耦合电感电路的计算 电路理论基础
6. 1 耦合电感 6. 2 含有耦合电感电路的计算 6. 3 空心变压器 6. 4 理想变压器
1、 互感现象
电路理论基础
自感现象
i1 ↕ →φ11 →ψ11(ψ11 = N1φ11) ↕ →u11(自感电压）
φ21 → ψ21(ψ21 = N2φ21) ↕ →u21(互感电压） 11