2 因式分解的八种常见应用

联立①②，
解得
a＝6， b＝4.
返回
应用 5 用于判断三角形的形状
5．已知a，b，c为△ABC的三条边的长，且b2＋2ab＝
c2＋2ac. (1)试判断△ABC属于哪一类三角形；
解：∵b2＋2ab＝c2＋2ac， ∴(b2－c2)＋(2ab－2ac)＝0. ∴(b＋c)(b－c)＋2a(b－c)＝0. ∴(b－c)(b＋c＋2a)＝0. ∵b＋c＋2a＞0， ∴b－c＝0，即b＝c. ∴△ABC是等腰三角形．
应用 4 用于求边长
4．已知长方形的周长为20，相邻两边长分别为a，b(a，
b均为整数)，且a，b满足a2－2ab＋b2－4a＋4b＋4＝
0.求a，b的值．
解：∵a2－2ab＋b2－4a＋4b＋4＝0，
∴(a－b)2－4(a－b)＋4＝0，即(a－b－2)2＝0.
∴a－b＝2.①
又∵周长为20，∴a＋b＝10.②
＝[(a＋b)2－c2][(a－b)2－c2] ＝(a＋b＋c)(a＋b－c)(a－b＋c)(a－b－c)． ∵a，b，c为三角形的三边长， ∴a＋b＋c＞0，a＋b－c＞0，a－b＋c＞0，a－b－c＜0. ∴(a＋b＋c)(a＋b－c)(a－b＋c)(a－b－c)＜0，即(a2＋b2－ c2)2－4a2b2＜0.故(a2＋b2－c2)2－4a2b2的值一定为负．返回
(2)若a＝4，b＝3，求△ABC的周长．
由(1)可知b＝c＝3. ∴△ABC的周长为a＋b＋c＝4＋3＋3＝10.
返回
应用 6 用于比较大小
6．已知P＝2x2＋4y＋13，Q＝x2－y2＋6x－1，比较 P，Q的大小．
解：P－Q＝(2x2＋4y＋13)－(x2－y2＋6x－1)
＝x2－6x＋y2＋4y＋14
第14章 整式的乘法与因式分解
双休作业(九) 2 因式分解的八种常见应用
1
2
3
4
5
6
7
8
应用 1 用于简便计算
1．计算：23×2.718＋59×2.718＋18×2.718.
解：＝(23＋59＋18)×2.718 ＝100×2.718 ＝271.8.
返回
应用 2 用于化简求值
2．已知x－2y＝3，x2－2xy＋4y2＝11.求下列各式的值：
应用 8 用于探究规律
8．观察下列各式：
12＋(1×2)2＋22＝9＝32， 22＋(2×3)2＋32＝49＝72， 32＋(3×4)2＋42＝169＝132，…. 你发现了什么规律？请用含有字母n(n为正整数)
的等式表示出来，并说明理由．
解：规律：n2＋[n(n＋1)]2＋(n＋1)2＝[n(n＋1)＋1]2.
(1)xy； 解：∵x－2y＝3，∴x2－4xy＋4y2＝9.
∴(x2－2xy＋4y2)－(x2－4xy＋4y2)＝11－9，
即2xy＝2，∴xy＝1.
(2)x2y－2xy2 ＝xy(x－2y)＝1×3＝3.
返回
应用 3 用于判断整除
3．随便写出一个十位数字与个位数字不相等的两位
数，把它的十位数字与个位数字对调得到另一个 两位数，并用较大的两位数减去较小的两位数，
所得的差一定能被9整除吗？请说明理由．
解：所得的差一定能被9整除． 理由：不妨设该两位数个位上的数字是b，十位上的数字 是a，且a>b，b不为0，则这个两位数是10a＋b，将十位 数字与个位数字对调后的数是10b＋a，则这两个两位数 中，较大的数减较小的数的差是(10a＋b)－(10b＋a)＝9a －9b＝9(a－b)，所以所得的差一定能被9整除． 返回
理由：
n2＋[n(n＋1)]2＋(n＋1)2
＝[n(n＋1)]2＋2n2＋2n＋1
＝[n(n＋1)]2＋2n(n＋1)＋1
＝[n(n＋1)＋1]2.
返回
＝(x－3)2＋(y＋2)2＋1.
∵(x－Biblioteka Baidu)2≥0，(y＋2)2≥0，
∴P－Q＝(x－3)2＋(y＋2)2＋1≥1.
∴P＞Q.
返回
应用 7 用于判断正负
7．若a，b，c为三角形的三边长，试证明：(a2＋b2－ c2)2－4a2b2的值一定为负．
证明：(a2＋b2－c2)2－4a2b2 ＝(a2＋b2－c2)2－(2ab)2 ＝(a2＋b2－c2＋2ab)(a2＋b2－c2－2ab)