《数学模型》(第三版)电子课件第二章

1032 632 342 = 9பைடு நூலகம்.4, Q2 = = 94.5, Q3 = = 96.3 第20席 Q1 = 席 10 ×11 6× 7 3× 4
Q1最大,第20席给甲系 最大, 席
103 2 = 80.4, Q2 , Q3 同上 第21席 Q1 = 席 11 × 12
Q值方法 值方法 分配结果
Q3最大,第 最大, 21席给丙系 席 公平吗? 公平吗?
2 p1
该席给A 该席给 否则, 该席给B 否则 该席给
p i2 , i = 1, 2 , 该席给 值较大的一方 定义 Q i = 该席给Q值 ni ( ni + 1)
推广到m方 推广到 方 分配席位
p i2 , i = 1, 2, , m 计算 Q i = ni ( n i + 1)
该席给Q值最大的一方 该席给 值最大的一方
温差, 材料厚度 材料厚度, 热传导系数 T~温差 d~材料厚度 k~热传导系数 温差 热传导定律
材料均匀, 材料均匀,热传导系数为常数
2d
T Q = k d
Q2
墙
建模 记双层玻璃窗传导的热量 1 记双层玻璃窗传导的热量Q
Ta~内层玻璃的外侧温度 内层玻璃的外侧温度 Tb~外层玻璃的内侧温度 外层玻璃的内侧温度 k1~玻璃的热传导系数 玻璃的热传导系数 k2~空气的热传导系数 空气的热传导系数 空气
系别 学生 比例 比 例 加 惯 例 甲 乙 丙 103 51.5 63 34 31.5 17.0 100.0
席的分配 20席的分配 21席的分配 席的分配 10.3 6.3 3.4 20.0 10 6 4 20
人数 (%) 比例 结果 )
总和 200
对 比例 结果 丙 10.815 11 系 6.615 7 公 3.570 3 平 吗 21.000 21
若rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 则这席应给 A 若rB(n1+1, n2) >rA(n1, n2+1), 则这席应给 B
该席给A 当 rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 该席给 rA, rB的定义
n 2 ( n 2 + 1)
2 p2
<
n1 ( n 1 + 1 )
"公平"分配方 公平" 公平 法 人数 席位
A方 方 B方 方 p1 p2 n1 n2
衡量公平分配的数量指标 当p1/n1= p2/n2 时,分配公平 若 p1/n1> p2/n2 ,对 A 不公平
p1/n1– p2/n2 ~ 对A的绝对不公平度 的 p1=150, n1=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10 p1/n1– p2/n2=5 虽二者的 虽二者的绝对 不公平度相同 p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100 p1/n1– p2/n2=5 但后者对A的 但后者对 的不公平 程度已大大降低! 程度已大大降低!
录像带运动速度是常数
模型假设
录像带的运动速度是常数 计数器读数
v;
n与右轮转数 m成正比,记 m=kn; 与右轮转数 成正比 成正比, ; w; ;
录像带厚度(加两圈间空隙)为常数 录像带厚度(加两圈间空隙) 空右轮盘半径记作 时间
r;
t=0 时读数 n=0 . 建立时间 与读数 建立时间t与读数 之间的关系 时间 与读数n之间的关系 为已知参数) (设v,k,w ,r为已知参数) , ,
思考 要求
计数器读数是均匀增长的吗? 计数器读数是均匀增长的吗? 不仅回答问题, 不仅回答问题,而且建立计数器读数与 录像带转过时间的关系. 录像带转过时间的关系.
观察
计数器读数增长越来越慢! 计数器读数增长越来越慢!
问题分析 录像机计数器的工作原理
左轮盘 右轮盘 主动轮 录像带 磁头 压轮 录像带运动方向 录像带运动 右轮盘半径增大 计数器读数增长变慢 右轮转速不是常数 0000 计数器
Q 值方法
三系用Q值方法重新分配 个席位 三系用 值方法重新分配 21个席位 按人数比例的整数部分已将19席分配完毕 按人数比例的整数部分已将 席分配完毕
甲系: 甲系:p1=103, n1=10 乙系: 乙系:p2= 63, n2= 6 丙系: 丙系:p3= 34, n3= 3
用Q值方法分配 值方法分配 席和第21席 第20席和第 席 席和第
思 考
模型中有待定参数
r , w, v , k ,
一种确定参数的办法是测量或调查,请设计测量方法. 一种确定参数的办法是测量或调查,请设计测量方法.
