扬州大学高等代数课件--第七章_线性变换

性
变
0( ) 0 0 0 0() 0(), 0(k) 0 k0() .
换
例 4 线性空间 P[x], P[x]n 中求微商的运算 D (f (x)) = f /(x)是线性变换.
高 等 证明： 以 P[x]为例. f (x), g(x) P[x], k P , 代数 D ( f (x) g(x)) ( f (x) g(x))/ f / (x) g / (x) D ( f (x)) D (g(x)) .
高 等 例6 设V是数域P上的线性空间，k∈P, 定义V上的变
代 换为α→kα (对任意的α∈V )，可以证明该变换为线性 数 变换，称为由数k确定的数乘变换，并用K 表示. 当
k = 1时，即为恒等变换，当k = 0时，即为零变换.
证明： K 显然是V上的变换. 现仅证其为线性变换.
7
对任意的α,β∈V , a∈P,
线 g 证明： f (x), g(x) C(a, b), k R ， ( f (x) g(x))
性 g g x
x
x
a ( f (t) g(t))dt a f (t)dt a g(t)dt ( f (x)) (g(x)) .
变 换
g g x
x
(kf (x)) a kf (t)dt k a f (t)dt k ( f (x)) .
高
等
A (－α) = A ((－1)α) = (－1) A (α) =－A (α).
代 3. 据1，易证该等式成立.
数 4. 据题设，存在不全为0的数k1, ···, kr∈P, 使得
k1α1 + ···+ krαr= 0 → 据3. , 2.可知
A ( k1α1 + ···+ krαr ) = k1 A (α1) + ···+ kr A (αr) = A (0) = 0， 7
即A α1, ···, A αr线性相关.
线 性质3说明：设β= k1α1 + ···+ krαr → A (β) =
性 变
3.Leabharlann A ( k1α1 + ···+ krαr ) = k1 A (α1) + ···+ kr A (αr) , 即β与
换 4. A (β) 具有相同的线性关系.
高 性质1可修改为如下命题：
（保持线性关系不变）
4. α1, ···, αr 线性相关，则A α1, ···, A αr线性相关.
7 反之，则不一定. 例如零变换 A （α）= 0（α≠0）.
证明： 1. A (aα+ bβ) = A (aα)+ A (bβ)
线 性
= a A (α)+ b A (β).
变
换
2. A (0) = A (0α) = 0 A (α) = 0.
高 等
例1
S θ：V2→V2 , S θ (α) =α/ (α按逆时针方向旋转θ度
代 得α/ )，（即二维平面上的旋转变换）。
数 设α,α的坐标分别是 (x, y), ( x/, y/ ), 则
x/ cos sin.x
7
y/ sin cosy
线 可以证明， S θ 是二维平面V2 上的一个线性变换。 性 证明： 对任意的α,β∈V2 , 设α+β=γ（如图） 变 换
(, ) (,) (, )
(, ) (, )
(,) (, )
数 ( ) () ．
(k )
(, k ) (, )
k
(, ) (, )
k
(
)
．
例３ 线性空间 V 中的恒等变换（单位变换） () 和
7 零变换 0() 0 是 V 上的线性变换.
线 证明： ( ) () ( ), (k) k k () .
高 等 S θ (α+β) = S θ (γ) =γ/=α/ +β/= S θ (α) + S θ (β) ，
代 S θ (kβ) = kβ/= k S θ (β) . 故S θ 是V2 上的线性变换. 数
7
线
α
γ
性
θ
变
换
β
kβ
高 例2
( 0) V3,
：V3
V3，
(
)
( , ( ,
) )
( V3) ，
高 等 代 数
7
线 性 变 换
高一. 线性变换的定义及实例
等 代
定义1
映射 A ：V→V称为线性空间V上的一个变换；V上的变
数 换A 称为线性变换，如果
对任意的α,β∈V, 对任意的k∈P,
1) A (α+β)= A (α)+ A (β)；
7
线
性 变
换
2) A (kα)= k A (α). 本教材一般用花体拉丁字母A ，B，···表示线性变换； 称如上条件1), 2)为“线性变换保持向量加法和数乘不变”； 注意与同构映射 f：V→W（V，W为线性空间）的异同之处。
等 5. A 是线性变换的充要条件是：
代
A (aα+ bβ)= a A (α)+ b A (β)
数
对任意的αβ∈V，a,b ∈ P.
证明： 必要性：即性质1.
充分性：取a = b = 1, 则
A (α+ β)= A (α)+ A (β)；
7
取a = k, b = 0, 则
D (kf (x)) (kf (x))/ kf / (x) k D ( f (x)) .
例 5 C(a, b) = { f (x) | f (x)为闭区间 a b上的连续函数 } 组成实数域 R
g 7 上的线性空间. 积分
( f (x)) x f (t)dt 是 C(a, b)上的线性变换. a
等 代
称 ( ) 为 在 上的内射影．
数
(
)
(, ) ( , )
cos ( cos 0
cos )
ke ，其中 ke 即
为 在 上的内射影，e 是与 同方向的单位矢量．可以证明 是 V3
7 上的线性变换.
线 性 变 换
证明： , V3, k P,
高
等 代
(
)
(, ) (, )
线 K (α+β) = k(α+β) = kα+kβ= K (α)+ K (β)；
性 K (aα) = k (aα) = (ka)α= a(kα) = a K (α).
变 换
故 K 是V上的线性变换.
□
高二. 线性变换的基本性质 等 1. A (aα+ bβ)= a A (α)+ b A (β)； 代 2. 2 A (0) = 0, A (－α) = － A (α)； 数 3. A ( k1α1 + ···+ krαr ) = k1A (α1) +···+kr A (αr)；