空间向量讲义(非常好用)
向量的数量积和坐标运算
b a
,是两个非零向量，它们的夹角为θ，则数θcos ||||??b 叫做a 与b 的数量积（或内
积），记作b a ?，即.cos ||||θ??=?b a b a 其几何意义是a 的长度与b 在a 的方向上的投影的乘积. 其坐标运算是：
若),,(),,,(222111z y x b z y x a ==，则
①212121z z y y x x b a ++=?
；
②2
22222212121||,||z y x b z y x a ++=++=；
③212121z z y y x x b a ++=?
④2
2
2
22
22
12
12
12
12121,cos z y x z y x z z y y x x b a ++?++++>=
<
1.2. 异面直线n m ,所成的角
分别在直线n m ,上取定向量,,b a
则异面直线n m ,所成的角θ等于向量b a ,所成的角或其补角
（如图1所示），则.|||||
|cos b a b a
??=θ 1.3. 异面直线n m 、的距离
分别在直线n m 、上取定向量,,b a
求与向量b a 、都垂直的
向量，分别在n m 、上各取一个定点B A 、，则异面直线n m 、的距离d 等于在上的射影长，即d =
.
1.4. 直线L 与平面α所成的角
在L 上取定，求平面α的法向量（如图2所示），再求|
|||cos n AB ?=θ，则θ
π
β-=
2
为所求的角. 1.5． 二面角
方法一：构造二面角βα--l 的两个半平面βα、
的法向量21n n 、（都取向上的方向，如图3所示）
，则
图1
图3甲
①
若二面角βα--l 是“钝角型”的如图3甲所示，那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角的补角，即cos 2121=θ（例如2004年高考数学广东卷第18题第
（1）问）. ② 若二面角βα--l 是“锐角型”的如图3乙所示，那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角，即cos 2121=
θ
③ 方法二：在二面角的棱l 上确定两个点B A 、，过B A 、分别在平面βα、内求出与l 垂直的向量21n n 、（如图4所示）
，则二面角βα--l 的大小等于向量21n n 、的夹角，即 |
|||cos 2121n n ?=
θ
1.6. 平面外一点p 到平面α的距离
先求出平面α的法向量n ，在平面内任取一定点A ，则点p 到平面
α的距离d 等于在上的射影长，即|
|n d =
.
练习
1．在长方体1111ABCD A B C D -中，1B C 和1C D 与底面所成的角分别为60°和45°，则异面直线1B C 和1C D 所成角的余弦值为 ．
2.如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1
AD 所成角的余弦值为（ ）A ．15 B ．25 C ．35 D ．
45 3．，在四面体S-ABC 中，E 、F 、G 、H 、M 、N 分别是棱SA 、BC 、AB 、SC 、AC 、SB 的中点，且EF=GH=MN ,求证：AB SC AC SB BC SA ⊥⊥⊥,,. 4．如图2，正三棱柱111-ABC A B C 的底面边长为a
，求1AC 与侧面11ABB A 所成的角．
5．如图3，直三棱柱111ABC A B C -中，底面是等腰直角三角形，
90ACB ∠=°，侧棱12AA D E =，，分别是1CC 与1A B 的中点，点E
在平面
图4
高中数学选修2-1《空间向量与立体几何》知识点讲义
第三章 空间向量与立体几何 一、坐标运算 ()()111222,,,,,a x y z b x y z == ()()()()121212121212 11112121 2,,,,,,,,a b x x y y z z a b x x y y z z a x y z a b x x y y z z λλλλ+=+++-=---=?=???则 二、共线向量定理 (),0,=.a b b a b a b λλ≠←??→?充要对于使 三、共面向量定理 ,,.a b p a b x y p x a y b ←??→?=+充要若与不共线，则与共面使 ,,, 1.O OP xOA yOB P A B x y =+←???→+=充要条件四、对空间任意一点，若则三点共线 ,1.P A B C O OP xOA yOB zOC P A B C x y z =++←??→++=充要五、对空间异于、、、四点的任意一点，若若、、、四点 ()()()11, 1.P A B C AP xAB y AC OP OA x OB OA y OC OA OP xOB yOC x y OA x y z x y z ∴=+∴-=-+-∴=++----=∴++=证明：①必要性 、、、四点共面， ，，， 令()()() 1, 1,x y z OP y z OA yOB zOC OP OA y OB OA z OC OA AP y AB z AC A B C P ++=∴=--++∴-=-+-∴=+∴②充分性，，、、、四点共面. 六、空间向量基本定理 {} ,,a b c p x y z p xa yb zc a b c a b c ?若,,不共面，对于任意，使=++，称,,做空间的一个基底，, ,都叫做基向量.
