《圆周角和圆心角的关系(2)》参考教案

5.4 圆周角和圆心角的关系（2）

教学目标

(一)教学知识点

1．掌握圆周角定理几个推论的内容．

2．会熟练运用推论解决问题．

(二)能力训练要求

1．培养学生观察、分析及理解问题的能力．

2．在学生自主探索推论的过程中，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式．

(三)情感与价值观要求

培养学生的探索精神和解决问题的能力.

教学重点

圆周角定理的几个推论的应用．

教学难点

理解几个推论的“题设”和“结论”．

教学方法

指导探索法．

教具准备

投影片三张

第一张：引例

第二张：例题

第三张：做一做

教学过程

Ⅰ．创设问题情境，引入新课

[师]请同学们回忆一下我们前几节课学习了哪些和圆有关系的角?它们之间有什么关系?

[生]学习了圆心角和圆周角、一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．即圆周角定理．

[师]我们在分析、证明上述定理证明过程中，用到了些什么数学思想方法?

[生]分类讨论、化归、转化思想方法．

[师]同学们请看下面这个问题：(出示投影片§4．3．2 A)

已知弦AB 和CD 交于⊙O 内一点P ，如下图．

求证：PA·PB=PC·PD ．

[师生共析]要证PA·PB ＝PC·PD ，可证PB

PC PD PA ．由此考虑证明以PA 、PC 为边的三角形与以PD 、PB 为边的三角形相似．由于图中没有这两个三角形，所以考虑作辅助线AC 和BD ．要证△PAC ∽△PDB ．由已知条件可得∠APC 与∠DPB 相等，如能再找到一对角相等．如∠A ＝∠D 或∠C ＝∠B ．便可证得所求结论．如何寻找∠A=∠D 或∠C=∠B.要想解决这个问题．我们需先进行下面的学习．

Ⅱ．讲授新课

[师]请同学们画一个圆，以A 、C 为端点的弧所对的圆周

角有多少个?(至少画三个)

它们的大小有什么关系?你是如何得到的?

[生] 弧AC 所对的圆周角有无数个，它们的大小相等，我是通过度量得到的．

[师]大家想一想，我们能否用验证的方法得到上图中的∠ABC ＝∠ADC ＝∠AEC?(同学们互相交流、讨论)

[生]由图可以看出，∠ABC 、∠ADC 和∠AEC 是同弧(弧AC)所对的圆周角，根据上节课我们所学的圆周角定理可知，它们都等于圆心角∠AOC 的一半，所以这几个圆周角相等．

[师]通过刚才同学的学习，我们上面提出的问题∠A=∠D 或∠C ＝∠B 找到答案了吗?

[生]找到了，它们属于同弧所对的圆周角．由于它们都等于同弧所对圆心角的一半，这样可知∠A ＝∠D 或∠C ＝∠B ．

[师]如果我们把上面的同弧改成等弧，结论一样吗?

[生]一样，等弧所对的圆心角相等，而圆周角等于圆心角的一半，这样，我们便可得到等弧所对的圆周角相等．

[师]通过我们刚才的探讨，我们可以得到一个推论．

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．

[师]若将上面推论中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，结论成立吗?请同学们互相议一议．

[生]如图，结论不成立．因为一条弦所对的圆周角有两种可能，在弦不是直径的情况下是不相等的.

注意：(1)“同弧”指“同一个圆”．

(2)“等弧”指“在同圆或等圆中”．

(3)“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”．

[师]接下来我们看下面的问题：

如图，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角是锐角、直角，还是钝角?你是如何判断的?(同学们互相交流，讨论)

[生]直径BC所对的圆周角是直角，因为一条直径将圆分成了两个半圆，而半圆所对的圆心角是∠BOC=180°，所以∠BAC=∠90°．

[师]反过来，在图中，如果圆周角∠BAC=90°，那么它所对的弦BC经过圆心O吗?为什么?

[生]弦BC经过圆心O，因为圆周角∠BAC=90°．连结OB、OC，所以圆心角∠BOC=180°，即BOC是一条线段，也就是BC是⊙O的一条直径．[师]通过刚才大家的交流，我们又得到了圆周角定理的又一个推论：

直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

注意：这一推论应用非常广泛，一般地，如果题目的已知条件中有直径时，往往作出直径上的圆周角——直角：如果需要直角或证明垂直时，往往作出直径即可解决问题．

[师]为了进一步熟悉推论，我们看下面的例题．

[例]如图示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系?为什么?

[师生共析]由于AB是⊙O的直径，故连接AD．由推论直径所对的圆周角是直角，便可得AD⊥BC，又因为△ABC中，AC＝AB，所以由等腰三角形的二线合一，可证得BD=CD．

下面哪位同学能叙述一下理由?

[生]BD=CD．理由是：

连结AD．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°．

即AD⊥BC．

又∵AC＝AB,

∴BD＝CD．

[师]通过我们学习圆周角定理及推论，大家互相交流，讨论一下，我们探索上述问题时，用到了哪些方法?试举例说明．

[生]在得出本节的结论过程中，我们用到了度量与证明的方法，比如说在研究同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；还学到了分类与转化的方法．比如说在探索圆周角定理过程中，定理的证明应分三种情况，在这三种情况中，第一种情况是特殊情况，是证明的基础，其他两种情况都可以转化为第一种情况来解决，再比如说，学习圆周角定义时，可由前面学习列的圆心角类比得出圆周角的概念……

Ⅲ．巩固练习

1．为什么有些电影院的坐位排列(横排)呈圆弧形？说一说这种设计的合理性．