厦门理工学院 线性代数第三章向量与空间参考答案

α 3 = ( 4,1,−1,1)T ，则 α = (1,2,3,4)T
3． 已知 α 1 = (1,1,2,1) , α 2 = (1,0,0,2) , α 3 = ( −1,−4,−8, k ) 线性相关，则 k =
T T T
2
abc ≠ 0
4． 设向量组 a 1 = ( a ,0, c ) , a 2 = (b, c,0) , a 3 = (0, a , b ) 线性无关，则 a , b, c 满足关系式 三. 计算题： 1. 设向量 α = 1
C
]
（B） α 1 − α 2 , α 2 − α 3 , α 3 − α 4 , α 4 − α 1 （D） α 1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 3 − α 4 , α 4 − α 1
但不能由向量组 （Ⅰ） ：α 1 , α 2 , , α m −1 线性表示， 记向量组 （Ⅱ） ： 2． 设向量 β 可由向量组 α 1 , α 2 , , α m 线性表示，
D
]
s.
[
2．若向量组 α , β , γ 线性无关，向量组 α , β , δ 线性相关，则 （A） α 必可由 β , γ , δ 线性表示 （C） δ 必可由 α , β , γ 线性表示 二．填空题： 1． 设 α 1 = (1,1,0) , α 2 = ( 0,1,1) , α 3 = (3,4,0)
第三章
线性方程组
[ C ]
（B）当 Ax = b 有无穷多解时， R( A) < m （D）当 Ax = b 有无穷多解时， Ax = 0 只有零解 [ （B） Ax = b 必有唯一解 （D） Ax = 0 必有唯一解 [ D ] C ]
3．设 A 是 m × n 矩阵，齐次线性方程组 Ax = 0 仅有零解的充要条件是 R( A) （A）小于 m 二．填空题： （B）小于 n （C）等于 m
α 1 , α 2 , α 3 线性表示？
1 1 1 0 1 1+ λ λ2 1 + λ r1 ↔ r3 解：因为 (α1 , α = → 1 1+ λ 1 1+ λ 1 λ λ ， 2 ,α3 , β ) 1 1 1 + λ 1 1+ λ λ2 1 1 0 1 1 r → → 0 λ 0 0 λ +1 λ2 2 −λ λ −λ ， −λ (λ + 3) λ (1 − 2λ − λ 2 )
T T T T
则a= 三．计算题：
2
T
b=
5
T T T T
1．设 α 1 = (3,1,1,5) ， α 2 = ( 2,1,1,4) ， α 3 = (1,2,1,3) ， α 4 = (5,2,2,9) ， β = ( 2,6,2, d ) （1）试求 α 1 , α 2 , α 3 , α 4 的极大无关组
（D）等于 n
1 1 2 1 x1 设 A = 2 3 a + 2 ， b = 3 ， x = x2 1 a − 2 0 x 3
（1）齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解，则 （2）非齐次线性方程组 Ax = b 无解，则 a = 三．计算题：
a ≠ 3 或 a ≠ −1
= −1
2x + y − z + w = 1 1． 求解非齐次线性方程组 4 x + 2 y − z + w = 2 2x + y − z − w = 1
2 1 −1 1 1 r2 − 2 r1 2 1 −1 1 1 2 1 0 0 1 r3 − r1 r + r2 → 0 0 1 −1 0 → 0 0 1 −1 0 4 2 −1 1 2 2 1 −1 −1 1 0 0 0 −2 0 0 0 0 −2 0 1− c x= 1 = 2 x + y 2 y = c . z − w = 0 ∴ z=0 0 − 2w = w = 0
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(1) λ ≠ 0且λ ≠ −3时, R (α1 = , α 2 , α 3 , β ) R= (α1 , α 2 , α 3 ) 3 ，
β 可由α1 , α 2 , α 3线性表示, 且表达式唯一;
(2) λ = 0时, R(α1 , α 2 , α 3 , β ) = R(α1 , α 2 , α 3 ) = 1 < 3 ，
= = = 只有d 6时 R(α R (α1 , α 2 , α 3 ) 3, 1 ,α 2 ,α 3 , β ) 3 1 0 0 2 1 0 0 1 2 −1 0 2 0 6 r 1 → 0 −4 0 0 −1 0 0 0 0 0 −1 0 4 2 −4 0
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第二节 向量组及其线性组合 第三节 向量组的线性相关性（一） 一．选择题 1．n 维向量 α 1 , α 2 , , α s (α 1 ≠ 0) 线性相关的充分必要条件是 （A）对于任何一组不全为零的数组都有 k1α 1 + k 2α 2 + + k sα s = 0 （B） α 1 , α 2 , , α s 中任何 j ( j ≤ s ) 个向量线性相关 （C）设 A = (α 1 , α 2 , , α s ) ，非齐次线性方程组 AX = B 有唯一解 （D）设 A = (α 1 , α 2 , , α s ) ，A 的行秩 ＜ [
β 可由α1 , α 2 , α 3线性表示, 但表达式不唯一 。
(3) 当λ = −3时, R (α1 , α 2 , α 3 , β ) = 3 ≠ R(α1 , α 2 , α 3 ) = 2，
β 不能由α1 , α 2 , α 3线性表示 。