2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1北师大版第二章 空间向量与立体几何 §3 3.3 Word版含答案
空间向量运算的坐标表示 学习目标.了解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标.掌握空间向量的坐标运算.会判断两向量平行或垂直.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式． 知识点一空间向量的坐标运算 空间向量，，其坐标形式为＝(，，)，＝(，，). 知识点二空间向量的平行、垂直及模、夹角 设＝(，，)，＝(，，)，则 ．在空间直角坐标系中，向量的坐标与终点的坐标相同．(×) ．设＝(，，)，＝(，，)且≠，则∥?＝＝.(×) ．四边形是平行四边形，则向量与的坐标相同．(√) ．设(，－)，为坐标原点，则＝(，－)．(√) 类型一空间向量坐标的计算 例()已知向量＝(，－，－)，＝(，－)，则(＋)·(－)＝.
()已知＋＝(，，)，－＝(，，)，则〈，〉等于() 考点空间向量运算的坐标表示 题点空间向量的坐标运算 答案()－() 解析()(＋)·(－)＝＋·－·－＝×－－×＝－. ()由已知得＝(，，)，＝(，)， 故〈，〉＝＝＝. 反思与感悟关于空间向量坐标运算的两类问题 ()直接计算问题首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算． ()由条件求向量或点的坐标首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程组求出其坐标．跟踪训练若向量＝(，)，＝()，＝()，且满足条件(－)·＝－，则＝. 考点空间向量运算的坐标表示 题点空间向量的坐标运算 答案 解析据题意，有－＝(－)，＝()， 故(－)·＝(－)＝－，解得＝. 类型二空间向量平行、垂直的坐标表示 例已知空间三点(－)，(－)，(－)，设＝，＝. ()若＝，∥.求； ()若＋与－互相垂直，求. 考点空间向量运算的坐标表示 题点空间向量的坐标运算 解()因为＝(－，－)，且∥， 所以设＝λ＝(－λ，－λ，λ)， 得＝＝λ＝， 解得λ＝±.即＝(－，－)或＝(，－)． ()因为＝＝()，＝＝(－)， 所以＋＝(－，)，－＝(＋，，－)． 又因为(＋)⊥(－)，所以(＋)·(－)＝. 即(－，)·(＋，，－)＝＋－＝.
空间向量讲义(非常好用)学习资料
空间向量讲义(非常好 用)
向量的数量积和坐标运算 b a ,是两个非零向量，它们的夹角为 ，则数 cos ||| b 叫做与的数量积（或 内积），记作b a ，即.cos |||| b a b a 其几何意义是a 的长度与b 在a 的方向上的投影的乘积. 其坐标运算是： 若),,(),,,(222111z y x b z y x a ，则 ①212121z z y y x x b a ； ②2 22222212121||,||z y x z y x ； ③212121z z y y x x b a ④2 2 2 22 22 12 12 12 12121,cos z y x z y x z z y y x x b a 1.2. 异面直线n m ,所成的角 分别在直线n m ,上取定向量,,b a 则异面直线n m ,所成的角 等于向量b a ,所成的角或其补角 （如图1所示），则.||||| |cos b a b a 1.3. 异面直线n m 、的距离 分别在直线n m 、上取定向量,,b a 求与向量b a 、都垂直的 向量n ，分别在n m 、上各取一个定点B A 、，则异面直线n m 、的距离d 等于AB 在n 上的射影长，即| |n d . 1.4. 直线L 与平面 所成的角 在L 上取定AB ，求平面 的法向量n （如图2所示），再求| |||cos n AB 2 为所求的角. 图1
1.5． 二面角 方法一：构造二面角 l 的两个半平面 、的法向量 21n n 、（都取向上的方向，如图3所示），则 ① 若二面角 l 是“钝角型”的如图3甲所示，那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角的补角，即| |||cos 2121n n （例如2004年高考数学 广东卷第18题第（1）问）. ② 若二面角 l 是“锐角型”的如图3乙所示，那么其 大小等于两法向量21n n 、的夹角，即| |||cos 2121n n ③ 方法二：在二面角的棱l 上确定两个点B A 、，过B A 、分别在平面 、内求出与l 垂 直的向量21n n 、（如图4所示），则二面角 l 的大小等于向量21n n 、的夹角，即 cos 2121 1.6. 平面外一点p 到平面 的距离 先求出平面 的法向量n ，在平面内任取一定点A ，则点p 到平面 的距离d 等于AP 在n 上的射影长，即| |n d . 练习 1．在长方体1111ABCD A B C D 中，1B C 和1C D 与底面所成的角分别为60°和45°，则异面直线 1B C 和1C D 所成角的余弦值为 ． 图3甲 图4
空间向量讲义非常好用
空间向量讲义(非常好用）
————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：
向量的数量积和坐标运算 b a ,是两个非零向量，它们的夹角为θ，则数θcos ||||??b a 叫做a 与b 的数量积 (或内积）,记作b a ?，即.cos ||||θ??=?b a b a 其几何意义是a 的长度与b 在a 的方向上的投影的乘积. 其坐标运算是: 若),,(),,,(222111z y x b z y x a ==，则 ①212121z z y y x x b a ++=? ; ②2 22222212121||,||z y x b z y x a ++=++=; ③212121z z y y x x b a ++=? ④2 2 2 22 22 12 12 12 12121,cos z y x z y x z z y y x x b a ++?++++>= < １．2. 异面直线n m ,所成的角 分别在直线n m ,上取定向量,,b a 则异面直线n m ,所成的角θ等于向量b a ,所成的角或其补角 （如图1所示),则.||||| |cos b a b a ??=θ １.３． 异面直线n m 、的距离 分别在直线n m 、上取定向量,,b a 求与向量b a 、都垂直的 向量n ,分别在n m 、上各取一个定点B A 、,则异面直线n m 、的距离d 等于AB 在n 上的射影长,即| |||n n AB d ?= . １．４． 直线L 与平面α所成的角 在L 上取定AB ，求平面α的法向量n （如图2所示)，再求| |||||cos n AB n AB ??=θ,则θ π β-= 2 为所求的角. C n 图1 D A B n m a b
空间向量讲义(非常好用)
