七年级下册数学第七章知识点、例题、练习

以在已知直线外； 2.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指
唯一性.
初中部课堂
三 点到直线的距离
如图，从A点向已知直线 l 画一条垂直的线段和几 条不垂直的线段.
说一说：
1.线段AB, AC, AD , AE谁最短？
A
2.你能用一句话表示这个结论吗？
B CD
l E
初中部课堂
总结归纳
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线 段最短.简单说成：垂线段最短.
角互 ③都是成对出 角有四对
补 现的
初中部课堂
二 垂线的画法及基本事实
问题: (1)画已知直线l的垂线能画几条?
(2)过直线l上的一点A画l的垂线,这样的垂线能
画几条?
(3)过直线l外的一点B画l的垂线,这样的垂线能
画几条?
.B .A l
初中部课堂
如图，已知直线 l,作l的垂线.
A
O
1.放
2.靠
A
B
E1
E2 …
En
C
D
当有n个拐点时： ∠A+∠ E1 + ∠ E2 +…+∠ En +∠C = 180° （n+1）
初中部课堂
变式3：如图,若AB∥CD, 则：
A
BA
E
F
BA
E
F1
C
DC
DC
当左边有两个角，右边有一个角时： ∠A+∠C= ∠E
B
E1 E2 D
当左边有两个角，右边有两个角时： ∠A+∠F= ∠E +∠D
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内错角相等
两直线平行
同旁内角互补
两直线平行
符号语言
∵∠1=∠2 ∴a∥b ∵ ∠3=∠2 ∴a∥b
∵∠2+∠4=180° ∴a∥b
图形
c
1a 34
2 b
初中部课堂
2.平行线的其它判定方法
方法4：如图1，若a∥b，b∥c，则a∥c.
（平行于同一条直线的两条直线平行）
方法5：如图2，若a⊥b，a⊥c,则b∥c.
（ 垂直于同一条直线的两条直线平行 ）
a b
c 图1
b
c
a 图2
初中部课堂
3.平行线的性质
图形
同a 位 角b
1 2 c
内 错
a3
角b
2
c
同 旁
a
内 角
b
42 c
已知 a//b
结果
依据
两直线平行 ∠1=∠2 同位角相等
两直线平行 a//b ∠3=∠2 内错角相等
a//b ∠2+∠4 两直线平行 =180 ° 同旁内角互补
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第五章 相交线与平行线 第六章 实数
小结与复习
知识网络
专题复习
课堂小结
课后训练
初中部课堂
相交线
平行线
相 交 线 与 平 行 线
初中部课堂
四、平行线的判定与性质
讨论：平行线三个性质的条件是什么？结论是什
么？它与判定有什么区别？（分组讨论）
线的关系
判定
角的关系
平行线的判定 两直线平行
平行线的性质
同位角相等 内错角相等 同旁内角互补
线的关系
性质
角的关系
初中部课导堂入新课
回顾与思考 1.平行线的判定
文字叙述
同位角 相等
两直线平行
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初中部课堂
第五章 相交线与平行线
小结与复习
知识网络
专题复习
课堂小结
课后训练
初中部课堂
知识网络
相 交 线 知 识 构 图
平 行 线
两 一般情况 线 四 角 特殊
三 线 八 角
Biblioteka Baidu邻补角
邻补角互补
对顶角
对顶角相等
垂直
存在性和唯一性
点到直
垂线段最短 线的距
离
同位角、内错角、同旁内角
平行线的判定
BEF＝∠CDG．
将下面的解答过程补充完整，并填空（理由或数学式）
解：∵CD⊥AB，EF⊥AB（ ）
∴EF∥ CD （ ）
∴∠BEF＝ ∠BCD （
）
又∵∠B+∠BDG＝180°（ ）
∴BC∥ （ ）
∴∠CDG= （ ）
∴∠CDG＝∠BEF（ ）
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初中部课课堂堂小结
角的 名称 对 顶 角
邻 补 角
特征
①两条直线相交 形成的角； ②有公共顶点; ③没有公共边 ①两条直线相交 而成； ②有公共顶点; ③有一条公共边
性 相同点 质
不同点
对顶 角相
①都是两条直 线相交而成的
①有无公共边；
等 角；
②两直线相交
②都有一个公 时，对顶角只
邻补 共顶点；
有两对，邻补
间
截线:两侧 内错角 被截线:之 1 2
间
F 都在 截线 这三 同侧 类角
U 都是 都在 没有 被截 公共
Z 线之 顶点 间 的.
