高中数学必修五 等比数列的前n项和

1 1 1－ n 2 2 n 1 n ＝ 1 －2n＋1＝1－2n－2n＋1， 1－ 2 1 n ∴Tn＝2－ n－1－ n. 2 2 nn＋1 又1＋2＋3＋„＋n＝ ， 2 n ∴数列{a }的前n项和 n 2＋n nn＋1 n2＋n＋4 n＋2 Sn＝2－ 2n ＋ 2 ＝ － 2n . 2
【解】
(1)由已知S6≠2S3，则q≠1.
7 63 又S3＝2，S6＝ 2 ，
3 a 1 － q 7 1 ＝2， 1 － q ∴ 6 a 1 － q 63 1 ＝ ， 2 1 － q
① ②
②÷ ①得1＋q3＝9，∴q＝2. 1 将q＝2代入①，可得a1＝2， ∴an＝a1qn 1＝2n 2.
解
a11－q4 a11－24 1 (1)S4＝ ＝ ＝15a1＝1，∴a1＝ . 15 1－q 1－2
1 8 1 － 2 8 a11－q 15 ∴S8＝ ＝ ＝17. 1－q 1－2 (2)由a3＝－12，S3＝－9，得
2 a1q ＝－12， 2 a 1 ＋ q ＋ q ＝－9， 1
n
n (2)求数列{a }的前n项和Sn. n
【分析】
(1)可如下变形
2an 1 1 1 1 an＋1＝ ⇔ ＝ ·＋ ； an＋1 an＋1 2 an 2 (2)用错位相减法求数列的前n项和．
【解】 ∴ an＋1 1 1
2an (1)∵an＋1＝ ， an＋1
an＋1 1 1 1 ＝ 2a ＝2＋2· a.
(2)由(1)知等比数列{bn}中b1＝3，公比q＝2， 所以an＋1－2an＝3×2
n－1
an＋1 an 3 ，于是 n＋1－2n＝4， 2
an 1 3 因此数列{ n}是首项为 ，公差为 的等差数列， 2 2 4 an 1 3 3 1 ＝ ＋(n－1)× ＝ n－ ， 2n 2 4 4 4 所以an＝(3n－1)· 2n－2.
三
等比数列前n项和公式的应用
【例3】 一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以 后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度 的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m吗？ 【分析】 通过仔细审题，抓住“在以后每一分钟里，它
上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%”这一“题 眼”，从而构造出等比数列模型——热气球在每分钟里上升的 高度组成一个等比数列，于是热气球上升的总高度便是该等比 数列的前n项和，利用公式即可．
第二章 数列
§2.5
等比数列的前n项和
第一课时
等比数列的前n项和
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
自学导引 1.理解并掌握等比数列前n项和公式及其推导过程． 2．能够应用前n项和公式解决等比数列有关问题.
课前热身 等比数列前n项和公式 等比数列{an}的前n项和为Sn，当公比q≠1时，Sn＝ ຫໍສະໝຸດ Baidu___________＝____________.当q＝1时，Sn＝__________.
【错因分析】
由于字母a没有限制条件，则a∈R，所以
当a＝0时，1，a，a2，„，an不是等比数列，当a≠0时，才是 等比数列．求和时，应分a＝1和a≠1两种情况求和，其和共有n ＋1项，而不是n项．
【正解】
(1)当a＝0时，Sn＝1.
(2)当a≠0时，1，a，a2，„an是等比数列，此时公比q＝ a，共有n＋1项． 1×1－an 1 1－an 1 ∴当a≠1时，Sn＝ ＝ . 1－a 1－a
【解】
用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意，
4 4 得an＋1＝5an，因此，数列{an}是首项a1＝25，公比q＝5的等比数 列． 热气球在前n分钟内上升的总高度 Sn＝a1＋a2＋„＋an a11－qn ＝ ＝ 1－q
4 251－5n
4 1－ 5
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典 例 剖 析
一
基本运算
【例1】
7 63 (1)在等比数列{an}中，S3＝2，S6＝ 2 ，求an；
(2)若q＝2，S4＝1，求S8. 【分析】 (1)本题已知等比数列的前3项和前6项的和，求
通项an，可利用等比数列前n项和公式，列方程组求解．(2)利 用前n项和求解．
1 1 1 1 n 1－ Sn＝ ＋ 2＋„＋ n－ n＋1， a a a a a
aan－1－na－1 即Sn＝ . ana－12 nn＋1 a＝1， 2 综上，得Sn＝ n aa －1－na－1 a≠1. n 2 a a － 1
4．设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2. (1)设bn＝an＋1－2an，证明数列{bn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式．
解
(1)由已知，得a1＋a2＝4a1＋2，
解得a2＝3a1＋2＝5，故b1＝a2－2a1＝3. 又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－(4an＋2)＝ 4an＋1－4an， 于是an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，即bn＋1＝2bn. 因此数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．
4 ＝125×1－5n<125.