卓越个性化教案 GFJW0901 向量的数量积和坐标运算 b a ,是两个非零向量，它们的夹角为θ，则数θcos ||||??b a 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作b a ?，即.c o s ||||θ??=?b a b a 其几何意义是a 的长度与b 在a 的方向上的投影的乘积. 其坐标运算是： 若),,(),,,(222111z y x b z y x a ==，则 ①212121z z y y x x b a ++=? ； ②2 22 22 22 12 12 1||,||z y x b z y x a ++=++=； ③212121z z y y x x b a ++=? ④2 2 2 22 22 12 12 12 12121,cos z y x z y x z z y y x x b a ++?++++>= < 1.2. 异面直线n m ,所成的角 分别在直线n m ,上取定向量,,b a 则异面直线n m ,所成的角θ等于向量b a ,所成的角或其补角（如图1所示），则.| |||| |cos b a b a ??=θ 1.3. 异面直线n m 、 的距离 分别在直线n m 、 上取定向量,,b a 求与向量b a 、都垂直的 向量n ，分别在n m 、 上各取一个定点B A 、，则异面直线n m 、的距离d 等于AB 在n 上的射影长，即| |||n n AB d ?= . 1.4. 直线L 与平面α所成的角 在L 上取定AB ，求平面α的法向量n （如图2所示），再求| |||||cos n AB n AB ??=θ，则θ π β-= 2 为所求的角. C n 图1 D A B n m a b
2021空间向量综合讲义(最新最全)
空间向量综合讲义 1、空间向量基本知识 2、空间向量求夹角（直线与直线、直线与平面、平面与平面） 3、空间向量证明三点共线（共面） 4、空间向量求点到平面的距离 5、空间向量证明垂直、平行 6、向量解决探索性问题 一、空间向量基本知识 一、空间向量及其加减运算 1.空间向量 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模.空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量a 的起点是A ，终点是B ，则向量a 也可以记作AB ，其模记为a 或AB . 2.零向量与单位向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记作0.当有向线段的起点A 与终点B 重合时，0AB =. 模为1的向量称为单位向量. 3.相等向量与相反向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量. 与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量，记为a -. 4.空间向量的加法和减法运算 （1）OC OA OB a b =+=+，BA OA OB a b =-=-.如图8-152所示. （2）空间向量的加法运算满足交换律及结合律 a b b a +=+，()() a b c a b c ++=++
二、空间向量的数乘运算 1．数乘运算 实数λ与空间向量a 的乘积a λ称为向量的数乘运算.当0λ>时，a λ与向量a 方向相同；当0λ<时，向量a λ与向量a 方向相反. a λ的长度是a 的长度的 λ倍. 2.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律 ()a b a b λλλ+=+，() ()a a λμλμ=. 3.共线向量与平行向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作//a b . 4.共线向量定理 对空间中任意两个向量a ，b () 0b ≠，//a b 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=. 5.直线的方向向量 如图8-153所示，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线.对空间任意一点O ，点P 在直线 l 上的充要条件是存在实数t ，使OP OA ta =+①，其中向量a 叫做直线l 的方向向量，在l 上取AB a =， 则式①可化为() ()1OP OA t AB OA t OB OA t OA tOB =+=+-=-+② ①和②都称为空间直线的向量表达式，当12t =，即点P 是线段AB 的中点时，() 12 OP OA OB =+，此式叫做线段AB 的中点公式. 6.共面向量 如图8-154所示，已知平面α与向量a ，作OA a =，如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，则说明向量a 平行于平面α.平行于同一平面的向量，叫做共面向量. 7.共面向量定理 如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ， b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(),x y ，使p xa yb =+. 图 8-154
第35讲 空间坐标系与空间向量(讲义版)
第35讲 空间坐标系与空间向量 一、 考情分析 1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置； 2.借助特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式； 3.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； 4.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； 5.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直. 二、 知识梳理 1.空间向量的有关概念 2.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：两个空间向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在唯一的实数x ，使a ＝x b . (2)共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，则向量c 与向量a ，b 共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x ，y ，使c ＝x a ＋y b . (3)空间向量分解定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝x a ＋y b ＋z c . 3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角：已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是[0，π]，若〈a ，b 〉＝π 2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b . ②非零向量a ，b 的数量积a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉.
