数学分析课件PPT之第二章数列极限

xn
1
(1)n1
1 n
1 n
给定 1 , 100
由 1 1 , 只要 n 100时, n 100
有
xn
1
1 100
,
给定 1 , 1000
只要 n 1000时,
有
xn
1
1, 1000
给定 1 , 10000
只要 n 10000时,
有
xn
1
1, 10000
给定 0,
只要 n N ( [1])时,
有 xn 1 成立.
当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近 于常数a, 则数列{xn}收敛a.
•分析
当n无限增大时, xn无限接近于a .
当n无限增大时, |xna|无限接近于0 .
当n无限增大时, |xna|可以任意小,要多小就能有多小.
当n增大到一定程度以后, |xna|能小于事先给定的任意
第二天截下的杖长总和为 X 2
1 2
1 22
;
第n天截下的杖长总和为 X n
1 2
1 22
1 2n
;
Xn
1
1 2n
1
二、数列的定义
定义:按自然数1,2,3,编号依次排列的一列数
x1 , x2 ,, xn ,
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数
列的项, xn称为通项(一般项).数列(1)记为{ xn }.
A1表示圆内接正6边形面积, A2表示圆内接正12边形面积,
A3表示圆内接正24边形面积,
,
An表示圆内接正62n-1边形面积,
A123
.
显然n越大, An越接近于S.
因此, 需要考虑当n时, An的变化趋势.
2、截丈问题：
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
第一天截下的杖长为 X1
1; 2
几何解释:
a
2 a
x2 x1 xN 1 a xN 2 x3 x
当n N时, 所有的点 xn都落在(a , a )内,
只有有限个(至多只有N个) 落在其外.
注
①定义1习惯上称为极限的ε—N定义，它用两个 动态指标ε和N刻画了极限的实质，用|xn－a|＜ε
定量地刻画了xn 与a 之间的距离任意小，即任给
动点在数轴上依次取 x1 , x2 ,, xn ,.
x3 x1 x2 x4 xn 2.数列是整标函数 xn f (n).
三、数列的极限
数列极限来自实践，它有丰富的实
际背景.我们的祖 先很早就对数列
进行了研究，早在战国时期就有了
极限的概念
例1 战国时代哲学家庄周所著的《庄子.天下篇》引用 过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”也 就是说一根一尺 长的木棒，每天截去一半，这样的过 程可以一直无限制的进行下去。将每天截后的木棒排 成一列, 如图所示,
过ε的相对固定性来实现）。
③定义中的N是一个特定的项数，与给定的ε有关。 重要的是它的存在性，它是在ε相对固定后才能确定的， 且由|xn－a|＜ε来选定，一般说来，ε越小，N越大，但须 注意，对于一个固定的ε，合乎定义要求的N不是唯一的。 用定义验证xn 以a 为极限时，关键在于设法由给定的ε，
lim
n
xn
a,
或 xn a (n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
注意：1.不等式 xn a 刻划了xn与a的无限接近; 2.N与任意给定的正数有关.
N定义 :
lim
n
xn
a
0, N 0,使n N时, 恒有 xn a .
其中 : 每一个或任给的; : 至少有一个或存在.
例如 2,4,8,,2n ,; {2n }
1 2
, 1 , 1 ,, 48
1 2n
,;
{
1 2n
}
1,1,1,,(1)n1 ,;
{(1)n1}
2, 1 , 4 ,, n (1)n1 ,;
23
n
{n (1)n1 } n
3, 3 3,, 3 3 3 ,
注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一
敛于a, 记为
lim
n
xn
a
或
xna
(n).
如果不存在这样的常数a, 就说数列{xn}没有极限,
或说数列{xn}是发散的,
习惯上也说
lim
n
xn
不存在.
•极限定义的简记形式
lim
n
xn
a
0,
NN,
当nN时,
有|xna|
.
定义 如果对于任意给定的正数(不论它多么
小),总存在正数 N ,使得对于n N 时的一切 xn, 不等式 xn a 都成立,那末就称常数a 是数列 xn的极限,或者称数列 xn收敛于a ,记为
a
.
例如 nlnlimimnnnn1111,,
nnlliimm2211nn 00, , nlimnlimnn(n(1n)1n)n11 1.1.
问题: 当 n无限增大时, xn是否无限接近于某一
确定的数值?如果是,如何确定?
通过上面演示实验的观察:
当
n
无限增大时,
xn
1
(1)n1 n
无限接近于1.
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它.
ε＞0标志着“要多小”的要求，用n ＞N表示n充分 大。这个定义有三个要素：10，正数ε，20，正数 N，30，不等式|xn－a|＜ε（n ＞N）
②定义中的ε具有二重性：一是ε的任意性，二是 ε的相对固定性。ε的二重性体现了xn 逼近a 时要 经历一个无限的过程（这个无限过程通过ε的任意
性来实现），但这个无限过程又要一步步地实现， 而且每一步的变化都是有限的（这个有限的变化通
第二章 数列极限
§2.1 数列极限的概念 §2.2 收敛数列的性质 §2.3 数列极限存在的条件
§2.1 数列极限的概念
一、概念的引入 二、数列的定义 三、数列的极限 四 、应用数列极限的定义证明数列极 限的方法
一、概念的引入
引 1 如何用渐近的方法求圆的面积S？ 例 用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S.
小的正数.
因此,如果 n 增大到一定程度以后, |xna|能小于事先
给定的任意小的正数,则当n无限增大时, xn无限接近于常
数a.
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❖数列极限的精确定义
设{xn}为一数列, 如果存在常数a, 对于任意给定的正
数 , 总存在正整数N, 使得当n>N 时, 不等式
|xna |<
总成立, 则称常数a是数列{xn}的极限, 或者称数列{xn}收
（c11(k)） 其长度组成的数列为
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
n
1
0.8
0.6
,
0.4
0.2
0
0
2
4
6
8
10
随着n 无限的增加, 木棒的长度无限的趋近于零。
❖数列极限的通俗定义
当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近
于常数a, 则常数a称为数列{xn}的极限, 或称数列{xn}收
敛a,
记为
lim
n
xn