初中部课堂
合作与交流： (1)经过点C能画出几条直线？
无数条 (2)与直线AB平行的直线有几条？
无数条
·C
a
· · A
B
·D
b
(3)经过点C能画出几条直线与直线AB平行？ 1条
初中部课讲堂授新课
平行线的性质和判定及其综合应用
例1：如图，三角形ABC中，D是AB上一点，E是AC上
一点，∠ADE=60°，∠B = 60°，∠AED=40°.A
（1）DE和BC平行吗？为什么？
（2）∠C是多少度？为什么？
D
E
解:（1） DE∥BC.理由如下：
∵ ∠ADE=60°，∠B = 60° B
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3.画
l
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
孝感市文昌中学学生专用尺
Cm
问题：这样画l的垂线可以画几条？ 无数条
初中部课堂
如图，已知直线 l 和l上的一点A ,作l的垂线.
1.放
B
2.靠
3.移
4.画
l
A
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
孝感市文昌中学学生专用尺
Cm
问题：这样画l的垂线可以画几条？ 一条
初中部课堂
初中部课堂
平方根与立方根的区别和联系
平方根
立方根
正数 两个，互为相反数
性
质0
0
负数
没有平方根
表示方法
被开方数 的范围
a
非负数
一个，为正数
0
一个，为负数
3a
可以为任何数
初中部课堂
七年级下册数学 第五章 相交线与平行线 第六章 实数 综合练习卷
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C
∴ ∠ADE=∠B
∴ DE∥BC
(同位角相等，两直线平行 ).
初中部课堂
如图，三角形ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，
∠ADE=60°，∠B = 60°，∠AED=40°.
（2）∠C是多少度？为什么？
A
解：∠C =40°.理由如下：
由（1）得DE∥BC,
D
E
∴ ∠C=∠AED
B
C
(两直线平行，同位角相等）
又∵∠AED=40°
∴ ∠C=∠AED =40°.
初中部课堂
练一练 已知：AB∥CD，∠1 = ∠2.试说明:BE∥CF.
证明：∵AB ∥ CD
∴∠ABC=∠BCD （两直线平行，内错角相等）
∵∠1=∠2 ∴∠ABC -∠1=∠BCD- ∠2 即∠3=∠4
∴ BE∥CF
（内错角相等，两直线平行）
初中部课堂
如图，AB//CD，探索∠B、∠D与∠DEB的大小关系 .
解：过点E 作EF//AB．
∴∠B+∠BEF＝180°．
A
B
∵AB//CD． ∴EF//CD．
F
E
∴∠D +∠DEF＝180°．
C
D
∴∠B＋∠D+∠DEB
＝∠B＋∠D+∠BEF＋∠DEF
＝360°．
即∠B＋∠D＋∠DEB＝360°．
初中部课堂
∵ ∠3=∠2(已知),
两直线平行
∴a∥b
__同__旁__内__角_互补, ∵∠2+∠4=180°(已知)
两直线平行 ∴a∥b
图形
c
1a 34
2 b
初中部课课堂堂小结
判定两条直线是否平行的方法有：
1.同位角相等, 两直线平行. 2.内错角相等, 两直线平行. 3.同旁内角互补, 两直线平行. 4.平行于同一直线的两直线平行. 5.同一平面内, 垂直于同一直线的两直线平行. 6.平行线的定义.
例2：如图，AB∥CD，猜想∠A、∠P 、∠PCD的数量 关系，并说明理由.
解：作∠PCE =∠APC,交AB于E.
∴ AP∥CE ∴ ∠AEC=∠A，∠P=∠PCE.
