正弦和余弦函数的图像及性质

4 ,2
o ……与y=cosx,x∈图x[0象,2π的]的最图低象点相同 简(y1图) 列作表法(列(五出点对-图1作象图形法状)起关键作用6的五点3坐标)
(0,0 ) ( ,0) 0(2, ,20)
图象的最低点
(
3 2,
1)
2
2 3
5 6

,
7 6
-1 -
y cos x, x R
余弦函数
的图象
-
-
思考题；用五点发作出下面函数的图象（只画出一 个周期）
( 1). y=2sinx (2).y=2sinx+1 (3).y=sin2x
授课教师：谷元芳
正弦函数.余弦函数的图象和性质
想一想?
1. sinα、cosα、tanα的几何意义.
y
T
1 P
oA M1
x
正弦线MP 余弦线OM 正切线AT
三角问题
几何问题
正弦函数.余弦函数的图象和性质
新课:
. . . . 1.函数 y sin x, x 0,2 图象的几何作法
利用三角函数线 作三角函数图象
0
2

3 2
2
cosx
1
0 1
0
1
-cosx 1 0 1
01
y
21-
o
2

3
2
2
x
1 -
作函数
y=
1 2
sinx +
3 2
cosx草图，求y的最大值和最
小值
解：用辅角公式化简函数
y=
1
2 sinx+
3 2
cosx
=
sinxcos

3
+
cosxsin

3

= sin(x+ 3 )
x (0,0) ( ,0) (2 ,0)
图象的最低点
(
3 2,
1)
图象的最高点 (0,1) (2 ,1)
与x轴的交点(

2
,0)
(
3 2
,0)
o
2

3
2
2
图象的最低点 (,1)
－1
正弦函数.余弦函数的图象和性质
例题
作函数y=sinx+1,x∈[0,2π]的简图
解: 列表
描点作图
2 , 4 ,
4
3
3
2
5 3
-
6
4
2
2
-1 -
4
-
6
( , 0 ) ( ,0) 4因 ,为2 终 ,边 相2同 ,0 的 , 角02,的2 三,y角2函 ,数4 3值2,…相同 …，与所y=以sinyx=,sxi∈ nx[的0,图2π象]的在图…象…相，同
y cos x, x R
余弦函数
的图象
-
-
正弦y 函数.余弦函数的图象和性质
1-
图象的最高点
(

2
,1)
o
2

3 2
2
－1
-
简图作法 (五点作图法) (1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标) (2) 描点(定出五个关键点) (3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
1
与x轴的交点
y
x
0
2

3 2
2
sin x
0
1
0
1
0
sin x 1
1
2
1
0
1
21-
o
2

3
2
2
x
1 -
练习 : 作函数 y=－cosx，x∈[0,2π]的草图
作函数
y=
1 2
sinx +
3 2
cosx草图，求y的最大值和最
小值
练习：作函数y= －cosx,x∈[0,2π]的草图
解: 列表
X
4
-
6
-
-1 -
-
-1
o


6
3
2
2 3
5 6

7
4
6
3
3
5
1 1Leabharlann 2236(
2
,0)
(
3 2
,0)
图x 象的最低点 (,1)
4因 ,为2 终 边 , 相2同 ,0的 , 角0 ,的2 三,角2函 ,数4 值,…相同 …，与所y=以coys=xc,xo∈sx[的0,图 2π象]的在图…象…相，同
-
6
4
2
-
-
1-
o
2
-1-
-
-
4
6
x
-
正弦、余弦函数y y=sinx,y=cosx的图象
-
6
4
2
-
-
o
2
1-
-1-
-
-
4
6
x
-
-
y cos x , x R
余弦函数
的图象
正弦函数.余弦函数的图象和性质
正正正弦y弦弦函函函数数数..余余y 弦弦函 函si数数n 的的x图图 , x象象和和性R性质的质图象
正弦函数.余弦函数的图象和性质
y
正弦函数 y sin x, x R 的图象
1-
-
6
4
-
2
-
o
2
4
6
-
-
-
x
-1-
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在……，
4 ,2 , 2 ,0 , 0 , 2 , 2 , 4 ,……与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同
1
p1/

6
-
o-1
-A
o
6
3-
2
2 3
5 6

7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
－1
正弦函数.余弦函数的图象和性质
2.用描点法作出函数图象的主要步骤是怎样的？
(1).列表
y sin x, x 0,2
x
0

