刹车距离与二次函数

2
x y
§2.3 刹车距离与二次函数(1)
学习目标：
1、经历探索二次函数y=a x 2和y=a x 2＋c 的图象的作法和性质的过程
2、会作出y=a x 2和y=a x 2＋c 的图象，并能比较它们与y= x 2的异同，理解a 与c 对二次函数图象的影响
3、能说出y=a x 2＋c 与y=a x 2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 学习重点：二次函数y=a x 2、y=a x 2＋c 的图象和性质 学习过程：
一、 复习旧知，温故知新
二次函数y=x 2 与y=－x 2的性质： 二、创设情境，引入新知
二次函数是否只有y ＝x 2与y ＝－x 2这两种呢?有没有其他形式的二次函数？ 它们的函数图象又是怎样的呢？ 三、合作探究，发现新知
1、在同一坐标系中作二次函数y=x
2、y=2x 2 和y=4x 2的图象，并分析它的特征。

(1)列表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x 2 … 9 4
1
1
4
9
… y=2x 2 … … y=4x 2 …
…
(2)在直角坐标系（右图）中描点，
(3)用光滑的曲线连接各点，得到函数y ＝x 2
，
y=2x 2
和y=4x 2的图象，分析它的相同点与不同点
相同点：
它们的图象都是一条 ，开口都向 ，对称轴都是 ，顶点坐标都是 ，增减性规律都一致，函数都有最 值，当x ＝0时，y 最小= 。

不同点：
函数图象开口大小不同，|a|越大，函数图象开口越 ,函数值的增长速度越 。

【小结】：二次函数
y=ax 2（a ＞0）图象
抛物线 y=x 2 y=－x 2
对称轴 顶点坐标 开口方向 位置 增减性 最值
的开口大小与 有关。

若|a|越大，函数图象开口越 ,函数值的增长速度越 。

2、类比y=x 2与y ＝－x 2图象性质的联系，试一试不画出二次函数y=－x 2、y=－2x 2 和y=－4x 2的图象，分析它的特征。

相同点：
它们的图象都是一条 ，开口都向 ，对称轴都是 ，顶点坐标都是 ，增减性规律都一致，函数都有最 值，当x ＝0时，y 最大= 。

不同点：
函数图象开口大小不同，|a|越大，函数图象开口越 ,函数值的增长速度越 。

【总结】：二次函数y=ax 2图象的开口大小与 有关。

若|a|越大，函数图象开口越 ,函数值的增长速度越 。

四、课堂小结，归纳新知
1、比较二次函数2ax y =（a ＞0）与2ax y -=的性质：
2、二次函数y=ax 2图象的开口大小与|a|有关，若|a|越 ，函数图象开口越 。

五、学以致用，运用新知
1、刹车距离与二次函数的关系．
影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数．有研究表明，晴天在某段公路上行驶时，速度为v(km ／h)的汽车的刹车距离s(m)可以由公式s ＝
100
1v 2
确定，雨天行驶时，这一公式为s ＝
50
1v 2
． （1）下图的坐标系中是s ＝100
1v 2
的图象，根
据画图象的三个步骤即列表、描点、连线，在同一直角坐标系内作出函数s=
50
1v 2
的图象． （2）、如果车速是60km/h ，那么在雨天和在晴天行驶相比，刹车距离相差多少米？你是怎么知道的？
抛物线 2ax y =
2ax y -=
对称轴 顶点坐标 开口方向 位置 增减性 最值
六、运用新知，巩固新知
1．抛物线y ＝3x 2的对称轴是_______________，顶点坐标是____________，当x _________时，抛物线上的点都在x 轴的上方；
2．二次函数y=－2x 2的图象开口 ，当x ＞ 0时，y 随x 的增大而 ；当x ＜ 0时，y 随x 的增大而 ；当x ＝ 0时，函数y 有最 值是 。

