因式分解经典题及解析讲解学习

2013组卷

i •在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式) ，事

实上，除了这两种方法外，还有其它方法可以用来因式分解，比如配方法•例如，如果要因式分解X2+2X - 3时，显然既无法用提公因式法，也无法用公式法，怎么办呢？这时，我们可以采用下面的办法：

2 2 2

X +2X - 3=X +2 * XI + 1 - 1 - 3 ---------------------- ①

=(X+1 ) 2- 22-------------------- ②

=* ■ •

解决下列问题：

(1)填空：在上述材料中，运用了_ _ 的思想方法，使得原题变为可以继续用平

方差公式因式分解，这种方法就是配方法；

(2)显然所给材料中因式分解并未结束，请依照材料因式分解X2+2X - 3;

(3)请用上述方法因式分解X2-4X - 5.

2•请看下面的问题：把X4+4分解因式

分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢

19世纪的法国数学家苏菲？热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和( X2)2+ ( 22) 2的形式，要使用公式就必须添一项4X2,随即将此项4X2减去，即可得X4+4=X4+4X2+4 - 4X2=(X2+2)

2 2 2 2 2 2 2

-4X = ( X +2) -( 2X ) = ( X +2X+2 ) ( X - 2X+2 )

人们为了纪念苏菲？热门给出这一解法，就把它叫做热门定理”请你依照苏菲？热门的做法，将下列各式因式分解.

(1)x4+4y4； (2) X2- 2ax - b2- 2ab.

3. 下面是某同学对多项式(X2-4X+2 ) (X2-4X+6) +4进行因式分解的过程. 解：设X2- 4x=y

原式=(y+2) (y+6) +4 (第一步)

2

=y +8y+16 (第二步)

=(y+4) 2(第三步)

=(X2 - 4X+4 ) 2(第四步)

回答下列问题：

(1)___________________________________________________________ 该同学第二步到第三步运用了因式分解的 ________________________________________________________________ .

A、提取公因式B .平方差公式

C、两数和的完全平方公式 D .两数差的完全平方公式

(2)__________________________________________________ 该同学因式分解的结果是否彻底.(填彻底”或不彻底”)

若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 __________________________ .

(3)请你模仿以上方法尝试对多项式( X2-2X) ( X2-2X+2 ) +1进行因式分解.

4. 找出能使二次三项式x2+ax- 6可以因式分解(在整数范围内)的整数值a,并且将其进行因式分解.

5. 利用因式分解说明：两个连续偶数的平方差一定是4的倍数.

2

6•已知关于x的多项式3x +x+m因式分解以后有一个因式为(3x - 2),试求m的值并将

多项式因式分解.

7 •已知多项式(a2+ka+25)-『，在给定k的值的条件下可以因式分解•请给定一个k值

并写出因式分解的过程.

&先阅读，后解题：要说明代数式2x2+8x+10的值恒大于0还是恒等于0或者恒小于0,

我们可以将它配方成一个平方式加上一个常数的形式，再去考虑，具体过程如下：

2

解：2x +8x+10

=2 ( x2+4x+5)(提公因式，得到一个二次项系数为1的二次多项式)

=2 ( x +4x+2 - 2 +5)

=2[ (x+2) 2+1](将二次多项式配方)

2

=2 ( x+2) +2 (去掉中括号)

因为当x取任意实数时，代数式2 (x+2 ) 2的值一定是非负数，那么2 (x+2) 2+2的值一定为正数，所以，原式的值恒大于0,并且，当x= - 2时，原式有最小值2 .

请仿照上例，说明代数式- 2x2- 8x - 10的值恒大于0还是恒小于0，并且说明它的最大值

或者最小值是什么.

9•老师给学生一个多项式，甲、乙、丙、丁四位同学分别给了一个关于此多项式的描述: 甲：这是一个三次三项式；乙：三次项系数为1;

丙：这个多项式的各项有公因式；

丁：这个多项式分解因式时要用到公式法；

若已知这四位同学的描述都正确，请你构造一个同时满足这个描述的一个多项式.

10.在对某二次三项式进行因式分解时，甲同学因看错了一次项系数而将其分解为 2 (x- 1) (x - 9),而乙同学看错了常数项，而将其分解为 2 (x - 2) (x - 4),请你判断正确的二次

三项式并进行正确的因式分解.

x2+6x+10 ) ( x2+6x+8 ) +1分解因式的过程:

11 •观察李强同学把多项式(

2

解：设x +6x=y，则原式=(y+10) (y+8) +1 =y2+18y+81

=(y+9) 2

2

=(x +6x+9)

(1 )回答问题：这位同学的因式分解是否彻底？若不彻底，请你直接写出因式分解的最后

结果： _________________ •

(2)仿照上题解法，分解因式：(x2+4x+1 ) (x2+4x - 3) +4.

12・(1)写一个多项式，再把它分解因式(要求：多项式含有字母m和n,系数、次数不限, 并能先用提取公因式法再用公式法分解) •

(2)阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题：

2

1+x+x (x+1) +x (x+1) = (1+x) [1+x+x (x+1)]①

=(1+x) 2(1+x)②

=(1+x)③

①上述分解因式的方法是_____________________ ，由②到③ 这一步的根据是_______________________ ;