第5章--潮汐调和分析及海洋垂直基准
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i m
ht = S0 + ∑ Ri cos(qi t − θ i ) + γ (t )
i
m
（5-11）
ht = S0 + ∑ (ai cos qi t + bi sin qi t ) + γ (t )
i
m
忽略扰动项γ（t），则：
ht = S0 + (ai cos qit + bi sin qit ) + ∑(a j cos q j t + bj sin q j t )
Ω M = − μ0 M (
1 1 ρ − − 2 cos θ ) D r r
− μ
0
∞
M r 2
ρ co s θ
) j P j (c o s θ )
1 1 = D r
∑
r
(
ρ
r
∞
j=0
ΩM = −
μ0 M
∑ ( r ) P (cos θ )
j =2 j
ρ
j
ΩS = −
μ0 S
r1
∑ ( r ) P (cos θ )
12．42l 12．000 12．658 11．967
23．934 25-819 24．066 26．868
54．4 4l. 5 19．3 7．9
6．2l0 4．140 6．103
虽然在单个验潮站实际观测的潮高变化与平衡潮理论 给出的理论潮高变化有很大差别,各种频率成分(分潮)的贡 献与这些频率成分之间的理论比值不同，但实际海洋必然 要在天文引潮力的源动力下作相同频率的振动，或海水系 统对引潮力各分量做出频率成分相对应的响应。因而可以 将实际潮汐分成许多有规律的分振动，这些分离出来的具 有一定周期、一定振幅的分振动就叫分潮。表5-2给出了 11个主要分潮的周期和相对振幅。分潮在近海和沿岸，由 于气象对浅水作用的明显增强，在摩擦力的作用下，形成 浅海分潮(倍潮与复合潮)。
j =2 j 1 1
∞
ρ
j
Ω = ΩM + ΩS
由上述计算公式可以看出，地球上各质点受到的引潮 力与天体的质量成正比，与到天体的距离平方成反比，还 与天体到该处的天顶距有关，因此，引潮力因地而异，与 此同时，运动着的地球、月球和太阳相对位置亦出现多种 变化周期，因此，大洋中的海水产生多种周期组合在一起 的复杂周期性波动。这种波动在月球和太阳引力潮的作用 下，在海陆分布、海洋深度、海岸形状和地球自转偏向力 等因素的共同影响下做出不同的响应，形成各自的潮波系 统。所以各地的潮高和潮时因时因地而异且作周期性的变 化。
其中r，ψ，δ， Tl仍为非均匀的天文变量，必须进一 步展开。1883年达尔文利用月球运动理论引入平衡潮后展 开潮高公式，并对展开式的主要项用一定的符号来标记， 即分潮，此符号已被国际公认，一直沿用下来。达尔文展 开式各项的系数部分还包含着随时间变化的因子，相角部 分也包含不随时间均匀变化的量，且采用的天文常数不够 准确并需在应用时作一些近似假设，因而得到的不是调和 项，仅是准调和项。
人们早就认识到太阳、月亮与地球的相对运动是引 起海面周期性涨落的根本动因。尽管太空中的其它星体也 对地球产生引力作用，但它们使地球变形的影响很小，可 以忽略，这里讨论月球和太阳对地球的引潮作用，并视月 球和太阳为引潮天体。
引潮力定义： 引潮力是地球上任何一点所受的天体引力减去该天体 对地球中心的引力。 地球上任意单位的质点，在面向月球的一边，它们距 离月球比地心距离月球要近，该质点受月球的引力大于地 心受月球的引力；在背向月球的一侧，质点距离月球比地 心距离月球远，该质点受月球的引力比地心受月球的引力 要小。总起来说，地球上单位质量的质点所受月球的引 力，大小不同，方向也不同，但都指向月球中心。 月球引潮力是太阳引潮力的2.17倍。
ζ=
Ω g
虽然平衡潮理论能够很好地解释了某些潮汐变化的原 因（如大洋潮汐），但缺点是它的理论假设与实际海洋不 符，如海洋被错综复杂的陆地分割问题，海水的粘性问 题，海底、海岸和海面的摩擦，使得海水不能立即响应并 达到平衡状态，因而大多潮汐现象无法得到合理的解释， 例如浅海潮汐。