即这个热气球上升的高度不可能超过125 m. 规律技巧 在比较Sn与125的大小时，由于n未知，可能无
4 从下手，应考虑指数函数y＝5x，x>0，y<1而求解．
易错探究 求和Sn＝1＋a＋a2＋„＋an. 【错解】 ∵1，a，a2，„，an成等比数列，且公比为q 1×1－an 1－an ＝a，∴Sn＝ ＝ . 1－a 1－a
a11－qn a1 a1 n (3)当q≠1时，Sn＝ ＝ － q ＝a－aqn(其中a 1－q 1－q 1－q a1 ＝ )．由此可知，若数列{an}的前n项和Sn＝a(1－qn)，且 1－q a≠0，a≠1，则数列{an}是等比数列．
2．错位相减法 (1)课本上推导等比数列前n项和的方法，即错位相减法， 解决的主要求和问题是：由等差数列与等比数列的对应项乘积 构成的新数列求和问题，解此类问题仍需注意公比q是否为1. (2)有些数列求和可先用分组、拆项等方法，转化成每组均 可用公式或错位相减法求和的形式求解．
解析
S3＝a1＋a2＋a3，
则S6＝(a1＋a2＋a3)(1＋q3)， S9＝(a1＋a2＋a3)(1＋q3＋q6)． S6 由S ＝3，得1＋q3＝3，∴q3＝2. 3
3 6 S9 1＋q ＋q 1＋2＋4 7 故S ＝ ＝ ＝3. 1＋q3 1＋2 6
答案 B
2．在等比数列{an}中， (1)已知q＝2，S4＝1，求S8； (2)a3＝－12，S3＝－9, 求公比q.
＋ ＋
当a＝1时，Sn＝n＋1. 1－an＋1 又当a＝0时，Sn＝ 也成立． 1－a n＋1 a＝1， ＋ ∴Sn＝1－an 1 a≠1. 1－a
随堂训练 S6 S9 1.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若 ＝3，则 ＝( S3 S6 A．2 8 C.3 7 B. 3 D．3 )
规律技巧
在等比数列{an}的五个基本量a1，q，an，n，Sn
中，a1与q是最基本的元素，在条件与结论间的联系不明显时， 均可以列方程组求解.
二
错位相减法求数列的和
2 2an 【例2】 已知数列{an}的首项a1＝ 3 ，an＋1＝ ，n＝ an＋1 1,2，„. 1 (1)证明：数列{a －1}是等比数列；
① ②
② 1＋q＋q2 3 得 ＝4. q2 ①
即q2＋4q＋4＝0，∴q＝－2.
1 2 3 n 3．求和Sn＝ ＋ 2＋ 3＋„＋ n. a a a a
解 分a＝1和a≠1两种情况．
nn＋1 当a＝1时，Sn＝1＋2＋3＋„＋n＝ 2 . 1 2 3 n 1 当a≠1时，Sn＝ ＋ 2＋ 3＋„＋ n，上式两边同乘以 ，得 a a a a a n－1 1 1 2 n Sn＝ 2＋ 3＋„＋ n ＋ n＋1，两式相减，得 a a a a a
－ －
(2)解法1：设首项为a1，∵q＝2，S4＝1， 1 8 1 － 2 4 8 a11－2 a11－q 15 1 ∴ ＝1，得a1＝15.∴S8＝ ＝ ＝17. 1－2 1－q 1－2 a11－q4 解法2：设首项为a1，∵S4＝ ＝1，且q＝2. 1－q a11－q8 a11－q4 ∴S8＝ ＝ · (1＋q4)＝S4(1＋q4)＝1×(1＋24) 1－q 1－q ＝17.
n n
1 1 ∴ －1＝2(a －1)． an＋1 n 2 1 1 又a1＝ ，∴ －1＝ ， 3 a1 2 1 1 1 ∴数列{a －1}是以2为首项，2为公比的等比数列．
n
1 1 1 1 (2)由(1)知a －1＝2·n－1＝2n， 2 n 1 1 n n 即a ＝2n＋1，∴a ＝2n＋n. n n 1 2 3 n 设Tn＝ ＋ 2＋ 3＋„＋ n，① 2 2 2 2 n－1 1 1 2 n 则2Tn＝22＋23＋„＋ 2n ＋ n＋1，② 2 ①－②得 1 1 1 1 n 2Tn＝2＋22＋„＋2n－2n＋1
自 我 a11－qn a1－anq na1 1 － q 1 － q 校 对
名师讲解 1.前n项和公式及应用 (1)在等比数列中的五个量Sn，n，a1，q，an中，由前n项和 公式结合通项公式，知道三个量便可求其余的两个量，同时还 可利用前n项和公式解与之有关的实际问题． (2)在解题过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的 应用，同时要注意在使用等比数列前n项和公式时，务必考虑 公比q是否等于1，从而选择恰当的公式求解，特别是公比是字 母时，要讨论．