2.2.1经济模型与应用
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（1）每天生产多少单位时利润最大？最大利润是多少？
（2）从利润最大时的产量又生产了10个单位的产品，总利润是多少？
解（1）由利润最大原则知，当 时利润最大，即
从而得 ，即 时利润最大，最大利润为
（元）；
（2） （元），
即从最大利润的生产量 个单位，再生产10个单位的产品利润减少30元.
（3）收入预测
，且
(2)求通解
分离变量得
两边同时积分，得
(3)求特解
将 代入通解，得 ，
所以从1999年起第 年我国GDP为 .
（2）若原始资本 为100万元，问从开始到第8年末的总资本是多少？
解（1）第1年期间所积累的资本为
6（万元）
（2） （万元）
2．会计与统计方面的应用
定积分在经济上有着广泛的应用，常见的有以下几种类型。
（1）由边际函数求总函数
由于总函数（如总成本，总收益、总利润等）的导数就是边际函数（如边际成本，边际收益、边际利润等），当已知初始条件时，既可以用不定积分求出总函数，也可以用定积分求出总函数。例如：已知边际成本 ，固定成本 、边际收益 ，则
设在时间区间 内 时刻的单位时间的收入为 ,称此为收入率，若按年利率为 的连续复利计算，则在 内的总收入为
若收入率 （ 为常数），称此为均匀收入率，如果年利率 也为常数，则总收入的现值为
若在 时，一次投入的资金为 ，则在 内的纯收入的贴现值（也称投资效益）为 即
纯收入的贴现值=总收入现值-总投资
例1若连续3年内保持收入率每年7500元不变，且利率为 ,问其现值是多少？
例10中国人的收入正在逐年提高。据统计，深圳2002年的年人
均收入为21914元（人民币），假设这一人均收入以速度 （单位：元/年）增长，这里 是从2003年开始算起的年数，估算2009年深圳的年人均收入是多少？
解因为深圳年人均收入以速度 （单位：元/年）增长，由变化率求总改变量的方法，这7年间年人均收入的总变化为
解由题意知，收入率 （万元），年利率为 ，投资 （万元），
故投资效益为
（万元）.
如果购置的设备不失去价值，每年的收入率仍为20万元，则投资效益为
（万元）.
（2）资本形成
资本形成就是增加一定资本总量的过程，若此过程视为时间的连续过程，资本总量函数为时间 的连续可导函数： ，则资本形成率（资本形成的速度）为资本 对时间 的导数 ，此时，资本形成率也称为在时间 处的净投资，记为 ,即
总成本函数 ，
总收益函数 ，
总利润函数
例7已知生产某种产品 单位时，边际收益为 （元/单位）.求:
（1）总收益函数 和平均收益 ；
（2）生产100个单位产品的总收益；
（3）生产100个单位产品后再生产100个单位产品的总收益.
解（1）
,
（元/单位）.
（2） （元）
（3） （元）.
（2）由边际函数求总量函数的极值
解（1）从30个单位到50个单位所需的成本，就是边际成本在区间 上的定积分，于是所需的成本为
（百元）
（2）总成本函数为
（3）设销售 单位商品得到的总收入为 ，依题意有
因此，总利润函数为
（4）令 ，得 ，而 ，
所以当 时， 有最大值，
（百元）
例9某种产品每天生产 单位时的固定成本为 元，边际成本 （元/单位），边际收益 （元/单位），求：
课题
2.2.1经济模型与应用（2学时）
时间
年月日
教
学
目
的
要
求
重点
难点
教
学
方
法
手
段
精讲多练
主
要
内
容
时
间
分
配
1、常用的几种经济模型20分钟
例题25分钟
2、其他常用的几种应用15分钟
例题30分钟
作业
备注
2.2.1经济模型与应用
1．财贸与金融方面的应用
（1）资本现值与投资问题
若现有 元货币，按年利率为 作连续复利计算，则 年后的价值为 元；反过来，若 年后有货币 元，则按连续复利计算，现应有 元，这就称为资本现值。
设边际收益 ，边际成本 ，固定成本 ，已知 = ，即 时利润最大，则最大利润为 .