实际海洋潮汐的潮高
图5-1引潮力分解剖面图
图5-1以月球为例，对于任意地 面点X，天体之间的万有引力是维 持公转的向心力M，而就一个天体 整体而言，旋转运动产生的离心力 N必然与向心力平衡，即地心处的 离心力和向心力必然大小相等、方 向相反，合力为零。因为平动，地 球各点所受离心力相等。而由于各 点相对引潮天体中心的距离与方向 不同，所受万有引力各异。于是， 除地心之外，单位质点在各点的所 受合力是不同的，该合力即引潮力 F，由于月球绕地球作周期性的运 动，其产生的引潮力也相应产生周 期性的变化，也就引起弹性地球形 变和海洋水体的周期性运动与涨落。
j −1
m−1
源自文库
(5-12)
根据三角函数的正交性，在式(5-12)中，若欲保留i分潮，而消除 其余的j分潮，则须满足一定的分析长度n，即时间长度。
引潮力势的调和展开
1．拉普拉斯展开 考虑到地面点和引潮天体天顶距θ随时间的变化，因此，该角可表示 为研究点、引潮天体(中心)的地理坐标以及时间(或时角)的函数，即：
cos θ = sin ϕ sin δ + cos ϕ cos δ cos T
月球在地球表面及内部任一点P产生的引潮力位决定于P点相对于月心 的位置，是P点的坐标(ψ，λ，r)和月心的坐标(赤经α、赤纬δ、地心 与月球中心距离rm)六个变量的函数。1799年拉普拉斯将月球引起的引潮 力位引入地理纬度ψ、月球赤纬δ、月球时角T1，代替天顶距θ，即代 入式（5-3）得
表 5-1 Doodson 展开式中六个天文参数的角速度和周期
参数 τ s h p N′ P′ 意 义 角速度 ° /h 14.4920521 0.5490165 0.0410686 0.0046418 0.0022064 0.0000020 周 期
平太阴（月球）地方时 月球的平经度 太阳的平经度 月球近地点平经度 月球升交点平经度 太阳近地点平经度
平衡潮及其主要结论
牛顿用引力的观点解释海洋潮汐现象，创立了潮汐平 衡潮理论，后为贝努利所完善，所以称之为潮汐静力学理 论。其理论假设地球表面为等深海水所包围，不考虑海水 惯性、粘性、海底摩擦，忽略地球自转偏向力。所谓平衡 潮就是建立在该假设下的潮汐理论。
以月球为例，在某一瞬间，在月球引潮力水平分量作 用下，海面相对于原静止的水面发生倾斜，倾角为a，并产 生的压强梯度力，使海水运动，海面产生升降。 其建立的引潮力式Ω与潮高的关系为：
1 平太阴日=1.03505 平太阴日 回归月=27.321528 平太阳日 回归年=365.242199 平太阳日 月球平近地点周期 8.847 年 月球升交点周期 18.613 年 太阳近地点周期 20940
3．Darwin展开
潮高公式可利用拉普拉斯展开，其月球潮高公式展开式 为：
ζ = f (γ , ϕ , δ , T1 )
对引力和惯性离心力分解如下：
G G G F月 = FV + FH
(5-1)
因为具体地点引潮力是引潮天体直接的引力作用和对地心的引力作 用的矢量差F，故：
M V = μ0 M cos(θ + ϕ ) 2 D M M H = μ 0 2 cos(θ + ϕ ) D NV = μ 0 M cos θ r M N H = μ 0 2 sin θ r
表 5-2
分潮符号 （假想天体符号）
11 个主要分潮及其周期和相对振幅
名称 半日分潮 周期 （平太阳时） 相对振幅 （取 M 2＝100） 100．0 46．5 19．1 12．7
M2 Sz N2 K2 K1 O1 P1 Q1 M4 M6 M S4
太阴主要半日分潮 太阳主要半日分潮 太阴椭率主要半日分潮 太阴一太阳赤纬半日分潮 全日分潮 太阴一太阳赤纬全日分潮 太阴主要全日分潮 太阳主要全日分潮 太阴椭率主要全日分潮 浅海分潮 太阴浅水 l／4 日分潮 太阳浅水 1／6 日分潮 太阴、太阳浅水 1／4 日分潮
FV = M V − NV
FH = M H − N H
它具有与引力相同的基本性质，也是保守力，可以表示为位函数的梯度。 引潮力的位函数即引潮力位(势)。引潮力位是天体引力位和离心力位的和。
