八数码问题解释

8数码问题又称9宫问题，源于一个古老的智力游戏。说白了就是我们小时候玩的“华容道”。意在给定的9格棋盘的8个格子内分别放一个符号，符号之间互不相同，剩下一格做为“出口”。我们把8个符号在棋盘上的排列顺序称作8数码的状态，游戏要求给定一个初始的状态与一个终止状态，符号要经过若干次移动后由初态变成终态，这个过程中只有“出口”附近的符号可以朝“出口”的方向移动，且每次只能移动一个符号。如下图所示，（其中我们用0表示出口，=》表示移动一次，=》*表示移动0-n次）：

初态终态

1 2 3 1 2 3 0 1 2

4 5 6 =》 4 5 6 =》* 3 4 5

7 8 0 7 0 8 6 7 8

2 解决方案

通过观察我们可以发现每一次8数码的状态都可以通过移动字符变成有限的几种其他状态，比如上图中我们可以知道初态“出口”附近有8和6可以移动，那么这个初态可以经过移动得到两个新的状态。我们人在玩这个游戏的时候，总是要做下面几个步骤：

1．看看哪个符号可以移动。

2．判断一下哪个符号的移动最有利于到达终态。

3．选定一个符号并移动它。

4．判断是否到达终态，是则结束，否则就回到第一步。

而现在我们要使用机器来模拟这一过程，其步骤与人类类似，但不同的是，人在执行第二部的时候总是能预先判断未来好几步的局势，从而选出最有利的一步，而机器则不行，它要先得到一个状态才能知道这个状态下一步将会到哪些状态而无法像我们一样一次就看到后面几步的状态。那么基本思想就是让机器穷尽由初态出发到达所有可能状态的路径，并从中找到有终态的路径作为问题的解。

2.1 A*算法

就如我们上面说到的让机器找出所有的可能来得到问题的解，看起来似乎很简单，但问题在于一旦8数问题的解达到一定规模，机器所要穷尽的路径数量将变得极为庞大，无疑会消耗大量的时间和空间。那么如何让机器像人一样在选择移动符号的时候总是能选择最有利的那一个呢？下面就要介绍启发式搜索中的一个算法A*算法来解决这个问题。

算法描述：

1．首先生成一个搜索的图G，这个图开始只有初始状态n0。生成一个叫open的表，把n0添加到这个表里。

2．生成一个空表名为close。

3．如果open为空，则失败退出。

4．选择open上的第一个结点，把它添加到close里并命名为n，且从open中删除。

5．如果n是终态，那么问题得到解退出，否则到第5步。

6．把n结点扩展，生成其后续状态集M，注意M中不能有n的祖先。把M添加到G中，并让他们成为n的后继。

7．把M中不在open与close表里的点添加到open表里。

8．在open表里按启发函数（见2.2节）的大小重排open表。

2.2 启发函数

启发函数其实是用来给机器提供额外信息的函数，以此来帮助机器选择。所以启发函数的设计一定要基于问题域，在本设计中采用f(n)=h(n) mod 12+g(n)，其中h(n)表示n在搜索树中的深度，g(n)表示的是棋盘上所有结点离其正确位置的曼哈顿距离的和。在实际的搜索中若两个结点的f(n)相同则取深度大的那一个作为最优节点。关于mod 12,是因为随着搜索过程不断进行，搜索树的深度不断加深，h(n)的值将会不断增大，这样会影响搜索的效率，这里举个例子说明一下：假如在搜索树第二层有个节点A，它的曼哈顿距离之和g(n)为20，那么这是个很糟糕的情况了哈(在8数码问题里曼哈顿距离和的的最坏情况为24，这个自己推，我就不解释了),那么此时该结点的耗散值为20+2=22，当机器搜索到第22层时，你会发现22层上任意结点的h(n)=22，如果其中有一个结点B的g(n)=1，就是说B结点中那个不在正确位置上的符号只需要在移动一步就可以到达终态了。那么毫无疑问当前机器应该选择的最优结点就是B,可是要知道机器选择下一个扩展结点的依据是启发函数，如果此时启发函数为f(n)=h(n)+g(n)那么会发生什么情况呢，机器会放弃这个原本最优的结点B(此时B的f(n)=23)转而去选择A结点(A的f(n)=22).如此一来就会增加机器搜索出结果的代价。说到这里，有的人可能会想，那去掉h(n)这一层数因子不是更好？因为曼哈顿距离之和相同的情况下，层次越深的结点越好。不错，但是不要忽略了一个问题，从初态到终态之间不仅仅只有一条路径，如果你去掉层数这个因子，那么机器会一路向下从而忽略同一层次上其他路径上的结点，换句话说就是你通过这样的启发函数得到的路径不一定是最优的。那么现在的情况是，要么牺牲时间获得最佳结果，要么牺牲结果的最佳性而获得最快的速度。本设计则是取折中的结果，在保证速度的情况下尽可能的获得最好的结果，这就是mod 12 的原因，我们在12层这个规模里面遍历所有可能成为解路径上的结点，在12层这个规模外，我们忽略层数的影响，以深度为先。

2.3 可达性判断

现在还余下一个问题，那就是，是否所有的8数问题都有解？答案是否定的，以往的算法都以未找到结果且open表为空来断定当前给定的初始与终结状态互不可达。本设计采用通过判断两状态各自逆序数之和的奇偶性是否相同来判断两状态之间是否可达。实现代码如下：bool check(Node m)//判断是否可达

{

int k = 0, count = 0;

int tempArray[9] ;//临时数组存放8数码状态

for (int i = 0; i < 3; i++)

{

for (int j = 0; j < 3; j++)

{

tempArray[k++] = m.nGetV alue(i,j);

}

}

for (int i = 1; i <9; i++)

{

for (int j = 0; j < i; j++)