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第三节 向量间的线性关系（二） 一．选择题： 1．已知向量组 α 1 , α 2 , α 3 , α 4 线性无关，则下列向量组中线性无关的是 （A） α 1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 3 + α 4 , α 4 + α 1 （C） α 1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 3 + α 4 , α 4 − α 1 [
线性代数练习题
一．选择题： 1．设 A 是 m × n 矩阵， Ax = b 有解，则 （A）当 Ax = b 有唯一解时， m = n （C）当 Ax = b 有唯一解时， R( A) = n 2．设 A 是 m × n 矩阵，如果 m < n ，则 （A） Ax = b 必有无穷多解 （C） Ax = 0 必有非零解
[
B
]
[ （B） α 1 , α 2 , , α s 中无零向量
C
]
（D） α 1 , α 2 , , α s 中任意两个向量线性无关 [
C
]
（D）若 s > n ，则 r = n
1．已知向量组 α 1 = (1,2,−1,1) , α 2 = ( 2,0, t ,0) , α 3 = (0,−4,5,−2) 的秩为 2，则 t =
λx1 + x 2 + x3 = 1 2． λ 取何值时，非齐次线性方程组 x1 + λx 2 + x3 = λ ⑴ 有唯一解 ⑵ 无解 ⑶ 有无穷多解 x + x + λx = λ 2 2 3 1
15
百度文库 λ
1 1
1
λ
1
1 1 = λ 3 − 3λ + 2 = (λ − 1) 2 (λ + 2)
3 2
2．已知向量组 α 1 = (1,2,3,4) ， α 2 = ( 2,3,4,5) ， α 3 = (3,4,5,6) ， α 4 = ( 4,5,6,7 ) ，则该向量组的秩为 1． 向量组 a 1 = (a ,3,1) ， α 2 = ( 2, b,3) ， α 3 = (1,2,1) ， α 4 = ( 2,3,1) 的秩为 2，
T T T
C
]
（B） β 必不可由 α , γ , δ 线性表示 （D） δ 比不可由 α , β , γ 线性表示
则 α1 − α 2 =
(1,0, −1)T
3α 1 + 2α 2 − α 3 = (0,1,2)T
T T
2． 设 3(α 1 − α ) + 2(α 2 + α ) = 5(α 3 + α ) ，其中 α 1 = ( 2,5,1,3) ， α 2 = (10,1,5,10)
( k + 1,1,1)
T
，α 2 = (1, k + 1,1) T ，α 3 = (1,1, k + 1) ， β = (1, k , k 2 ) T ，试问当 k 为何值时 （1） β
T
可由 α 1 , α 2 , α 3 线性表示，且表示式是唯一？（2） β 可由 α 1 , α 2 , α 3 线性表示，且表示式不唯一？（3） β 不能由
α 1 , α 2 , , α m −1 , β ，则
（A） α m 不能由（Ⅰ）线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示 （B） α m 不能由（Ⅰ）线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示 （C） α m 可由（Ⅰ）线性表示，也可由（Ⅱ）线性表示 （D） α m 可由（Ⅰ）线性表示，但不可由（Ⅱ）线性表示 3．设 n 维向量组 α 1 , α 2 , , α s 的秩为 3，则 （A） α 1 , α 2 , , α s 中任意 3 个向量线性无关 （C） α 1 , α 2 , , α s 中任意 4 个向量线性相关 4．设 n 维向量组 α 1 , α 2 , , α s 的秩为 r ，则 （A）若 r = s ，则任何 n 维向量都可用 α 1 , α 2 , , α s 线性表示 （B）若 s = n ，则任何 n 维向量都可用 α 1 , α 2 , , α s 线性表示 （C）若 r = n ，则任何 n 维向量都可用 α 1 , α 2 , , α s 线性表示 二．填空题：
1 1 2 4
1 2 1 3
2 2 5 9
1 2 1 1 1 1 1 2 r4 − r3 0 0 1 0 r3 ×( −1) 0 0 1 0 → → 0 −1 −2 −1 0 1 2 1 0 −1 −2 −1 0 0 0 0 1 1 1 2 0 1 2 1 r2 ↔ r3 → 0 0 1 0 0 0 0 0 ) 3, 则α 1 , α 2 , α 3线性无关，且α= α1 + α 2 . 因为 R(α 1 , α 2 , α 3= 4 故 α 1 , α 2 , α 3为α 1 , α 2 , α 3 , α 4的一个极大无关组. 3 1 (2) 1 5 2 1 1 4 1 2 1 3 2 3 r4 − r1 6 r4 − r2 1 → 2 r4 − r3 1 d 0 2 1 1 0 1 2 1 −1 2 3 r3 − r2 6 r4 − r3 1 → 0 2 d − 10 0 2 1 0 0 1 2 −1 0 d − 6 2 6 −4
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（2）d 为何值时， β 可由 α 1 , α 2 , α 3 , α 4 的极大无关组线性表示，并写出表达式
3 1 解： (1)= (α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 1 5
r2 − r1 r3 − 3 r1 r5 − 5 r1
2 1 1 4
1 2 1 3
5 1 2 r1 ↔ r3 1 → 3 2 9 5
λ
当λ ≠ 1,−2时，方程有唯一解 1 1 1 1 1 1 1 1 当λ =1时 1 1 1 1 → 0 0 0 0 ，有无穷多解； 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 −2 1 2 1 1 1 当λ =−2时 1 −2 1 −2 → 1 −2 1 −2 ，方程组无解。 1 0 0 0 3 1 −2 4