人与船作用模型的解读和拓展

人与船作用模型的解读和拓展

◆河南省漯河高中 任付中

模型解读：人与船开始时都静止，突然人从一端走向另一端的过程中，船向相反方向运动，类似反冲，人停止，船也停止。很多复杂难解的相互作用问题，都可以归结到人船模型上来，从而使问题轻松解决．

拓展1 人船作用的对地位移

例1：如图1所示，长为L 、质量为M 的小船停在静水中，质量为m 的人从静止开始从船头走到船尾，不计水的阻力，求船和人对地面的位移各为多少？

解析：以人和船组成的系统为研究对象，在水平方向不受外力作用，满足动量守恒．设某时刻人的速度为v 1，船的速度为v 2，取人行进的方向为正，则有：021=-Mv mv 上式换为平均速度仍然成立，即 021=-v M v m

两边同乘时间t ，021=-t v M t v m ，

设人、船位移大小分别为s 1、s 2，则有，21Ms ms = ①

由图可以看出：L s s =+21 ② 由①②两式解得L m M m s +=

1，L m

M M s +=2 答案：L m M m s +=1，L m M M s +=2 点评：人船模型中的动力学规律：由于组成系统的两物体受到大小相同、方向相反的一对力，故两物体速度大小与质量成反比，方向相反。这类问题的特点：两物体同时运动，同时停止。 人船模型中的动量与能量规律：由于系统不受外力作用，故而遵从动量守恒定律，又由于相互作用力做功，故系统或每个物体动能均发生变化：力对“人”做的功量度“人”动能的变化；力对“船”做的功量度“船”动能的变化。

拓展2 球和圆筒的作用

例2．如图2所示，一质量为m l 的圆筒A ，圆筒内外皆光滑，将A 置于光

滑水平面上，圆筒半径为R.现有一质量为m 2的光滑小球B （可视为质点），

由静止从圆筒的水平直径处沿筒壁滑下，设A 和B 均为弹性体，且不计空

气阻力，求圆筒向一侧滑动的最大距离．

解析: 小球滑动过程圆筒先向左加速，再先向左减速，当小球运动到圆筒的

最右端时， 如图3所示，圆筒向左运动的距离最大，小球和圆筒组成的系

统可视为“人船模型”，在水平方向上动量守恒，设圆筒向左运动的最大距离

为s 1， 此时小球向右运动的距离为s 2，由人船模型方程得： m 1s 1＝

m 2s 2 ①

又因为s 1＋s 2＝2R ②

由①②得 2

1212m m Rm s += 点评：本题以小球带动圆环为情景设置题目，考查对动量守恒条件的理解与灵活运用能力．小球和圆槽体作用过程，系统所受合外力并不为0

，但在水平方向上

d 图3

d

图2

图1

系统不受外力，在水平方向上动量守恒．当小球运动到槽的最右端时，槽瞬间静止；有同学会因为对动量守恒理解不深刻，不能将“人船模型”迁移过来，感到无从求解，也有同学会误认为两个物体相对于地面移动的距离之和等于πR 而导致错误。

拓展3 人和气球的应用

例3、载人气球原静止于高h 的高空，气球质量为M ，人的质量为m ．若人沿绳梯滑至地面，则绳梯至少为多长？

解析：气球和人原静止于空中，说明系统所受合力为零，故人下滑过程中系统动量守恒，人着地时，绳梯至少应触及地面，因为人下滑过程中，人和气球任意时刻的动量大小都相等，所以整个过程中系统平均动量守恒．若设绳梯长为L ，人沿绳梯滑至地

面的时间为 t ，由图4可看出，气球对地移动的平均速度为（L －h ）/t ，

人对地移动的平均速度为h/t （以向上为正方向）．由动量守恒定律，有

M （L －h ）/t －m h/t ＝0．解得L ＝h M m M +． 答案：h M

m M + 点评：21Ms ms =是“人船模型”的位移与质量的关系，此式的适用条件：原来处于静止状态的系统，在系统发生相对运动的过程中，某一个方向上动量守恒．另外，方程中s 1、s 1是两个物体相对于地面的位移．此结论与两物体的速度大小无关．不论是匀速还是变速，那么结论都是相同的。

拓展4 摆球和圆环的作用

例4、如图5所示，AB 为一光滑水平横杆，杆上套一质量为M 的小圆环，环上系一长为L 质量不计的细绳，绳的另一端拴一质量为m 的小球，现将绳拉直，且与AB 平行，由静止释放小球，则当绳与A B 成θ角时，圆环移动的距离是多少？ 答案：m

M mL x +-=)cos 1(2θ 解析：虽然小球、圆环系统在运动过程中合外力不为零，但是系统在水平方向不受外力，因而水平方向动量守

恒．水平方向的运动可视为“人船模型”，当细绳与AB 成

θ角时，设小球、圆环水平位移大小分别为x 1、x 2，则有 21Mx mx = ①

由如图6，由几何关系得

L L x x =++θcos 21 ②

由①②两式解得，圆环移动的距离 点评：本题以小球带动圆环为情景设置题目，考查对动量

守恒条件的理解与人船模型灵活运用能力．有同学会因为对动量守恒条件理解不深刻，对系统水平方向动量守恒感到怀疑而无法列出守恒方程，也有同学会因找不出小球与圆环的位移关系而感到茫然。正确画出两物体的运动过程位移关系, 联想重要物理模型，灵活选择动量守恒的表达形式是解决问题的关键.

图6 A B θ

x 1

x 2 L cos A B M

m 图5 图4