二次函数与一元二次方程的关系课件.ppt
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即：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是 x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交 点坐标分别是A（ x1，0）， B（ x2，0） y
x1 O A
x2 B
x
探究2、抛物线与X 轴的交点个数能不能用一元 二次方程的知识来说明呢？ Y
b2-4ac＜0
b2-4ac=0
b2-4ac>0
源自文库
一、探究
探究1、求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交 点A、B的坐标。 解：∵A、B在轴上， ∴它们的纵坐标为0， ∴令y=0，则x2-3x+2=0 解得：x1=1，x2=2； ∴A（1，0） ， B（2，0） 你发现方程 x2-3x+2=0 的解x1、x2与A、B的 坐标有什么联系？
结论1：方程x2-3x+2=0的解就是抛物线y=x23x+2与x轴的两个交点的横坐标。因此，抛物 线与一元二次方程是有密切联系的。
2、若一元二次方程ax2+bx+c=0与二次三项式 ax2+bx+c及二次函数y=ax2+bx+c这三个“二次” 之间互相转化的关系。体现了数形结合的思想。
与x轴有两个交点——相交。
与x轴有唯一公共点——相切（顶点）。
3、 b2-4ac ＜0 一元二次方程ax2+bx+c=0 没有实数根 抛物线y=ax2+bx+c 与x轴没有公共点——相离。
二、基础训练
1、已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在x轴上，则 a= ；若抛物线与x轴有两个交点，则a 的范围是 ；若抛物线与坐标轴有两个 公共点，则a的范围是 ； 2、已知抛物线y=x2-3x+a+1与x轴最多只有一 个交点，则a的范围是 。 3、已知抛物线y=x2+px+q与x轴的两个交点为 （-2，0），（3，0），则p= ，q= 。
三、例题推荐
1、已知二次函数y=x2-kx-2+k.
(1)求证:不论k取何值时，这个二次函数
y=x2-kx-2+k与x轴有两个不同的交点。 (2)如果二次函数y=x2-kx-2+k与轴两个交点为 A、B，设此抛物线与y轴的交点为C，当k为6 时,求S△ABC .
2、已知抛物线y=x2+2x+m+1。
4、判断下列各抛物线是否与x轴相交，如果 相交，求出交点的坐标。
（1）y=6x2-2x+1 （2）y=-15x2+14x+8 （3）y=x2-4x+4
6、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象全部在 轴下方的条件是（ D ） （A）a＜0 b2-4ac≤0
（B）a＜0 b2-4ac＞0 （C）a＞0 b2-4ac＞0 （D）a＜0 b2-4ac＜0
二次函数
与 一元二次方程的关系
温故知新
（1）一次函数y＝x＋2的图象与x轴的交点为 （－2， 0 ） 一元一次方程x＋2＝0的根为________ x=－2 （2） 一次函数y＝－3x＋6的图象与x轴的交点为 （ 2， 0 ） x=2 一元一次方程－3x＋6＝0的根为________ 思考：一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点与一元 一次方程kx＋b＝0的根有什么关系？ 一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标就是 一元一次方程kx＋b＝0的根
（1）若抛物线与x轴只有一个交点，求m的值。 （2）若抛物线与直线y=x+2m只有一个交点， 求m的值。
3、已知是x1、x2方程x2-（k-3）x+k+4=0的两 个实根，A、B为抛物线y= x2-（k-3）x+k+4与 x轴的两个交点，P是y轴上异于原点的点，设 ∠PAB=α，∠PBA=β，问α、β能否相等？并说 明理由.
O
X
结论2： 抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由
一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：
1、 b2-4ac ＞0 有两个不等的实数根 2、 b2-4ac =0 有两个相等的实数根
一元二次方程ax2+bx+c=0 抛物线y=ax2+bx+c 一元二次方程ax2+bx+c=0 抛物线y=ax2+bx+c
Y P α A O β B X
4、已知抛物线y=x2-（m2+8）x+2（m2+6）.