例8某工厂生产某种产品 单位时，其边际成本函数为 ，固定成本 （单位：百元）。求：
（1）此产品从30个单位到50个单位所需的成本；
（2）总成本函数 ；
（3）若此产品的销售单价为10（单位：百元），求总利润函数 ；
（4）何时才能获得最大利润，最大利润是多少？
解因均匀收入率 元， ,所以现值为
(元)
即现值为20150元。
例2现对某企业给予一笔投资 ,经测算，该企业在T年中可以按每年A的均匀收入率获得收入，若年利率为 ，试求：
（1）该投资的纯收入贴现值：
（2）收回该笔投资的时间。
解（1）投资后T年中获总收入的现值为
从而投资获得的纯收入的贴现值为
；
（2）收回投资，即总收入的现值等于投资，故有
由此解得收回投资的时间
如果回收期为无限时期，则纯收入的贴现值为
显然， 的值越大，投资效益越好，除国家允许外，都应避免 的情况出现。
例3若某企业投资 万元,年利率为 ，设在20年内的均匀收入率200万元/年，试求：
（1）该投资的纯收入贴现值：
（2）收回该笔投资的时间为多少？
解总收入的现值为
（万元），
从而投资所得纯收入为
由导数与不定积分的关系，有 。
设初始时刻 时的资本 ，由积分上பைடு நூலகம்函数的性质知，资本函数可表为
上式表明，在任意时刻 ，资本总量 等于初始资本 （或 ）加上从 时刻起到 时刻止所增加的资本数量。根据上式求出
在时间间隔[ ]上资本形成的总量。
即 。
例6设净投资函数 （单位：万元/年），求：
（1）第1年期间资本积累的总量：
(万元)，
收回投资的时间为
（年）。
例4有一个大型投资项目，投资成本为 （万元），投资年利率为 ，每年的均匀收入率 （万元），求该投资为无限时期的纯收入的贴现值。
解由已知条件收入率 （万元），年利率为 ，故无限期的投资的总收入的贴现值为
（万元）
从而投资为无限时期的纯收入的贴现值为
（万元）。
例5某工厂生产某种产品的购置设备成本费用为50万元，在10年中每年可收回20万元，如果年利率为 ，并且假定购置的设备在10年中完全失去价值，求其投资效益。
（元）。
所以，2009年深圳的人均收入为
（元）
（4）国民生产总值
例111999年我国的国民生产总值（GDP）为80423亿元，如果我国能保持每年 的相对增长率，问到2010年我国的GDP是多少？
解（1）建立微分方程
设第 年我国的GDP为 ， 代表1999年。
由题意知，从1999年起， 的相对增长率为 ，即
（2）从利润最大时的产量又生产了10个单位的产品，总利润是多少？
解（1）由利润最大原则知，当 时利润最大，即
从而得 ，即 时利润最大，最大利润为
（元）；
（2） （元），
即从最大利润的生产量 个单位，再生产10个单位的产品利润减少30元.
（3）收入预测
，且
(2)求通解
分离变量得
两边同时积分，得
(3)求特解
将 代入通解，得 ，
所以从1999年起第 年我国GDP为 .
（2）若原始资本 为100万元，问从开始到第8年末的总资本是多少？
解（1）第1年期间所积累的资本为
6（万元）
（2） （万元）
2．会计与统计方面的应用
定积分在经济上有着广泛的应用，常见的有以下几种类型。
（1）由边际函数求总函数
由于总函数（如总成本，总收益、总利润等）的导数就是边际函数（如边际成本，边际收益、边际利润等），当已知初始条件时，既可以用不定积分求出总函数，也可以用定积分求出总函数。例如：已知边际成本 ，固定成本 、边际收益 ，则
设在时间区间 内 时刻的单位时间的收入为 ,称此为收入率，若按年利率为 的连续复利计算，则在 内的总收入为
若收入率 （ 为常数），称此为均匀收入率，如果年利率 也为常数，则总收入的现值为
若在 时，一次投入的资金为 ，则在 内的纯收入的贴现值（也称投资效益）为 即
纯收入的贴现值=总收入现值-总投资
例1若连续3年内保持收入率每年7500元不变，且利率为 ,问其现值是多少？
例10中国人的收入正在逐年提高。据统计，深圳2002年的年人
均收入为21914元（人民币），假设这一人均收入以速度 （单位：元/年）增长，这里 是从2003年开始算起的年数，估算2009年深圳的年人均收入是多少？
解因为深圳年人均收入以速度 （单位：元/年）增长，由变化率求总改变量的方法，这7年间年人均收入的总变化为
解由题意知，收入率 （万元），年利率为 ，投资 （万元），
故投资效益为
（万元）.
如果购置的设备不失去价值，每年的收入率仍为20万元，则投资效益为
（万元）.
