矩形的判定和性质

矩形的性质和判定

一、基础知识

（一）矩形的定义

有一个内角为直角的平行四边形叫做矩形。 （二）矩形的性质：

1.矩形具有平行四边形的一切性质；

2.矩形的对角线相等；

3.矩形的四个角都是900；

4.矩形是轴对称图形；

边 角 对角线 对称性 矩形

对边平行且相等

四个角都是直角

互相平分且相等

轴对称，中心对称

（三）矩形的判定：

1.有一个角是直角的平行四边形是矩形；

2.对角线相等的平行四边形是矩形；

3.有三个角是直角的四边形是矩形；

4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形。 （四）直角三角形的性质

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 （如图：OB=OC=OA=2

1

AC ）

二、例题讲解

考点一：矩形的基本性质

例1：如图，在矩形ABCD中，AE•⊥BD，•垂足为E，•∠DAE=•2•∠BAE，•那么，•∠BAE=________，∠EAO=________，若EO=1，则OD=______，AB=________，AD=________．

A

E

D C

B

O

练习1：矩形ABCD中, ,对角线AC与BD相交于点O,BC的长为6,△OBC的周长是15,求矩形的对角线的长度.

练习2：如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD，E为垂足，∠DCE∶∠ECB＝3∶1，求∠ACD.

例2：如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角

线长是13cm，那么矩形的周长是多少?

练习1：矩形ABCD中, ,对角线AC与BD相交于点O,已知矩形ABCD的面积是12cm2，AB=4cm，求矩形的对角线长。

例3：如图，在矩形ABCD中，相邻两边AB、BC分别长15cm和25cm，内角∠BAD的角平分线与边BC 交于点E．试求BE与CE的长度．

练习1：如图，在矩形ABCD中，E是边AD上的一点．试说明△BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系．

例4：（2009年广西钦州）已知：如图1，在矩形ABCD 中，AF ＝BE ．求证：DE ＝CF ；

A

D

C

B 图1

F E

练习1：如图，矩形ABCD 中，E 为AD 中点，∠BEC 为直角，矩形ABCD 的周长是20，求AD 、AB 的长。

A B

C

D

E

练习2：（2009年衢州）如图，四边形ABCD 是矩形，△PBC 和△QCD 都是等边三角形，且点P 在矩形上方，点Q 在矩形内．

求证：（1）∠PBA =∠PCQ =30°； （2）PA =PQ ．

考点二：面积法

例1：如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3， BC ＝4， BE ⊥AC 于E ．试求出BE 的长．

A

C

B

D

P

Q

O

D

C

B

A

练习1：如图，矩形ABCD 中，E 点在BC 上，且AE 平分 BAC 。 若BE =4，AC =15，则 AEC 面积为（ ）

A.15

B. 30

C. 45

D. 60 。

练习2：如图：在矩形ABCD 中，两条对角线AC 、BD 相交于点O ，AB=4cm ,AD=34cm. (1)判定△AOB 的形状. （2）计算△BOC 的面积.

A

B

C E D

练习3：如图，将矩形ABCD 沿着直线BD 折叠使点C 落在点 C ＇处，BC ＇交AD 于E ，AD=8，AB=4，BE=5,求△BED 的面积。

B

A

C

D

E

C'

考点三：矩形对角线平分且相等

例1：矩形的两条对角线相交成60°角，较短边与一条对角线之和为15cm ，则矩形的对角线长为 cm 。

练习1：矩形的对角线所成的角之一是65°，则对角线与各边所成的角度是（）．A．57.5°B．32.5°

C．57.5°、33.5°D．57.5°、32.5°

练习2：矩形两条对角线的夹角是120°，短边长4cm；则矩形的对角线长；

练习3：如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，∠AOB＝120°，AD＝5cm，则AC ＝。

考点四：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

例1：如图，△ABC中，∠A=2∠B，CD是△ABC的高，E是AB的中点，求证：DE=1

2 AC．

H

E

C

D A

B

BM ⊥DM 于点M ，

（1）连接OM ，若

AD=8，CD=6，求OM 的长。 （2）求证：AD+BE=2AO

考点四：角平分线

例1：已知，四边形ABCD 是矩形，CH ⊥BD ，H 为垂足，AE 是∠BAD 的平分线，交HC 的延长线于E 。 求证：CE=BD 。

例2：矩形ABCD ，AC 、BD 相交于点O ，AE 平分∠BAD 交BC 于E ，若∠CAE=15°，求∠BOE 的度数；

例3：（2009年佳木斯中考卷第25题）如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落到点B ′的位置，AB ′与CD 交于点E .

（1）试找出一个与△AED 全等的三角形，并加以证明.

A D

O

B E C