地面点X处相对地心的引力势为：
− μ
0
M
(
1 D
−
1 ) r
地面点X处相对地心的惯性离心力为： 地面点X所受月球引潮力势为： 而根据物理大地测量基本知识： 代入月球引潮势表达式有： 同理；太阳引潮势为： 总的引潮势为：
要将理论潮高满足实际海洋潮汐，则必须经过一些 订正。实际海水的涨落总可以表示为一些已知频率的振 动及非潮汐因素的扰动之和，则实际潮汐部分的潮高h可 表示为： m （5-10） ht = S0 + ∑ ( fH )i cos( qi t + G (v0i + ui ) − g i ) + γ (t )
现代海洋测绘
赵建虎
第五章
潮汐调和分析及海洋垂直基准 Tide Harmonic Analysis & Oceanic Vertical Datum
赵建虎
本 章 内 容
V V V V V V
平衡潮理论 潮汐、潮流分析 垂直基准 基准传递与推估 海洋垂直基准统一框架 思考题
5．1平衡潮理论
引潮力(势)
根据物理学有关原理可知，任何一种周期性的运动，都可以由许 多简谐振动组成。潮汐变化是一种非常近似的周期性运动，因而也可 以分解为许多固定频率的分潮波，进而求得分潮波的振幅和相位。 根据式（5-10），某一时期的潮高可表达式为：
ht = S0 + ∑ ( fH )i cos(qi t + G (v0i + ui ) − gi ) + γ (t )
i
式中，S0为长期平均水位高度，Hi、gi为调和常数，fi 为分潮i的交点因子，ai为分潮i的角速率，v0i为分潮i的格林 威治零时天文初相角。ui为分潮i点订正角。γ为扰动项。 Hi为分潮i的平均振幅，gi为分潮i的区时专用迟角，t为时间。
5．2 潮汐、潮流分析 潮汐分析
潮汐分析亦称潮汐调和分析，把任一海港的潮位变 化看作是许多分潮余弦振动之和，根据最小二乘或波谱分 析原理由实测数据计算出各分潮平均振幅和迟角的过程， 即潮汐调和分析过程。 根据观测时间的长短，一般可将调和分析分为短期、中 期和长期三类。 经典的潮汐调和分析有Darwin分析法、Doodson分析法。 现代潮汐调和分析多采用最小二乘分析法、傅立叶分析法 和波谱分析法等。
ΩM = −
μ0 M
r
∑ ( r ) P (cos θ )
j =2 j
∞
ρ
j
显然，引潮势的球函数级数表示中的第j项与引潮天体距地 心距离j+1次方成反比，其量值随阶次的提高迅速减小。通常 取j =2，对该项引潮势具体展开为：
ζ = ζ 0 + ζ1 + ζ 2
r ⎧⎡ 3 1 1⎤ 1 1 ⎫ = 2G( )3 ⎨⎢ (sin2 ϕ − )(sin2 δ − )⎥ + sin 2ϕ sin 2δ cos T1 + cos2 ϕ cos2 δ cos2T1 ⎬ r ⎩⎣ 2 3 3⎦ 2 2 ⎭ 3 M ρ 其中 G= g ( )3 ρ 。 4 E r
平衡潮理论的结论虽然可以说明实际海洋中的一些 简单潮汐现象，但是由于平衡潮理 论的假定与实际相差 甚远，并将原为动力学的问题按静力学问题处理，因此， 用有关的理论公式并不可能计算出任一点的实际海洋潮汐。 事实上，实际海洋潮波是天体引潮力作用下的一种波动， 由于陆地存在、海底地形起伏变化、海底摩擦及地球自转 等影响，潮波变化十分复杂，某一潮位站的潮汐观测仅是 对复杂潮波系统在这一点振动的采样。
至此，将月球引潮力势展开为长周期潮簇、日潮簇和半日 潮簇。
2．Doodson展开
Doodson 1921将月球的二阶引潮力位，进一步利用六个 天文变量进行展开，这些天文变量分别为平太阴（月球） 地方时τ、月球的平经度s、太阳的平经度h、月球近地点 平经度p、月球升交点平经度N′（N’=-N）；太阳近地点 的平经度p’。这六个参数均是时间t的线性函数，通过它们 可以计算任意t时刻月球和太阳的平位置，然后，通过对 平位置修正，得到真位置。 Doodson将此六个天文变量作为时间的变量，使展开式 中各潮波的振幅不显含与时间的关系，各潮波的相角为六 个天文变量的线性组合。这样，Doodson按照布朗月球运 动理论给出了调和展开，得到的是纯调和项，并给出 Doodson码。