参数估计 另一种确定参数的方法 另一种确定参数的方法——测试分析 测试分析
t = an 2 + bn , 只需估计 a,b 将模型改记作
理论上,已知 再有一组(t, 数据即可 理论上,已知t=184, n=6061, 再有一组 n)数据即可 实际上,由于测试有误差, 实际上,由于测试有误差,最好用足够多的数据作拟合 现有一批测试数据: 现有一批测试数据: t 0 20 40 n 0000 1141 2019 t 100 120 140 n 4004 4545 5051 60 2760 160 5525 80 3413 184 6061 用最小二乘法可得
m
m = kn
2 π rk n + n v
2
t =
π wk
v
2
模型建立 2. 考察右轮盘面积的 变化,等于录像带厚度 变化, 乘以转过的长度, 乘以转过的长度,即
2 2
3. 考察 到t+dt录像带在 考察t到 录像带在 右轮盘缠绕的长度, 右轮盘缠绕的长度,有
π [( r + wkn ) r ] = wvt ( r + wkn ) 2π kdn = vdt
"公平"分配方 公平" 公平 法
将绝对度量改为相对度量
若 p1/n1> p2/n2 ,定义
p1 / n1 p2 / n2 的 = rA (n1 , n2 ) ~ 对A的相对不公平度 p2 / n2
类似地定义 rB(n1,n2) 公平分配方案应 使 rA , rB 尽量小
将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 将一次性的席位分配转化为动态的席位分配 即 已分别有n 若增加1席 问应分给A, 还是B 设A, B已分别有 1, n2 席,若增加 席,问应分给 还是 已分别有 即对A不公平 不妨设分配开始时 p1/n1> p2/n2 ,即对 不公平
2.3
双层玻璃窗的功效
问 双层玻璃窗与同样多材料的单层 玻璃窗相比, 题 玻璃窗相比,减少多少热量损失
热量传播只有传导, 假 热量传播只有传导,没有对流 不变, 设 T1,T2不变,热传导过程处于稳态
室 内 T1
d
l
d
室 外 T2
Q1
墙 室 内 T1 室 外 T2
建 单位时间单位面积传导的热量 模 Q ~单位时间单位面积传导的热量
第二章
初等模型
2.1 公平的席位分配 2.2 录像机计数器的用途 2.3 双层玻璃窗的功效 2.4 汽车刹车距离 2.5 划艇比赛的成绩 2.6 实物交换 2.7 核军备竞赛 2.8 启帆远航 2.9 量纲分析与无量纲化
2.1
问 题
公平的席位分配
三个系学生共200名(甲系100,乙系 ,丙系 ),代表 名 甲系 ),代表 三个系学生共 ,乙系60,丙系40), 会议共20席 按比例分配,三个系分别为10, , 席 会议共 席,按比例分配,三个系分别为 ,6,4席. 席如何分配. 现因学生转系,三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配. 席如何分配 现因学生转系,三系人数为 若增加为21席 又如何分配. 若增加为 席,又如何分配.
a = 2 . 61 × 10 6 , b = 1 . 45 × 10 2 .
模 型 检 验
应该另外测试一批数据检验模型: 应该另外测试一批数据检验模型:
t = an + bn ( a = 2 . 61 × 10 , b = 1 . 45 × 10
2
6
2
)
模 型 应 用
回答提出的问题: 回答提出的问题:由模型算得 n = 4450 时 t = 116.4分, 分 分钟的节目. 剩下的录像带能录 184-116.4= 67.6分钟的节目. 分钟的节目 揭示了" 之间呈二次函数关系"这一普遍规律, 揭示了"t 与 n 之间呈二次函数关系"这一普遍规律, 当录像带的状态改变时, 即可. 当录像带的状态改变时,只需重新估计 a,b 即可.
t =
2
π wk
v
2 π rk n + n v
2
思 考
3种建模方法得到同一结果
∑
m
2 π ( r + wi ) = vt
2 2
i =1
π [( r + wkn ) r ] = wvt
t=
π wk
v
2
( r + wkn ) 2π kdn = vdt
2π rk n + n v
2
但仔细推算会发现稍有差别,请解释. 但仔细推算会发现稍有差别,请解释.
