43矩阵可相似对角化的条件

第四章 矩阵的特征值和特征向量
定理4.5.
A
§4.3 矩阵可相似对角化的条件
1, 2, …, s 互异
11, …, 1t1 , 21, …, 2t2 , …, s1, …, sts
线性无关
线性无关
线性无关

11, …, 1t1, 21, …, 2t2 , …, s1, …, sts
3=(1, 1, 1)T.
因此 A 可以相似对角化.

第四章 矩阵的特征值和特征向量
§4.3 矩阵可相似对角化的条件
2 -3 -1
2
令(1P) =若1=2 0是二-1重根, 则, 则P1aA=P=2. 2
.
A0的特1征值1 1= 2= 2, 3 =6
6
对应于1= 2= 2,
§4.3 矩阵可相似对角化的条件
1 2 3 例1. A = 1 4 3 有一个2重特征值.
1a5
(1) a = ?
(2) A 是否可以相似对角化?
1 2 3 解: |EA| = 1 4 3
1 a 5
= (2)(2 8 + 18+3a).

第四章 矩阵的特征值和特征向量
考虑矩阵是否可以相似对角化, 优先计算 重根的线性无关特征向量的个数.
(1)存在某个特征值 , 的代数重数 ＞ 的几何重数
则A一定不能相似对角化.
(2)对所有特征值 , 的代数重数 = 的几何重数
则A一定可以相似对角化.

第四章 矩阵的特征值和特征向量
§4.3 矩阵可相似对角化的条件
Ai= i i, i=1,2,…,n.
定理4.3. Ann相似于对角矩阵 A有n个线性无关的特征向量.
如何判断？

第四章 矩阵的特ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ值和特征向量
§4.3 矩阵可相似对角化的条件
定理4.4.
A
1 ≠ 2
1
1, …, s
2
1, …, r
线性无关
线性无关

{1, …, s, 1, …, r}线性无关
线性无关

第四章 矩阵的特征值和特征向量
§4.3 矩阵可相似对角化的条件
推论1. n阶方阵A相似于对角矩阵
t1 + t2 +… + ts = n.
推论2. 若n阶方阵A有n个互异的特征值 A相似于对角矩阵.
推论3. A的属于不同特征值的特征向量 线性无关.

第四章 矩阵的特征值和特征向量
第四章 矩阵的特征值和特征向量
§4.3 矩阵可相似对角化的条件
第四章 矩阵的特征值和特征向量
§4.3 矩阵可相似对角化的条件
一. 矩阵可相似对角化的判别
定理4.1. n 阶方阵 A 可相似对角化
存在 n 个线性无关的向量 1, 2, …, n , 以及 n 个数1, 2,…, n , 使得
A的特征值1= 2, 2= 3 =4.
对应于1= 2,
(2E–A)x = 0的基础解系为:
1=(3, 0, 1)T. 对应于2= 3 =4, 考虑(4E–A)x = 0.
由于r(4E–A)=2,
故2= 3 =4仅有一个线性无关的特征向量.
因此 A 不可以相似对角化.

第四章 矩阵的特征值和特征向量

二. Jordan标准形简介
定理4.6. 设A为n阶复方阵, 则A相似于
J1 Jordan形矩阵 J= J2
Jordan块
Js
i
其中Ji =
1
i
i
1
i
若不考虑Jordan块的次序, J由A唯一决定.

第四章 矩阵的特征值和特征向量
课后思考题
§4.3 矩阵可相似对角化的条件
设 n 阶方阵 A 满足 A2=A, (1) 证明 A 一定可以相似对角化； (2) 设 r(A) = r , 求 |A+E|.
§4.3 矩阵可相似对角化的条件
(1) 若=2 是二重根, 则 a = 2.
A的特征值1= 2= 2, 3 =6
对应于1= 2= 2,
(2E–A)x = 0的基础解系为:
1=(2, 1, 0)T, 2=( 3, 0, 1)T. 对应于3= 6,
(6E–A)x = 0的基础解系为:
(2E–A)x = 0的基础解系为:
1=(2, 1, 0)T, 2=( 3, 0, 1)T.
对应于3= 6,
(6E–A)x = 0的基础解系为:
3=(1, 1, 1)T.
因此 A 可以相似对角化.

第四章 矩阵的特征值和特征向量
§4.3 矩阵可相似对角化的条件
(2) 若=2 是单根, 则 a = 2/3.
观察. 的重数
1 代数重数
2 3
§4.3 矩阵可相似对角化的条件
属于的线性无关的
特征向量的个数
1 几何重数
2, 1
3, 2, 1
… …
k
k, k-1, k-2, …, 1
结论. 的代数重数 ≥ 的几何重数

第四章 矩阵的特征值和特征向量
§4.3 矩阵可相似对角化的条件
结论. 的代数重数 ≥ 的几何重数