ht = S0 + ∑ Ri cos(qi t − θ i ) + γ (t )
i
m
（5-11）
ht = S0 + ∑ (ai cos qi t + bi sin qi t ) + γ (t )
i
m
忽略扰动项γ（t），则：
ht = S0 + (ai cos qit + bi sin qit ) + ∑(a j cos q j t + bj sin q j t )
Ω M = − μ0 M (
1 1 ρ − − 2 cos θ ) D r r
− μ
0
∞
M r 2
ρ co s θ
) j P j (c o s θ )
1 1 = D r
∑
r
(
ρ
r
∞
j=0
ΩM = −
μ0 M
∑ ( r ) P (cos θ )
j =2 j
ρ
j
ΩS = −
μ0 S
r1
∑ ( r ) P (cos θ )
12．42l 12．000 12．658 11．967
23．934 25-819 24．066 26．868
54．4 4l. 5 19．3 7．9
6．2l0 4．140 6．103
虽然在单个验潮站实际观测的潮高变化与平衡潮理论 给出的理论潮高变化有很大差别,各种频率成分(分潮)的贡 献与这些频率成分之间的理论比值不同，但实际海洋必然 要在天文引潮力的源动力下作相同频率的振动，或海水系 统对引潮力各分量做出频率成分相对应的响应。因而可以 将实际潮汐分成许多有规律的分振动，这些分离出来的具 有一定周期、一定振幅的分振动就叫分潮。表5-2给出了 11个主要分潮的周期和相对振幅。分潮在近海和沿岸，由 于气象对浅水作用的明显增强，在摩擦力的作用下，形成 浅海分潮(倍潮与复合潮)。
j =2 j 1 1
∞
ρ
j
Ω = ΩM + ΩS
由上述计算公式可以看出，地球上各质点受到的引潮 力与天体的质量成正比，与到天体的距离平方成反比，还 与天体到该处的天顶距有关，因此，引潮力因地而异，与 此同时，运动着的地球、月球和太阳相对位置亦出现多种 变化周期，因此，大洋中的海水产生多种周期组合在一起 的复杂周期性波动。这种波动在月球和太阳引力潮的作用 下，在海陆分布、海洋深度、海岸形状和地球自转偏向力 等因素的共同影响下做出不同的响应，形成各自的潮波系 统。所以各地的潮高和潮时因时因地而异且作周期性的变 化。
其中r，ψ，δ， Tl仍为非均匀的天文变量，必须进一 步展开。1883年达尔文利用月球运动理论引入平衡潮后展 开潮高公式，并对展开式的主要项用一定的符号来标记， 即分潮，此符号已被国际公认，一直沿用下来。达尔文展 开式各项的系数部分还包含着随时间变化的因子，相角部 分也包含不随时间均匀变化的量，且采用的天文常数不够 准确并需在应用时作一些近似假设，因而得到的不是调和 项，仅是准调和项。
人们早就认识到太阳、月亮与地球的相对运动是引 起海面周期性涨落的根本动因。尽管太空中的其它星体也 对地球产生引力作用，但它们使地球变形的影响很小，可 以忽略，这里讨论月球和太阳对地球的引潮作用，并视月 球和太阳为引潮天体。
引潮力定义： 引潮力是地球上任何一点所受的天体引力减去该天体 对地球中心的引力。 地球上任意单位的质点，在面向月球的一边，它们距 离月球比地心距离月球要近，该质点受月球的引力大于地 心受月球的引力；在背向月球的一侧，质点距离月球比地 心距离月球远，该质点受月球的引力比地心受月球的引力 要小。总起来说，地球上单位质量的质点所受月球的引 力，大小不同，方向也不同，但都指向月球中心。 月球引潮力是太阳引潮力的2.17倍。
ζ=
Ω g
虽然平衡潮理论能够很好地解释了某些潮汐变化的原 因（如大洋潮汐），但缺点是它的理论假设与实际海洋不 符，如海洋被错综复杂的陆地分割问题，海水的粘性问 题，海底、海岸和海面的摩擦，使得海水不能立即响应并 达到平衡状态，因而大多潮汐现象无法得到合理的解释， 例如浅海潮汐。
实际海洋潮汐的潮高
图5-1引潮力分解剖面图