甲系11席 乙系6 丙系4 甲系11席,乙系6席,丙系4席 11
进一步的讨论
Q值方法比"比例加惯例"方法更公平吗? 值方法比"比例加惯例"方法更公平吗? 值方法比 席位分配的理想化准则 已知: 方人数分别为 已知 m方人数分别为 p1, p2,… , pm, 记总人数为 P= p1+p2+…+pm, 待分配的总席位为 . 待分配的总席位为N. 设理想情况下m方分配的席位分别为 设理想情况下 方分配的席位分别为n1,n2,… , nm 方分配的席位分别为 (自然应有 1+n2+…+nm=N), 自然应有n 自然应有 , ni 应是 N和 p1, … , pm 的函数,即ni = ni (N, p1, … , pm ) 的函数, 和 均为整数, 记qi=Npi /P, i=1,2, … , m, 若qi 均为整数,显然应 ni=qi
应讨论以下几种情况
初始 p1/n1> p2/n2
1)若 p1/(n1+1)> p2/n2 , 则这席应给 A ) 2)若 p1/(n1+1)< p2/n2 , 应计算 B(n1+1, n2) ) 应计算r 3)若 p1/n1> p2/(n2+1), 应计算 A(n1, n2+1) ) , 应计算r 是否会出现? 问: p1/n1<p2/(n2+1) 是否会出现? 否!
2.2 录像机计数器的用途 问 题
经试验,一盘标明 经试验,一盘标明180分钟的录像带 分钟的录像带 从头走到尾,时间用了184分,计数 从头走到尾,时间用了 分 器读数从0000变到 变到6061. 器读数从 变到 .
在一次使用中录像带已经转过大半,计数器读数为 在一次使用中录像带已经转过大半, 4450,问剩下的一段还能否录下1小时的节目? ,问剩下的一段还能否录下 小时的节目 小时的节目?
室 内 T1
Ta T b d l d
室 外 T2
Q1
墙
T1 T a T a Tb Tb T 2 Q1 = k 1 = k2 = k1 d l d
T1 T2 k1 l , s=h , h= Q1 = k1 d ( s + 2) k2 d
建模 记单层玻璃窗传导的热量 2 记单层玻璃窗传导的热量Q T1 T2 T1 T 2 Q1 = k1 Q 2 = k1 d ( s + 2) 2d
qi=Npi /P不全为整数时,ni 应满足的准则: 不全为整数时, 应满足的准则: 不全为整数时 方向取整; 记 [qi]– =floor(qi) ~ 向 ≤ qi方向取整; 方向取整. [qi]+ =ceil(qi) ~ 向 ≥ qi方向取整 1) [qi]– ≤ ni ≤ [qi]+ (i=1,2, … , m), 即ni 必取 i]– , [qi]+ 之一 必取[q 2) ni (N, p1, … , pm ) ≤ ni (N+1, p1, … , pm) (i=1,2, … , m) 即当总席位增加时, 即当总席位增加时, ni不应减少 "比例加惯例"方法满足 1),但不满足 2) 比例加惯例" ),但不满足 ) 比例加惯例 ), Q值方法满足 2), 但不满足 1).令人遗憾! 值方法满足 ) ) 令人遗憾!
建模目的
模型建立 建立t与 的函数关系有多种方法 建立 与n的函数关系有多种方法 1. 右轮盘转第 i 圈的半径为 圈的半径为r+wi, m圈的总长度 圈的总长度 等于录像带在时间t内移动的长度 所以 等于录像带在时间 内移动的长度vt, 内移动的长度
∑ 2π (r + wi ) = vt
i =1