(2)空间向量数量积的运算律： ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； ②交换律：a·b ＝b·a ； ③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 4.空间向量的坐标表示及其应用 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3). [微点提醒] 1.在平面中A ，B ，C 三点共线的充要条件是：OA →＝xOB →＋yOC →(其中x ＋y ＝1)，O 为平面内任意一点. 2.在空间中P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件是：OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)，O 为空间任意一点. 3.向量的数量积满足交换律、分配律，即a ·b ＝b ·a ，a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c 成立，但不满足结合律，即(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )不一定成立. 4.若向量α的投影向量是γ，则向量α－γ与向量γ垂直，当向量γ与向量α起点相同时，终点间的距离最小. 三、 经典例题 考点一 空间向量的线性运算
空间向量与立体几何讲义
高 二 年级 数学 学科 一、空间向量的数量积坐标运算 1.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O -xyz 和向量a ，且设i 、j 、k 为 x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量，则存在有序实数组{,,}x y z ，使得a xi y j zk =++ ，则称有序实数组{,,}x y z 为 向量a 的坐标，记着p = . 2．空间向量的直角坐标运算 （1）若123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b b = ，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++ ， 112233(,,)a b a b a b a b -=--- ，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈ ， （2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =--- ． 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 2．数量积：即 ?=332211b a b a b a ++ 3 ．夹角：cos ||||a b a b a b ??==? 4．模长公式：若123(,,)a a a a = ，则||a == ． 5．平行与垂直： 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈ 00332211=++?=??⊥b a b a b a 6．距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ， 则||AB == ， 或,A B d = 【典型例题】例1 如图，空间四边形OABC 中，,OA a OB b == ， OC c = ，点M 在OA 上，且OM =2MA ,点N 为BC 的中点，则MN = .
人教A版2020年高中数学选择性必修(第一册)知识讲义 空间向量基本定理及坐标表示
空间向量基本定理及坐标表示 1. 理解空间向量的基本定理及其意义； 核心知识点一：空间向量基本定理
定理：如果三个向量a b c ，，不共面，那么对任意一个空间向量p ，存在唯一的 有序实数组{x ，y ，z }，使得=p xa yb zc ++，其中{}a b c ， ，叫做空间的一个基底，a b c ，，都叫做基向量。空间中任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 核心知识点二：空间向量的正交分解 如果空间中的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{},,i j k 表示。由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a ，均可以分解为三个向量,,xi y j zk ，使=a xi y j zk ++。像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解。 注意： （1）空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底。 （2）0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是0。 （3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念。 核心知识点三：空间直角坐标系及向量坐标 1. 空间直角坐标系：在空间选定一点O 和一个单位正交基底{} ,,i j k 。以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫做坐标轴。这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz ，O 叫做原点，,,i j k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy 平面，Oyz 平面，Ozx 平面，它们把空间分成八个部分。 教材中所用的坐标系都是右手直角坐标系，其规则是：让右手拇指指向x 轴
空间向量讲义非常好用资料全