（2）资本形成
资本形成就是增加一定资本总量的过程，若此过程视为时间的连续过程，资本总量函数为时间 的连续可导函数： ，则资本形成率（资本形成的速度）为资本 对时间 的导数 ，此时，资本形成率也称为在时间 处的净投资，记为 ,即
总成本函数 ，
总收益函数 ，
总利润函数
例7已知生产某种产品 单位时，边际收益为 （元/单位）.求:
（1）总收益函数 和平均收益 ；
（2）生产100个单位产品的总收益；
（3）生产100个单位产品后再生产100个单位产品的总收益.
解（1）
,
（元/单位）.
（2） （元）
（3） （元）.
（2）由边际函数求总量函数的极值
解（1）从30个单位到50个单位所需的成本，就是边际成本在区间 上的定积分，于是所需的成本为
（百元）
（2）总成本函数为
（3）设销售 单位商品得到的总收入为 ，依题意有
因此，总利润函数为
（4）令 ，得 ，而 ，
所以当 时， 有最大值，
（百元）
例9某种产品每天生产 单位时的固定成本为 元，边际成本 （元/单位），边际收益 （元/单位），求：
课题
2.2.1经济模型与应用（2学时）
时间
年月日
教
学
目
的
要
求
重点
难点
教
学
方
法
手
段
精讲多练
主
要
内
容
时
间
分
配
1、常用的几种经济模型20分钟
例题25分钟
2、其他常用的几种应用15分钟
例题30分钟
作业
备注
2.2.1经济模型与应用
1．财贸与金融方面的应用
（1）资本现值与投资问题
若现有 元货币，按年利率为 作连续复利计算，则 年后的价值为 元；反过来，若 年后有货币 元，则按连续复利计算，现应有 元，这就称为资本现值。
设边际收益 ，边际成本 ，固定成本 ，已知 = ，即 时利润最大，则最大利润为 .
例8某工厂生产某种产品 单位时，其边际成本函数为 ，固定成本 （单位：百元）。求：
（1）此产品从30个单位到50个单位所需的成本；
（2）总成本函数 ；
（3）若此产品的销售单价为10（单位：百元），求总利润函数 ；
（4）何时才能获得最大利润，最大利润是多少？
解因均匀收入率 元， ,所以现值为
(元)
即现值为20150元。
例2现对某企业给予一笔投资 ,经测算，该企业在T年中可以按每年A的均匀收入率获得收入，若年利率为 ，试求：
（1）该投资的纯收入贴现值：
（2）收回该笔投资的时间。
解（1）投资后T年中获总收入的现值为
从而投资获得的纯收入的贴现值为
；
（2）收回投资，即总收入的现值等于投资，故有
由此解得收回投资的时间
如果回收期为无限时期，则纯收入的贴现值为
显然， 的值越大，投资效益越好，除国家允许外，都应避免 的情况出现。
例3若某企业投资 万元,年利率为 ，设在20年内的均匀收入率200万元/年，试求：
（1）该投资的纯收入贴现值：
（2）收回该笔投资的时间为多少？
解总收入的现值为
（万元），
从而投资所得纯收入为
由导数与不定积分的关系，有 。
设初始时刻 时的资本 ，由积分上பைடு நூலகம்函数的性质知，资本函数可表为
上式表明，在任意时刻 ，资本总量 等于初始资本 （或 ）加上从 时刻起到 时刻止所增加的资本数量。根据上式求出
在时间间隔[ ]上资本形成的总量。
即 。
例6设净投资函数 （单位：万元/年），求：
（1）第1年期间资本积累的总量：
(万元)，
收回投资的时间为
（年）。
例4有一个大型投资项目，投资成本为 （万元），投资年利率为 ，每年的均匀收入率 （万元），求该投资为无限时期的纯收入的贴现值。
解由已知条件收入率 （万元），年利率为 ，故无限期的投资的总收入的贴现值为
（万元）
从而投资为无限时期的纯收入的贴现值为
（万元）。
例5某工厂生产某种产品的购置设备成本费用为50万元，在10年中每年可收回20万元，如果年利率为 ，并且假定购置的设备在10年中完全失去价值，求其投资效益。
（元）。
所以，2009年深圳的人均收入为
（元）
（4）国民生产总值
例111999年我国的国民生产总值（GDP）为80423亿元，如果我国能保持每年 的相对增长率，问到2010年我国的GDP是多少？
解（1）建立微分方程
设第 年我国的GDP为 ， 代表1999年。
由题意知，从1999年起， 的相对增长率为 ，即