十字相乘法因式分解(经典全面)

十字相乘法分解因式

(1)对于二次项系数为1方法的特征是“拆常数项，凑一次项”

当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；

当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相

同．

(2)对于二次项系数不是1的二次三项式

它的特征是“拆两头，凑中间”

当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；

常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；

常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符

号相同

注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积

的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．

例5、分解因式：652

++x x 分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。

由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。

1 2

解：652++x x =32)32(2

⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5

用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。

例1、分解因式：672+-x x

解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1

=)6)(1(--x x 1 -6

（-1）+（-6）= -7

练习1、分解因式

(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542

-+x x

练习2、分解因式

(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x

（二）二次项系数不为1的二次三项式—— c bx ax ++2

条件：（1）21a a a = 1a 1c （2）21c c c = 2a 2c

（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=

分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++

例2、分解因式：101132+-x x

分析： 1 -2

（-6）+（-5）= -11

解：101132+-x x =)53)(2(--x x

练习3、分解因式：

（1）6752-+x x （2）2732

+-x x

（3）317102+-x x （4）101162++-y y

（三）多字母的二次多项式

例3、分解因式：2

21288b ab a --

分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。

1 8b

1 -16b

8b+(-16b)= -8b

解：221288b ab a --=)16(8)]16(8[2b b a b b a -⨯+-++ =)16)(8(b a b a -+

练习4、分解因式

(1)2

223y xy x +- (2)2286n mn m +- (3)226b ab a --

例4、22672y xy x +- 例10、232

2+-xy y x

1 -2y 把xy 看作一个整体 1 -1

2 -3y 1 -2

(-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3

解：原式=)32)(2(y x y x -- 解：原式=)2)(1(--xy xy

练习5、分解因式：

（1）2

24715y xy x -+ （2）8622+-ax x a

综合练习10、

（1）17836--x x （2）2

2151112y xy x --

（3）10)(3)(2-+-+y x y x （4）344)(2

+--+b a b a

（5）222265x y x y x -- （6）2634422++-+-n m n mn m

（7）3424422---++y x y xy x （8）2222)(10)(23)(5b a b a b a ---++

（9）10364422-++--y y x xy x （10）2222)(2)(11)(12y x y x y x -+-++

思考：分解因式：abc x c b a abcx +++)(2222

例5 分解因式：90)242)(32(22+-+-+x x x x ．

例6、已知12624+++x x x 有一个因式是42

++ax x ，求a 值和这个多项式的其他因式．

一、选择题

1．如果))((2b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( )

A ．ab

B ．a ＋b

C ．－ab

D ．－(a ＋b )

2．如果305)(22--=+++⋅x x b x b a x ，则b 为 ( ) A ．5 B ．－6 C ．－5 D ．6

3．多项式a x x +-32

可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为 ( )

A ．10和－2

B ．－10和2

C ．10和2

D ．－10和－2

4．不能用十字相乘法分解的是 ( )

A ．22-+x x

B ．x x x 310322+-

C ．242++x x

D ．22865y xy x -- 5．分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是 ( )