向量的数量积和坐标运算 b a ,是两个非零向量，它们的夹角为 ，则数 cos |||| b a 叫做a 与b 的数量积（或内 积），记作b a ，即.cos |||| b a b a 其几何意义是a 的长度与b 在a 的方向上的投影的乘积. 其坐标运算是： 若),,(),,,(222111z y x z y x ，则 ①212121z z y y x x b a ； ②2 22222212121||,||z y x z y x ； ③212121z z y y x x b a ④2 2 2 22 22 12 12 12 12121,cos z y x z y x z z y y x x 1.2. 异面直线n m ,所成的角 分别在直线n m ,上取定向量,,b a 则异面直线n m ,所成的角 等于向量b a ,所成的角或其补角 （如图1所示），则.||||| |cos b a b a 1.3. 异面直线n m 、的距离 分别在直线n m 、上取定向量,,b a 求与向量b a 、都垂直的 向量n ，分别在n m 、上各取一个定点B A 、，则异面直线n m 、的距离d 等于AB 在n 上的射影长，即| |n d . 1.4. 直线L 与平面 所成的角 在L 上取定AB ，求平面 的法向量n （如图2所示），再求| |||cos n AB 则 2 为所求的角. 图1
1.5． 二面角 方法一：构造二面角 l 的两个半平面 、的法向量21n n 、（都取向上的方向，如图3所示），则 ① 若二面角 l 是“钝角型”的如图3甲所示，那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角的补角，即cos 2121 （例如2004年高考数 学广东卷第18题第（1）问）. ② 若二面角 l 是“锐角型”的如图3乙所示，那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角，即| |||cos 2121n n ③ 方法二：在二面角的棱l 上确定两个点B A 、，过B A 、分别在平面 、内求出与l 垂直的向量21n n 、（如图4所示） ，则二面角 l 的大小等于向量21n n 、的夹角，即 | |||cos 2121n n 1.6. 平面外一点p 到平面 的距离 先求出平面 的法向量n ，在平面内任取一定点A ，则点p 到平面 的距离d 等于AP 在n 上的射影长，即d . 练习 1．在长方体1111ABCD A B C D 中，1B C 和1C D 与底面所成的角分别为60°和45°，则异面直线1B C 和1C D 所成角的余弦值为 ． 图3乙 图3甲 图4
14全国高中数学竞赛讲义-立体图形、空间向量(练习题)
A B C D E F 最新高中数学奥数竞赛试题立体图形，空间向量 课后练习 1．甲烷分子由一个碳原子和四个氢原子组成,其空间构型为一正四面体,碳原子位于该正四 面体的中心,四个氢原子分别位于该正四面体的四个顶点上.若将碳原子和氢原子均视为一 个点(体积忽略不计),且已知碳原子与每个氢原子间的距离都为a ,则以四个氢原子为顶点 的这个正四面体的体积为( ) A, 3827a B,327a C,313a D,38 9 a 2．夹在两个平行平面之间的球,圆柱,圆锥在这两个平面上的射影都是圆,则它们的体积之 比为( ) A,3:2:1 B,2:3:1 C,3:6:2 D,6:8:3 3．设二面角a αβ--的大小是0 60,P 是二面角内的一点,P 点到,αβ的距离分别为1cm, 2cm,则点P 到棱a 的距离是( ) A, 3cm B,3cm C,2 3 cm D,3cm 4．如图,E,F 分别是正三棱锥A -BCD 的棱AB,BC 的中点,且DE ⊥EF.若BC=a ,则此正三棱锥的体积是( ) A,324 a B,3 24a 3 3 5．棱长为的正八面体的外接球的体积是( ) A, 6 π B,27 C,3 D,3 6．若线段AB 的两端点到平面α的距离都等于2,则线段AB 所在的直线和平面α 的位置关系是 . 7．若异面直线,a b 所原角为0 60,AB 是公垂线,E,F 分别是异面直线,a b 上到A,B 距离为 2和平共处的两点,当3EF =时,线段AB 的长为 . 8．如图(1),在直四棱柱1111A B C D ABCD -中,当底面四边形ABCD 满足条件 时,有1A C ⊥1B 1D (注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)
最新高考数学一轮复习讲义—36空间向量及应用汇总
2010高考数学一轮复习讲义—36空间向量 及应用
一．【课标要求】 （1）空间向量及其运算 ①经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； ②了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； ③掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； ④掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 （2）空间向量的应用 ①理解直线的方向向量与平面的法向量； ②能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系； ③能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）； ④能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用 二．【命题走向】 本讲内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本讲是立体几何的核心内容，高考对本讲的考察形式为：以客观题形式考察空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离 预测2010年高考对本讲内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度 三．【要点精讲】 1．空间向量的概念 向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。
说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。 2．向量运算和运算率 b a AB OA OB +=+= b a OB OA BA -=-= )(R a OP ∈=λλ 加法交换率：.a b b a +=+ 加法结合率：).()(c b a c b a ++=++ 数乘分配率：.)(b a b a λλλ+=+ 说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立 3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平 行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。a 平行于b 记作a ∥b 。 注意：当我们说a 、b 共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说a 、b 平行时，也具有同样的意义。 共线向量定理：对空间任意两个向量a （a ≠0）、b ，a ∥b 的充要条件是 存在实数λ使b ＝λa 注：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若a ∥b （a ≠0），则有b ＝λa ，其中λ是唯一确定的实数。②判断定理：若存在唯一实数λ，使b ＝λa （a ≠0），则有a ∥b （若用此结论判断a 、b 所在直线平行，还需a （或b ） 上有一点不在b （或a ）上）。 ⑵对于确定的λ和a ，b ＝λa 表示空间与a 平行或共线，长度为 |λa |，当 λ>0时与a 同向，当λ<0时与a 反向的所有向量