6

3
2 5
2
3
6
7 6
4 3
3 2

X+ 3
x
y

0
2
－
3
6
0
1
换元法

3 2
2
2
7
5
3
6
3
0 －1 0
y=sin(x+

3
)图像如下所示
y
最大值为 1，最小值为－1
-
2 1 o- -
12
-


-
2
-
-
2
-
-
x
3
3
-
想一想?
正弦曲线、余弦曲线，它们图象有何特征？
y
正弦函数 y sin x , x R 的图象
描点法: 查三角函数表得三角函数值,描点 (x,sin x),连线.
如:
x

3
查表
y
sin

3
0.8660
描点
(

3
,0.8660
)
的从 坐巧 用几
点而 标妙 单何
x 1(x,sinx).
y
y
P
1-
确 系地 位法 定 内移 圆作 对 ，动 中图

应
3
O M 1 x0
-
-
2
3- 2
2-
y
-
-
-
-
-
16-
4
本节课小结 1-
2
o
2
-1-
4
6
x
图象的最高点(
2
,1)
-1
正弦本、余节弦函数课y=s小inx,y=结cosx的图象 与 轴的交点 o 64因 ,为32 终 ,2边 相223同 ,0 的5, 60角,2的 三7,6 角2函43 ,数4 32值 ,…相53 同…，1与61 所y=2以sinyx=,sxi∈nxx[的0x,图2π(象0],的0在)图…(象…,0相，) 同(2 ,0)
6
y
正弦函数 y sin x, x R 的图象
-
-
( 0 ,1)
图象的最高点x (2,1)
-
-
-
1-
1-
o
x
-1
-
-
-
-
1-
图象的最高点
(
2
,1)
-
-
与x轴的交点 o


6
3
2
2 3
5 6

7 6
4 3
3 2
5 3
1 1 6
2
,与xx轴2的 交,0点,
因为终 边相同的角的三角函数值相同，所以y=cosx的图象在……， -1-
x
1 -
几何法：作三角函数线得三角函数值,描点 (x,sin x) ,连线
如:
x

3
作

3
的正弦线
MP,
到 角的
直 角
的 正 弦 线 ，
关 键 是 如 何 利
平移定点 (x, MP)
正弦函数.余弦函数的图象和性质
函数 y sin x, x 0,2 图象的几何作法
y
作法: (1) 等分 (2) 作正弦线 (3) 平移 (4) 连线
4 ,2 , 2 ,0, 0,2 , 2 ,4 , ……与y=cosx,x∈[0,2π]的图象
形状相同
想一想
它们的形状相 同，且都夹在 两条平行直线 y=1与y=－1 之间。但它们 的位置不同， 正弦曲线交y 轴于原点，余 弦曲线交y轴 于点（0，1）.
请观察正弦曲线、余弦曲线的形状 和位置,说出它们的异同点.
1 1
2
6
正弦、余弦函数y=sinx(,y,=c1)osx的图象
y cos x , x R (2) 描点(定出五个关键点)
(3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
图象的最高点 (0 ,1)
1-
余-弦1 -函数
(2的,1) 图象
与x轴的交点
o
x
1-
-
6
4
-
2
-
2
-
y
正弦、余弦函数y=sinx,y=cosx的图象
6
4
2
2
4
6
1-
-
-
-
o
-
-
-
x
-1-
4因 ,为2 终 边, 相2同 ,0的 , 角 0 ,的2 三,角2函 数, 4 值,…相同…，与所y=以coys=xc,xo∈sx[的0,图2π象]的在图…象…相，同
5 3
11 6
2
y0
1 2
3 2
1
3 2
1 2
0

1 2

3 2
1

3 2

1 2
0
(2).描点
y
1-
(3).连线
0
-
-
2
1 -
3- 2
2-
x
y
1
4
2
o
－1
-
-
-
正弦曲线
2
-
4
-
-
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在……，
4 ,2 , 2 ,0, 0,2 , 2 ,4 ,……与y=sinx,x∈[0,2π]的图象
形状相同
用诱导公式来作余弦函数y=cosx,x∈R的的图像
y=
cosx
=
cos(-x)
=
sin[

2
-(-x)]
=
sin(x+

2
)
y 从 向图 左像平中移我 们个看单到位co后sx得由到sinx
2
1
-
-
4
2
o
-
2
-
4
-
x
-
-
－1
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=cosx的图象在……，
-1 -
y
简图作法 (五点作图法)
图象的最低点(
3 2,
1)
(y1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标)
(2) 描点( ) 正弦y 函数.余弦函数的图象和性质 6
定 4出五个关 2键 点
1-
2
-
-
(3) 连线(用光滑的曲线顺次连o 结-1-五个点)
-
正弦函数.余弦函4数的图象和性质