∴ ∠A+∠P=∠PCE+∠AEC,
A
∵AB∥CD ∴ ∠ECD=∠AEC,
∴∠A+∠P =∠PCE+∠ECD=∠PCD. C
P EB
当左边有三个角，右边有两个角时:∠A+∠ F1 +∠C = ∠ E1 +∠ E2
初中部课堂
若左边有n个角，右边有m个角；你能找到规律吗？
A
F1 F2 Fn
B E1
E2
Em
几何画板：探究平行线中动点问题.gsp
C
D
当左边有n个角，右边有m个角时： ∠A+∠F1 + ∠ F2 +…+ ∠Fn= ∠E1 +∠E2 +…+ ∠Em+ ∠D
A
特别规定：
l D
线段AD的长度叫做点A到直线l的距离.
初中部课堂
试一试： 在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如 何挖掘能使渠道最短？请画出图来，并说明理由.
垂线段最短 m
初中部课堂
总结归纳
角的 名称
角的特征
基本图 形
基本 图形
相同点
共同 特征
截线:同侧 1 同位角 被截线:同
旁
2
同旁 内角
截线:同侧 被截线:之
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17．已知，如图，CD⊥AB，EF⊥AB，垂足分别为 D、F，∠B+∠BDG＝180°，试说明∠
相交就是平行； D.不相交的两条直线是平行线
初中部课讲堂授新课
一 利用同位角判定两条直线平行
我们已经学习过用三角尺和直尺画平行线的方法.
●
一、放 二、靠 三、推 四、画
初中部课课堂小结
判定两条直线平行的方法
文字叙述
符号语言
同位角相等， ∵ ∠1=∠2 (已知),
两直线平行
∴a∥b
内_ 错角__相等,
变式2：如图,AB∥CD,则 :
A
B
A
B
A
B
E1
E
E1
E2
E2
E3
C
D
C
D
C
D
当有一个拐点时： ∠A+∠E+∠C= 360°
当有两个拐点时： ∠A+∠ E1 + ∠ E2 +∠C = 540°
当有三个拐点时： ∠A+∠ E1 + ∠ E2 +∠ E3 +∠C = 720°
初中部课堂
若有n个拐点，你能找到规律吗？
如图，已知直线 l 和l外的一点A ,作l的垂线.
根据以上操
作，你能得
1.放
出什么结论
2.靠
A
3.移
4.画
l
B
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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孝感市文昌中学学生专用尺
Cm
问题：这样画l的垂线可以画几条？ 一条
初中部课堂
总结归纳 垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条 直线与已知直线垂直. 注意： 1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可
D
还可以怎样作辅助线？
初中部课堂
例2：如图，AB∥CD，猜想∠BAP、∠APC 、∠PCD 的数量关系，并说明理由.
解法2：作∠APE =∠BAP. ∴ EP∥AB，∵AB∥CD ∴ EP∥CD，∴∠EPC=∠PCD ∴ ∠APE+∠APC= ∠PCD 即∠BAP+∠APC =∠PCD.
E P
A
B
C
D
初中部课堂
例3：如图，若AB//CD，你能确定∠B、∠D与 ∠BED 的大小关系吗？说说你的看法．
解：过点E 作EF//AB．
A
∴∠B=∠BEF．
∵AB//CD．
∴EF//CD．
C
∴∠D =∠DEF．
∴∠B＋∠D＝∠BEF＋∠DEF
＝∠DEB．
即∠B＋∠D＝∠DEB．
B
E
F
D
初中部课堂
变式1：
相平行.
acb
几何语言表达：
∵a//c , c//b(已知） a//b(如果两条直线都和第三条直线 平行，那么这两条直线也互相平行）
初中部课当堂堂练习
1.下列说法正确的是（ C） A.在同一平面内，不相交的两条射线是平行线； B.在同一平面内，不相交的两条线段是平行线； C.在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系不是
(4)过点D画一条直线与直线AB平行，与(3)中所画的直
线平行吗？ 平行
你能对这些情况进行归纳总结吗？
初中部课堂
三、平行公理及其推论
平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知
直线平行.
·C
a
· · A
B
·D
b
初中部课堂
平行公理的推论（平行线的传递性）：
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互
平行公理及其推论
平行线的性质
平移
命题 平移的特征
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