3．点A （
2
1
，b ）是抛物线y=4x 2上的一点，则b= ；点A 关于y 轴的对称点B 是 ，它在函数 上；点A 关于原点的对称点C 是 ，它在函数 上．
4．已知抛物线2
y ax =经过点(1，3)，求当4=y 时，x =________；
5．已知a ＜－1，点（a －1，y 1）、（a ，y 2）、（a ＋1，y 3）都在函数y=3x 2的图象上，则y 1，y 2，y 3之间的大小关系为（ ）
A ．y 1＜y 2＜y 3
B ．y 1＜y 3＜y 2
C ．y 3＜y 2＜y 1
D ．y 2＜y 1＜y 3
6.抛物线2
2
1x y -=不具有的性质是（ ） A ．开口向下 B ．对称轴是y 轴 C ．当x ＞ 0时，y 随x 的增大而减小 D ．函数有最小值
7．抛物线2
228,5,4
1x y x y x y =-==共有的性质是（ ）
A ．开口方向相同
B ．开口大小相同
C ．当x ＞ 0时，y 随x 的增大而增大
D ．都是关于y 轴对称，抛物线的顶点都是原点 8．抛物线，y=4x 2，y=－2x 2的图象，开口最大的是（ ） A ．y=4
1x 2
B ．y=4x 2
C ．y=－2x 2
D ．无法确定
9．如图，A 、B 分别为y=x 2上两点，且线段AB ⊥y 轴，若AB=6，则直线AB 的表达式为（ ）
A ．y=3
B ．y=6
C ．y=9
D ．y=36
10．二次函数y=ax 2与一次函数y=ax ＋a 在同一坐标系中的图象大致为（ ）
11．（选做）设直线与抛物线的交点 A ，B 的横坐标分别为3，－1。

(1) 求a ，b 的值；
(2) 设抛物线的顶点为C ，求△ABC 的面积。

b
ax y +=2
1x y =
§2.3 刹车距离与二次函数(2)
一、合作探究，发现新知
1、在同一坐标系中作二次函数y=2x
2、y=2x2+1和y=2x2－1的图象，并分析它的特征。

(1)列表：
x …-3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=2x2…18 8 2 0 2 8 18 …
y=2x2+1……
y=2x2－1……
(3)用光滑的曲线连接各点，得到函数y＝2x2，
y=2x2 +1和y=2x2－1的图象，分析它的相同点与不同点
相同点：
它们的图象都是一条形状完全相同的，开
口都向，开口大小都，对称轴都
是，增减性规律都一致，函数都有最值。

不同点：
图象顶点坐标不同，为，函数的最小值不同，
当x＝0时，y最小= 。

【小结】：二次函数y=ax2+c的图象,它可由
二次函数的图象向上或向下平移得到。

【归纳】：二次函数y=ax2+c的图象,它可由二次函数的图象向上或向下平移得到。

当c＞0时，把y=ax2（a≠0）的图象向平移个单位长度得到y=ax2＋c（a≠0）的图象，它的顶点坐标是。

当c＜0时，把y=ax2（a≠0）的图象向平移个单位长度得到y=ax2＋c（a≠0）的图象，它的顶点坐标是。

思考：你能描述函数y＝－2x2，y=－2x2 +1和y=－2x2－1的图象的关系吗？
二、运用新知，巩固新知
1．抛物线y=－4x2－4的开口向，当x= 时，y有最值，y= 。

2．抛物线y=－2x2+8，y=4x2，y=3x2的图象，开口最大的是（）
A．y=3x2B．y=4x2C．y=－2x2+8 D．无法确定
3．二次函数y=5x 2+8的图像是 ，它的开口方向 、对称轴 ，顶点坐标 最值 ，增减性：在对称抽左侧 ，在对称轴右侧 。

4．抛物线y=-3x 2+2可以看成是由抛物线y=-3x 2-4向 平移 个单位得到的。

5．将抛物线2
3
1x y =
向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为 ,再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式为 ,并分别写出这两个函数的顶点坐标 、 。

6．将抛物线122-=x y 向上平移4个单位后，所得的抛物线是 ，当x= 时，该抛物线有最 （填大或小）值，是 。

7．二次函数y=-5x 2 和y=5x 2的图像关于 对称，y=-5x 2+2 和y=5x 2-2的图像是关于 对称。

8．将函数y=2x 2+4的图象沿x 轴对折,得到图象的函数解析式为 。

9．写出一个开口向上，对称轴是y 轴，最值是y=－8的二次函数关系式 。

10．已知点（－7，y 1）、（3，y 2）、（－1，y 3）都在函数y=ax 2＋c （a≠0）的图象上，则y 1，y 2，y 3之间的大小关系为（ ）
A ．y 1＜y 2＜y 3
B ．y 1＜y 3＜y 2
C ．y 3＜y 2＜y 1
D ．y 2＜y 1＜y 3 11．（选做）已知二次函数y =－ax 2
，下列说法错误的是（ ）
A . 当a ＞0，x ≠0时，y 总取负值
B . 当a ＜0，x ＜0时，y 随x 的增大而减小
C . 当a ＜0时，图象有最低点，y 有最小值0
D . 当x ＜0时，y = －ax 2图象的对称轴是y 轴
12．（选做）如图，直线ι经过A （3，0），B （0，3）两点，且与二次函数y=x 2＋1的图象在第一象限内相交于点C ．求： （1）△AOC 的面积；
（2）二次函数图象顶点D 与点A 、B 组成的三角形的面积．
三、课堂小结。