求证:不任m为何实数,抛物线与x轴都有两个不 同的交点,
四、小结
1、若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、 x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐 标分别是A（x1，0 ）， B（ x2，0 ）
x1 O A
x2 B
x
探究2、抛物线与X 轴的交点个数能不能用一元 二次方程的知识来说明呢？ Y
b2-4ac＜0
b2-4ac=0
b2-4ac>0
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一、探究
探究1、求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交 点A、B的坐标。 解：∵A、B在轴上， ∴它们的纵坐标为0， ∴令y=0，则x2-3x+2=0 解得：x1=1，x2=2； ∴A（1，0） ， B（2，0） 你发现方程 x2-3x+2=0 的解x1、x2与A、B的 坐标有什么联系？
结论1：方程x2-3x+2=0的解就是抛物线y=x23x+2与x轴的两个交点的横坐标。因此，抛物 线与一元二次方程是有密切联系的。
2、若一元二次方程ax2+bx+c=0与二次三项式 ax2+bx+c及二次函数y=ax2+bx+c这三个“二次” 之间互相转化的关系。体现了数形结合的思想。
与x轴有两个交点——相交。
与x轴有唯一公共点——相切（顶点）。
3、 b2-4ac ＜0 一元二次方程ax2+bx+c=0 没有实数根 抛物线y=ax2+bx+c 与x轴没有公共点——相离。
二、基础训练
1、已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在x轴上，则 a= ；若抛物线与x轴有两个交点，则a 的范围是 ；若抛物线与坐标轴有两个 公共点，则a的范围是 ； 2、已知抛物线y=x2-3x+a+1与x轴最多只有一 个交点，则a的范围是 。 3、已知抛物线y=x2+px+q与x轴的两个交点为 （-2，0），（3，0），则p= ，q= 。
三、例题推荐
1、已知二次函数y=x2-kx-2+k.
(1)求证:不论k取何值时，这个二次函数
y=x2-kx-2+k与x轴有两个不同的交点。 (2)如果二次函数y=x2-kx-2+k与轴两个交点为 A、B，设此抛物线与y轴的交点为C，当k为6 时,求S△ABC .
2、已知抛物线y=x2+2x+m+1。
4、判断下列各抛物线是否与x轴相交，如果 相交，求出交点的坐标。
（1）y=6x2-2x+1 （2）y=-15x2+14x+8 （3）y=x2-4x+4
6、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象全部在 轴下方的条件是（ D ） （A）a＜0 b2-4ac≤0
（B）a＜0 b2-4ac＞0 （C）a＞0 b2-4ac＞0 （D）a＜0 b2-4ac＜0
二次函数
与 一元二次方程的关系
温故知新
（1）一次函数y＝x＋2的图象与x轴的交点为 （－2， 0 ） 一元一次方程x＋2＝0的根为________ x=－2 （2） 一次函数y＝－3x＋6的图象与x轴的交点为 （ 2， 0 ） x=2 一元一次方程－3x＋6＝0的根为________ 思考：一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点与一元 一次方程kx＋b＝0的根有什么关系？ 一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标就是 一元一次方程kx＋b＝0的根
（1）若抛物线与x轴只有一个交点，求m的值。 （2）若抛物线与直线y=x+2m只有一个交点， 求m的值。
3、已知是x1、x2方程x2-（k-3）x+k+4=0的两 个实根，A、B为抛物线y= x2-（k-3）x+k+4与 x轴的两个交点，P是y轴上异于原点的点，设 ∠PAB=α，∠PBA=β，问α、β能否相等？并说 明理由.
O
X
结论2： 抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由
一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：
1、 b2-4ac ＞0 有两个不等的实数根 2、 b2-4ac =0 有两个相等的实数根
一元二次方程ax2+bx+c=0 抛物线y=ax2+bx+c 一元二次方程ax2+bx+c=0 抛物线y=ax2+bx+c
Y P α A O β B X
4、已知抛物线y=x2-（m2+8）x+2（m2+6）.
求证:不任m为何实数,抛物线与x轴都有两个不 同的交点,
四、小结
1、若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、 x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐 标分别是A（x1，0 ）， B（ x2，0 ）