GIS算法-分形.讲义

{ dl=sqrt((xb-xa)*(xb-xa)+(yb-ya)*(yb-ya)) / 3. ; x1=xa+(xb-xa) / 3. ; y1=ya+(yb-ya) / 3. ; side(xa, ya, x1, y1, a, n-1) ; a1=a+AF ; x2=x1+dl*cos(a1) ; y2=y1+dl*sin(a1) ; side(x1, y1, x2, y2, a1, n-1) ; a2=a1-2.*AF ; x3=x2+dl*cos(a2) ; y3=y2+dl*sin(a2) ; side(x2, y2, x3, y3, a2, n-1) ; side(x3, y3, xb, yb, a, n-1) ; } } ***
下面我们来分析 Dragon 曲线的生成 规则：
假如我们从线段 1 开始，顺着曲线前 T(1)= 90º 进，那么在这个过程中，每到一个线 T(2)= 90º 段末端拐角处，就必须向左或向右转 T(3)= -90º T(4)= 90º 90º 。于是，待要解决的关键问题就 T(5)= 90º T(6)= -90º 是如何确定是向左转还是向右转。
分 形 造 型
一、分形的概念
分形是最近二十多年来发展起来的新 学科。分形的原文是 Fractals，是由著 名数学家 B . Mandelbrot 于 1975 年用 拉丁词根构造的单词，他创立了独立 于欧几里德几何学之外的数学方法： 分形几何。
自然界中存在着不可胜数的不规则形 体。多少年来，人们都是用传统的几 何方法对它们进行描述，采用的主要 手段是用规则形体去逼近。这种用规 则形体去描述不规则形体所得到的结 果，与现实是有很大差距的，并且这 种方法需要大量的数据，所以有时甚 至是不可能的。
T(7)= -90º
如果用代码 1 表示向左转90º ，用 3 表示向右转90º 。并且对于第 i 段线 段，以T ( i )来表示其转向代码。则 对于上图有： T ( 1 )=1 T ( 5 )=1 T ( 2 )=1 T ( 6 )=3 T ( 3 )=3 T ( 7 )=3 T ( 4 )=1
（１）分形集都具有任意小尺度下的 比例细节，ห้องสมุดไป่ตู้者说它具有精细的结构。 （２）分形集不能用传统的几何语言 来描述，它既不是满足于某些条件的 点的轨迹，也不是某些简单方程的解 集。
（３）分形集具有某种自相似的形式， 可能是近似的或统计的自相似。 （４）一般说来，分形集的维数是一 个分数，所以分形也称为分数维； （５）在大多数令人感兴趣的情形下， 分形集由非常简单的方法定义，可以 用变换的迭代产生。
(3)
Koch 曲线的维数
一个几何对象的维数还可以从测量的 角度来定义： Ｄ＝ln(N) / ln(S) 其中：Ｄ 维数 Ｓ 缩小系数的倒数 Ｎ 每步的分段数
在Koch曲线中，S＝3 ( 缩小系数是 1/3 )；Ｎ＝4。 所以Koch曲线的维数为： Ｄ＝ln(4) / ln(3)
依据 Koch 曲线的生成原理，设计不 同的生成元，便可以构画出多种多样 的分形曲线。 ***
分形的四种构成方法
（１）基于Ｌ系统的分形模型 （２）迭代函数系统模型 （３）粒子系统模型 （４）随机插值模型
二、典型的分形模型
１ .Koch 曲线
( 1 ) Koch 曲线的生成规则
Koch 曲线是 Von Koch 于1904年第一 次描述的。它的构造是：迭代初始把 原线段去掉中间的三分之一，代之以 底边在被去线段上的等边三角形的两 腰；以后每一步的迭代都是这样的重 复。 （图例）
其实，当用计算机模拟自然景物时， 最主要的是所生成的对象确实使人感 受到是预期的那一类，而不必非是某 个具体的个体。因此，为此目的，不 必使用大量的数据。是很自然的。
分形几何学的创立，为自然景物的描 述和计算机模拟提供了强有力的数学 工具。正因为如此，所以人们说，分 形是大自然的几何学。
分形具有下面列出的典型几何性质
曲线由把每一折线段反复迭代成缩小 比例的三分之一的生成元而成。即字 符串T＝ F L F R R F L F 中的每一个 F 又是字符串 T 本身。而每次迭代 后，生成的曲线长是原来曲线长的三 分之四倍。可见，无数次迭代后， Koch 曲线将变得具有无限长度。并 且，Koch 曲线是永远不自相交的。
２.Dragon 曲线 （１）Dragon 曲线的生成规则
变化的起始是一条原始直线段。第一 步是将该直线段由中间点隆起，使其 变成一个等腰直角三角形的两腰。 接下去再分别对两腰作和前面同样的 变化，如此不断进行。（图例）
不难看出，Dragon 曲线完全是由长 度相等的线段组成，且两两相交处 都成直角。 另外，每次分形后，曲线的长度是 原来曲线长度的 2 倍。因此，经 过无数次变化，Dragon 曲线也将变 成无限长。这一点正符合分形曲线 的特点。
从以上过程可以清楚地看出，Koch曲 线（其它分形集也是如此）可以由简单的 图，称为 生成元 ，迭代产生。 在这里，Koch曲线的生成元是：
在这里，假如我们约定好记号，就可 以把Koch曲线的生成元的构造用一个 字符串符号表示出来。设： F 从当前点开始，向前移动一距离d L 向左（逆时针）转一定角 R 向右（顺时针）转一定角 则Koch曲线的生成元可表示为： T＝ F L F R R F L F （ ＝60º ）
(2)
生成Koch 曲线的程序
函数 side( )，用于绘制Koch 曲线的生 成元，函数中所用的参数为：
xa, ya, xb, yb :线段的起点和终点坐标； a : 线段的方向角； n : 迭代次数（递归深度）。
void side ( xa, ya, xb, yb, a, n ) int n ; float xa, ya, xb, yb, a ; { float x1, y1, x2, y2, x3, y3, dl, a1, a2 ; int xs, ys, xe, ye ; if (n==0) { xs=(int)(xa+0.5) ; ys=(int)(ya+0.5) ; xe=(int)(xb+0.5) ; ye=(int)(yb+0.5) ; moveto(xs,480-ys) ; lineto(xe,480-ye); } else