高考总复习经典讲义空间向量及其运算
空间向量及其运算 知识点1、向量共线、共面的判定. 1、共线: 对空间任意两个向量a , b (b ≠0), a ∥b 的充要条件是_______________. 2、共面: 如果两个向量a , b (不共线), 那么向量p 与向量a , b 共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x , y ), 使_______________. 答案: p ＝x a ＋y b . 3、不共面: 如果三个向量a , b , c 不共面, 那么对空间任一向量p , 存在有序实数组{x , y , z }, 使得p ＝____________________________, 把{a , b , c }叫做空间的一个基底. 知识点2、向量运算律 ① 两向量的数量积 已知两个非零向量a , b , 则____________________叫做向量a , b 的数量积, 记作________, 即__________________.数量积的坐标运算, 若a ＝(a 1, a 2, a 3), b ＝(b 1, b 2, b 3), 则 a·b ＝____________________. ② 空间向量数量积的运算律 结合律: (λa )·b ＝____________; 交换律: a·b ＝_______; 分配律: a·(b ＋c )＝_____________. ③ 模、夹角和距离公式 设a ＝(a 1, a 2, a 3), b ＝(b 1, b 2, b 3), 则|a |＝a·a ＝________________, cos 〈a , b 〉＝a·b |a||b| ＝________________________ . 若A (a 1, b 1, c 1), B (a 2, b 2, c 2), 则|AB → |＝__________________________. 题型一 直线的方程形式 (1) 空间向量: 在空间中, 具有______和______的量叫做空间向量. (2) 相等向量: 方向______且模______的向量. (3) 共线向量定理 1. 若a ＝(2x,1,3), b ＝(1, －2y,9), 且a ∥b , 则( ) A. x ＝1, y ＝1 B. x ＝12, y ＝－12 C. x ＝16, y ＝－32 D. x ＝－16, y ＝3 2 解: 选C, ∵a ∥b , ∴2x 1＝1－2y ＝39, ∴x ＝16, y ＝－3 2 . 2. (2016·青岛月考) 如图所示, 在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中, M 为AC 与BD 的交点, 若A 1B 1→＝a , A 1D 1→ ＝b , A 1A →＝c , 则下列向量中与B 1M → 相等的向量是( ) A. －12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋c C.12a －12b ＋c D. －12a －12 b ＋c 解: 选A, [B 1M →＝B 1A 1→＋A 1A →＋AM →＝－A 1B 1→＋A 1A → ＋????12AB →＋12AD → ＝－a ＋c ＋12(a ＋b )＝－12a ＋1 2 b ＋ c . 3. (2016·广州调研)在平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′中, 已知∠BAD ＝∠A ′AB ＝∠A ′AD ＝60°, AB ＝3, AD ＝4, AA ′＝5, 则|AC ′→ |＝________.
高三理数一轮讲义：8.7.1-利用空间向量求空间角
第7节 立体几何中的向量方法 第1课时 利用空间向量求空间角 最新考纲 1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题；2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用. 知 识 梳 理 1.异面直线所成的角 设a ，b 分别是两异面直线l 1，l 2的方向向量，则 a 与 b 的夹角β l 1与l 2所成的角θ 范围 (0，π) ? ????0，π2 求法 cos β＝a ·b |a ||b | cos θ＝|cos β|＝|a ·b | |a ||b | 2.求直线与平面所成的角 设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a ·n | |a ||n |. 3.求二面角的大小 (1)如图①，AB ，CD 是二面角α－l －β的两个面内的大小θ＝__〈AB →， 与棱l 垂直的直线，则二面角CD →〉. (2)如图②③，n 1，n 2 分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos 〈n 1，n 2〉|，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角). [微点提醒] 1.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a 与平面的法向量n 所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|，不要误记为cos θ＝|cos 〈a ，n 〉|. 2.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n 1，n 2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，来确定二面角与向量n 1，n 2的夹角是相等，还是互补.