图5-1以月球为例，对于任意地 面点X，天体之间的万有引力是维 持公转的向心力M，而就一个天体 整体而言，旋转运动产生的离心力 N必然与向心力平衡，即地心处的 离心力和向心力必然大小相等、方 向相反，合力为零。因为平动，地 球各点所受离心力相等。而由于各 点相对引潮天体中心的距离与方向 不同，所受万有引力各异。于是， 除地心之外，单位质点在各点的所 受合力是不同的，该合力即引潮力 F，由于月球绕地球作周期性的运 动，其产生的引潮力也相应产生周 期性的变化，也就引起弹性地球形 变和海洋水体的周期性运动与涨落。
j −1
m−1
源自文库
(5-12)
根据三角函数的正交性，在式(5-12)中，若欲保留i分潮，而消除 其余的j分潮，则须满足一定的分析长度n，即时间长度。
引潮力势的调和展开
1．拉普拉斯展开 考虑到地面点和引潮天体天顶距θ随时间的变化，因此，该角可表示 为研究点、引潮天体(中心)的地理坐标以及时间(或时角)的函数，即：
cos θ = sin ϕ sin δ + cos ϕ cos δ cos T
月球在地球表面及内部任一点P产生的引潮力位决定于P点相对于月心 的位置，是P点的坐标(ψ，λ，r)和月心的坐标(赤经α、赤纬δ、地心 与月球中心距离rm)六个变量的函数。1799年拉普拉斯将月球引起的引潮 力位引入地理纬度ψ、月球赤纬δ、月球时角T1，代替天顶距θ，即代 入式（5-3）得
表 5-1 Doodson 展开式中六个天文参数的角速度和周期
参数 τ s h p N′ P′ 意 义 角速度 ° /h 14.4920521 0.5490165 0.0410686 0.0046418 0.0022064 0.0000020 周 期
平太阴（月球）地方时 月球的平经度 太阳的平经度 月球近地点平经度 月球升交点平经度 太阳近地点平经度
平衡潮及其主要结论
牛顿用引力的观点解释海洋潮汐现象，创立了潮汐平 衡潮理论，后为贝努利所完善，所以称之为潮汐静力学理 论。其理论假设地球表面为等深海水所包围，不考虑海水 惯性、粘性、海底摩擦，忽略地球自转偏向力。所谓平衡 潮就是建立在该假设下的潮汐理论。
以月球为例，在某一瞬间，在月球引潮力水平分量作 用下，海面相对于原静止的水面发生倾斜，倾角为a，并产 生的压强梯度力，使海水运动，海面产生升降。 其建立的引潮力式Ω与潮高的关系为：
1 平太阴日=1.03505 平太阴日 回归月=27.321528 平太阳日 回归年=365.242199 平太阳日 月球平近地点周期 8.847 年 月球升交点周期 18.613 年 太阳近地点周期 20940
3．Darwin展开
潮高公式可利用拉普拉斯展开，其月球潮高公式展开式 为：
ζ = f (γ , ϕ , δ , T1 )
对引力和惯性离心力分解如下：
G G G F月 = FV + FH
(5-1)
因为具体地点引潮力是引潮天体直接的引力作用和对地心的引力作 用的矢量差F，故：
M V = μ0 M cos(θ + ϕ ) 2 D M M H = μ 0 2 cos(θ + ϕ ) D NV = μ 0 M cos θ r M N H = μ 0 2 sin θ r
表 5-2
分潮符号 （假想天体符号）
11 个主要分潮及其周期和相对振幅
名称 半日分潮 周期 （平太阳时） 相对振幅 （取 M 2＝100） 100．0 46．5 19．1 12．7
M2 Sz N2 K2 K1 O1 P1 Q1 M4 M6 M S4
太阴主要半日分潮 太阳主要半日分潮 太阴椭率主要半日分潮 太阴一太阳赤纬半日分潮 全日分潮 太阴一太阳赤纬全日分潮 太阴主要全日分潮 太阳主要全日分潮 太阴椭率主要全日分潮 浅海分潮 太阴浅水 l／4 日分潮 太阳浅水 1／6 日分潮 太阴、太阳浅水 1／4 日分潮
FV = M V − NV
FH = M H − N H
它具有与引力相同的基本性质，也是保守力，可以表示为位函数的梯度。 引潮力的位函数即引潮力位(势)。引潮力位是天体引力位和离心力位的和。
地面点X处相对地心的引力势为：
− μ
0
M
(
1 D
−
1 ) r
地面点X处相对地心的惯性离心力为： 地面点X所受月球引潮力势为： 而根据物理大地测量基本知识： 代入月球引潮势表达式有： 同理；太阳引潮势为： 总的引潮势为：
要将理论潮高满足实际海洋潮汐，则必须经过一些 订正。实际海水的涨落总可以表示为一些已知频率的振 动及非潮汐因素的扰动之和，则实际潮汐部分的潮高h可 表示为： m （5-10） ht = S0 + ∑ ( fH )i cos( qi t + G (v0i + ui ) − g i ) + γ (t )
现代海洋测绘
赵建虎
第五章
潮汐调和分析及海洋垂直基准 Tide Harmonic Analysis & Oceanic Vertical Datum
赵建虎
本 章 内 容
V V V V V V
平衡潮理论 潮汐、潮流分析 垂直基准 基准传递与推估 海洋垂直基准统一框架 思考题
5．1平衡潮理论
引潮力(势)
根据物理学有关原理可知，任何一种周期性的运动，都可以由许 多简谐振动组成。潮汐变化是一种非常近似的周期性运动，因而也可 以分解为许多固定频率的分潮波，进而求得分潮波的振幅和相位。 根据式（5-10），某一时期的潮高可表达式为：
ht = S0 + ∑ ( fH )i cos(qi t + G (v0i + ui ) − gi ) + γ (t )
i
式中，S0为长期平均水位高度，Hi、gi为调和常数，fi 为分潮i的交点因子，ai为分潮i的角速率，v0i为分潮i的格林 威治零时天文初相角。ui为分潮i点订正角。γ为扰动项。 Hi为分潮i的平均振幅，gi为分潮i的区时专用迟角，t为时间。
5．2 潮汐、潮流分析 潮汐分析
潮汐分析亦称潮汐调和分析，把任一海港的潮位变 化看作是许多分潮余弦振动之和，根据最小二乘或波谱分 析原理由实测数据计算出各分潮平均振幅和迟角的过程， 即潮汐调和分析过程。 根据观测时间的长短，一般可将调和分析分为短期、中 期和长期三类。 经典的潮汐调和分析有Darwin分析法、Doodson分析法。 现代潮汐调和分析多采用最小二乘分析法、傅立叶分析法 和波谱分析法等。
ΩM = −
μ0 M
r
∑ ( r ) P (cos θ )
j =2 j
∞
ρ
j
显然，引潮势的球函数级数表示中的第j项与引潮天体距地 心距离j+1次方成反比，其量值随阶次的提高迅速减小。通常 取j =2，对该项引潮势具体展开为：
ζ = ζ 0 + ζ1 + ζ 2
r ⎧⎡ 3 1 1⎤ 1 1 ⎫ = 2G( )3 ⎨⎢ (sin2 ϕ − )(sin2 δ − )⎥ + sin 2ϕ sin 2δ cos T1 + cos2 ϕ cos2 δ cos2T1 ⎬ r ⎩⎣ 2 3 3⎦ 2 2 ⎭ 3 M ρ 其中 G= g ( )3 ρ 。 4 E r
平衡潮理论的结论虽然可以说明实际海洋中的一些 简单潮汐现象，但是由于平衡潮理 论的假定与实际相差 甚远，并将原为动力学的问题按静力学问题处理，因此， 用有关的理论公式并不可能计算出任一点的实际海洋潮汐。 事实上，实际海洋潮波是天体引潮力作用下的一种波动， 由于陆地存在、海底地形起伏变化、海底摩擦及地球自转 等影响，潮波变化十分复杂，某一潮位站的潮汐观测仅是 对复杂潮波系统在这一点振动的采样。
至此，将月球引潮力势展开为长周期潮簇、日潮簇和半日 潮簇。
2．Doodson展开
Doodson 1921将月球的二阶引潮力位，进一步利用六个 天文变量进行展开，这些天文变量分别为平太阴（月球） 地方时τ、月球的平经度s、太阳的平经度h、月球近地点 平经度p、月球升交点平经度N′（N’=-N）；太阳近地点 的平经度p’。这六个参数均是时间t的线性函数，通过它们 可以计算任意t时刻月球和太阳的平位置，然后，通过对 平位置修正，得到真位置。 Doodson将此六个天文变量作为时间的变量，使展开式 中各潮波的振幅不显含与时间的关系，各潮波的相角为六 个天文变量的线性组合。这样，Doodson按照布朗月球运 动理论给出了调和展开，得到的是纯调和项，并给出 Doodson码。