高考数学讲义空间向量与立体几何.知识框架
空间向量在立体几何中的应 用 要求层 次 重难点 空间直 角坐标 系 空间直角坐标系 B （1）空间直角坐标系 ①了解空间直角坐标系，会用空间 直角坐标表示点的位置． ②会推导空间两点间的距离公式． （2）空间向量及其运算 ①了解空间向量的概念，了解空间 向量的基本定理及其意义，掌握空 间向量的正交分解及其坐标表示． ②掌握空间向量的线性运算及其 坐标表示． ③掌握空间向量的数量积及其坐 标表示，能运用向量的数量积判断 向量的共线与垂直． 空间两点间的距离 公式 B 空间向 量的应 用 空间向量的概念 B 空间向量基本定理 A 空间向量的正交分 解及其坐标表示 B 空间向量的线性运 算及其坐标表示 C 空间向量的数量积 及其坐标表示 C 运用向量的数量积 判断向量的共线与 垂直 C 空间向量在立体几何中的应 用 要求层 次 重难点 空间直 角坐标 系 空间直角坐标系 B （1）空间直角坐标系 ①了解空间直角坐标系，会用空间 直角坐标表示点的位置． 空间两点间的距离 公式 B 空间向空间向量的概念 B 高考要求 模块框架 空间向量与立体几何.知识框 架
量的应用 空间向量基本定理 A ②会推导空间两点间的距离公式． （2）空间向量及其运算 ①了解空间向量的概念，了解空间 向量的基本定理及其意义，掌握空 间向量的正交分解及其坐标表示． ②掌握空间向量的线性运算及其 坐标表示． ③掌握空间向量的数量积及其坐 标表示，能运用向量的数量积判断 向量的共线与垂直． 空间向量的正交分 解及其坐标表示 B 空间向量的线性运 算及其坐标表示 C 空间向量的数量积 及其坐标表示 C 运用向量的数量积 判断向量的共线与 垂直 C 知识内容
立体几何(向量法)—建系讲义
立体几何（向量法）—建系 引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一．所谓“建立适当的坐标系”，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算。 一、利用共顶点的互相垂直的三条线构建直角坐标系 例1（2012高考真题重庆理19）（本小题满分12分 如图，在直三棱柱111C B A ABC - 中，AB=4，AC=BC=3，D 为AB 的中点 （Ⅰ）求点C 到平面11ABB A 的距离; （Ⅱ）若11AB AC ⊥求二面角 的平面角的余弦值. 【答案】解：(1)由AC ＝BC ，D 为AB 的中点，得CD ⊥AB .又CD ⊥AA 1，故 CD ⊥面A 1ABB 1，所以点C 到平面A 1ABB 1的距离为 CD ＝BC 2－BD 2＝ 5. (2)解法一：如图，取D 1为A 1B 1的中点，连结DD 1，则DD 1∥AA 1∥CC 1.又由(1)知CD ⊥面A 1ABB 1，故CD ⊥A 1D ，CD ⊥DD 1，所以∠A 1DD 1为所求的二面角A 1－CD －C 1的平面角． 因A 1D 为A 1C 在面A 1ABB 1上的射影，又已知AB 1⊥A 1C ，由三垂线定理的逆定理得AB 1⊥A 1D ，从而∠A 1AB 1、∠A 1DA 都与∠B 1AB 互余，因此∠A 1AB 1＝∠A 1DA ，所以Rt △A 1AD ∽Rt △B 1A 1A .因此AA 1AD ＝A 1B 1 AA 1 ，即AA 21＝AD · A 1 B 1＝8，得AA 1＝2 2.
2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第八章 第九节空间向量的应用(二) 理
第九节 空间向量的应用(二 ) 知识梳理 一、利用向量证明平行 1．证线线平行(面面平行)方法：a ＝λb (b ≠0) ?a ∥b . 2．证线面平行方法：(法一)利用共面向量定理，如果两个向量a ，b 不共线，则向量c 与向量a ，b 共面的充要条件是存在实数对x ，y ，使c ＝x a ＋y b .(法二)证平面的法向量与该直线垂直． 二、利用向量证明垂直 1．证线线垂直方法：a ·b ＝0?a ⊥b . 2．证线面垂直方法：转化为证线线垂直． 三、利用向量求距离 1．求点到平面的距离：已知AB 为平面α的一条斜线段，C 为点A 在平面α的射影， n 为平面α的法向量，则A 到平面α的距离d ＝|| AC →＝|| AB →·n n . 2．求直线到平面的距离：转化为点到平面的距离去求． 3．求两平面间的距离：转化为点到平面的距离去求． 4. 两条异面直线距离：分别在直线a ，b 上取定向量a ，b ，求与向量a ，b 都垂直的向量n ， 分别在a ，b 上各取一个定点A ，B ，则异面直线a ，b 间的距离d 等于AB → 在n 上的射影长， 即d ＝|AB → ·n ||n | . 基础自测 1．已知直线a 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，下列结论成立的是( ) A ．若a ∥n ，则a ∥α B ．若a ·n ＝0，则a ⊥α C ．若a ∥n ，则a ⊥α 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行关系． 2.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)． 3.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的作用．
空间向量讲义 - 解析版
空间向量 知识点 一、空间向量及其运算 1．空间向量的有关概念 2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理 空间两个向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在实数λ，使得b ＝λa . 推论 如图所示，点P 在l 上的充要条件是OP →＝OA → ＋t a ① 其中a 叫直线l 的方向向量，t ∈R ，在l 上取AB →＝a ，则①可化为OP →＝OA →＋tAB →或OP →＝(1－t )OA →＋tOB → . (2)共面向量定理 共面向量定理的向量表达式：p ＝x a ＋y b ，其中x ，y ∈R ，a ，b 为不共线向量，推论的表达式为MP →＝xMA → ＋
yMB →或对空间任意一点O ，有OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →或OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB → ，其中x ＋y ＋z ＝ 1 . (3)空间向量基本定理 如果向量e 1，e 2，e 3是空间三个不共面的向量，a 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3，使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 3，空间中不共面的三个向量e 1，e 2，e 3叫作这个空间的一个基底． 3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB → ＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π 2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b . ②两向量的数量积 已知空间两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉． (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律：a ·b ＝b ·a ； ③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 4．空间向量的坐标表示及其应用 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3). 二、向量方法证明平行与垂直
空间向量讲义(非常好用)
向量的数量积和坐标运算 b a ,是两个非零向量，它们的夹角为θ，则数θcos ||||??b 叫做a 与b 的数量积（或内 积），记作b a ?，即.cos ||||θ??=?b a b a 其几何意义是a 的长度与b 在a 的方向上的投影的乘积. 其坐标运算是： 若),,(),,,(222111z y x b z y x a ==，则 ①212121z z y y x x b a ++=? ； ②2 22222212121||,||z y x b z y x a ++=++=； ③212121z z y y x x b a ++=? ④2 2 2 22 22 12 12 12 12121,cos z y x z y x z z y y x x b a ++?++++>= < 1.2. 异面直线n m ,所成的角 分别在直线n m ,上取定向量,,b a 则异面直线n m ,所成的角θ等于向量b a ,所成的角或其补角 （如图1所示），则.||||| |cos b a b a ??=θ 1.3. 异面直线n m 、的距离 分别在直线n m 、上取定向量,,b a 求与向量b a 、都垂直的 向量，分别在n m 、上各取一个定点B A 、，则异面直线n m 、的距离d 等于在上的射影长，即d = . 1.4. 直线L 与平面α所成的角 在L 上取定，求平面α的法向量（如图2所示），再求| |||cos n AB ?=θ，则θ π β-= 2 为所求的角. 1.5． 二面角 方法一：构造二面角βα--l 的两个半平面βα、 的法向量21n n 、（都取向上的方向，如图3所示） ，则 图1 图3甲
空间向量完整讲义及课后作业及答案
空间向量与立体几何 一、空间向量及其加减运算 知识梳理 知识点一 空间向量的概念 【例1】判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由． ① 向量与AC 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一条直线上； ② ②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是=DC ；⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同. 解 ①不正确，共线向量即平行向量，只要求两个向量方向相同或相反即可，并不要求两个向量，在同一条直线上.②不正确，单位向量模均相等且为1，但方向并不一定相同.③不正确，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.④不正确，因为A 、B 、C 、D 可能共线.⑤正确.⑥不正确，如图所示，与共线，虽起点不同，但终点却相同. 【反思感悟】 解此类题主要是透彻理解概念，对向量、零向量、单位向量、平行向量(共线向量)、共 面向量的概念特征及相互关系要把握好． 【跟踪训练】下列说法中正确的是( ) A ．若|a |＝|b |，则a 、b 的长度相同，方向相同或相反 B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b | C ．空间向量的减法满足结合律 D.在四边形ABCD 中，一定有AB +AD = 答案 B 解析|a|=|b|，说明a 与b 模长相等，但方向不确定；对于a 的相反向量b=-a 故|a|=|b|，从而B 正确；空 + =，只有平 行四边形才能成立.故A 、C 、D 均不正确. 知识点二 空间向量的加、减运算 【例2】 如图所示，已知平行六面体ABCD —A1B1C1D1，M 为A1C1与B1D1的交点，化简下列向量表达式． （1）1AA +11B A ；（2） 2111B A + 2111D A ； （3）1AA +2111B A +11D A ； （4）++1CC +11A C +A 1; 解 （1） 11AA B B + =1AB . （2）11111122A B A D +=11111()2A B A D +=11112 A C A M =