在数轴上表示不等式的解集常考题(详细的答案解析)
《选修4-5 不等式选讲》知识点详解+例题+习题(含详细答案)
选修4－5不等式选讲 最新考纲：1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)．(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－c|＋|x－b|≥a.3.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法． 1．含有绝对值的不等式的解法
(1)|f (x )|>a (a >0)?f (x )>a 或f (x )<－a ； (2)|f (x )|0)?－a 初一不等式难题,经典题训练（附答案） 1． 已知不等式3x-a ≤0的正整数解恰好是1，2，3，则a 的取值范围是_______ 2． 已知关于x 的不等式组0 521 x a x ->?? -≥-?无解，则a 的取值范围是_________ 3． 若关于x 的不等式(a-1)x-2 a +2>0的解集为x<2，则a 的值为（ ） A 0 B 2 C 0或2 D -1 4． 若不等式组2 20 x a b x ->?? ->?的解集为11x -<<，则2006()a b +=_________ 5． 已知关于x 的不等式组的解集41320 x x x a +?>+? ??+- 7． 不等式组951 1 x x x m +<+?? >+?的解集是2x >，则m 的取值范围是（ ） A. 2m ≤ B. 2m ≥ C. 1m ≤ D. 1m f 8.不等式()()20x x x +-<的解集是_________ 9.当a>3时，不等式ax+2<3x+b 的解集是，则b=______ 10.已知a,b 为常数，若ax+b>0的解集是1 3 x <,则的0bx a -<解集是（ ） A. 3x >- B 3x <- C. 3x > D. 3x < 11.如果关于x 的不等式组的整70 60x m x n -≥?? -? p 数解仅为1，2，3，那么适合不等式组的整数(m,n)对共 有（ ）对 A 49 B 42 C 36 D 13 12.已知非负数x,y,z 满足123 234 x y z ---==，设345x y z ω=++，求的ω最大值与最小值 数轴练习题 姓名：时间：分数：一．填空题（每空2分，共计34分） 1．数轴的三要素是指、 、 。 2．在数轴上，表示－5的数在原点的侧，它到原点的距离是个单位长度。 3．在数轴上，表示+2的点在原点的侧，距原点个单位；表示－7的点在原点的侧，距原点个单位；两点之间的距离为个单位长度。 4．在数轴上，把表示3的点沿着数轴向左移动5个单位长度，则与此位置相对应的数是。 5．与原点距离为2.5个单位长度的点有个，它们表示的有理数是。 6．到原点的距离不大于3的整数有个，它们是：。 7．在数轴上表示的两个数中，的数总比的数大。 二．选择题（每小题3分，共计36分） 1.下列图形是数轴的是（） （A）（B）（C）（D） 2.下面的数轴中正确的是（） 3．下列说法错误的是( ) A、最小自然数是0 B、最大的负整数是－1 C、没有最小的负数 D、最小的整数是0 4．下列说法错误的是（） A.没有最大的正数，却有最大的负数 B.数轴上离原点越远，表示数越大 C.0大于一切非负数 D.在原点左边离原点越远，数就越小 5.在数轴上，原点左边的点表示的数是( ) A、正数 B、负数 C、非正数 D、非负数 6. 有一只小蚂蚁以每秒2个单位长度的速度从数轴上－4的点A出发向右爬行3秒到达B点，则B点表示的数是 （） A、2 B、－4 C、6 D、－6 7．点A 为数轴上表示－2的动点，当点A 沿数轴移动4个单位长到B时，点B所表示的实数是（） A.1 B.－６Ｃ.２或－６Ｄ.不同于以上答案 －1 0 1 1 2 3 －1 0 1 0 1 2 A．B．C．D． 8.下列结论正确的有（ ）个 A.0 B.1 C.2 D.3 ① 规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴 ② 最小的整数是0 ③ 正数，负数和零统称有理数 ④ 数轴上的点都表示有理数 9.在数轴上，原点及原点左边的点所表示的数是（ ） A ．正数 B ．负数 C ．非负数 D ．非正数 10.与原点距离是2．5个单位长度的点所表示的有理数是（ ） A ．2．5 B ．-2．5 C ．±2．5 D ．这个数无法确定 11.关于-32这个数在数轴上点的位置的描述，正确的是（ ） A ．在-3的左边 B ．在3的右边 C ．在原点与-1之间 D ．在-1的左边 12.点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位长度，再向右移动6个单位长度，这个点最终所对应的数是（ ） A ．+6 B ．-3 C ．+3 D ．-9 三．解答题（每小题10分） 1. 指出图所示的数轴上A 、B 、C 、D 、E 各点分别表示的有理数． 2.在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“ ＜ ”把这些数连结起来。 3．5 ，－3.5 ，0 ， 2 ，－2 ，－31 ， 0.5 3.在数轴上画出下列各点，它们分别表示：+3， 0， －３1 4， 11 2，－1.25并把它们用“＜”连接起来。 不等式选讲习题 1.（2014全国新课标I 卷）若0,0,a b >>且 11a b += （I ）求33a b +的最小值； （II ）是否存在,,a b 使得236?a b +=并说明理由. 2.（2014全国新课标II 卷）设函数1()(0).f x x x a a a =++-> （I ）证明：()2;f x ≥ （II ）若(3)5,f <求a 的取值范围. 3.（2013全国新课标I 卷）已知函数()212,() 3.f x x x a g x x =-++=+ （I ）当2a =-时，求不等式()()f x g x <的解集； （II ）设1,a >-且当1,22a x ??∈-??? ?时，()()f x g x ≤，求a 的取值范围. 4.（2013全国新课标II 卷）设,,a b c 均为正数，且1,a b c ++=证明： （I ）1;3 ab bc ac ++≤ （II ）222 1.a b c b c a ++≥. 5.（2012全国新课标卷）已知函数() 2.f x x a x =++- （I ）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集； （II ）若()4f x x ≤-的解集包含[]1,2，求a 的取值范围. 6.（2011全国新课标卷）设函数 ()3f x x a x =-+，其中0a >. （I ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集； （II ）若不等式()0f x ≤的解集为{|1},x x ≤-，求a 的值. 7.（2015第一次省统测）已知a 是常数，对任意实数x ，不等式|2||1||2||1|x x a x x -++≤≤--+都成立. （I ）求a 的值； （II ）设,0>>n m 求证：.22122 2a n n mn m m +≥+-+ 含绝对值的不等式解法·典型例题 能力素质 例1 不等式|8－3x|＞0的解集是 [ ] A B R C {x|x } D {83 } ．．．≠．?8 3 分析∵－＞，∴－≠，即≠． |83x|083x 0x 8 3 答 选C ． 例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是 [ ] A ．3 B ．2 C ．－2 D ．－5 分析 列出不等式． 解 根据题意得2＜|x|≤5． 从而－5≤x ＜－2或2＜x ≤5，其中最小整数为－5， 答 选D ． 例3 不等式4＜|1－3x|≤7的解集为________． 分析 利用所学知识对不等式实施同解变形． 解 原不等式可化为4＜|3x －1|≤7，即4＜3x －1≤7或－7 ≤－＜－解之得＜≤或－≤＜－，即所求不等式解集为 －≤＜－或＜≤． 3x 14x 2x 1{x|2x 1x }538 3 538 3 例4 已知集合A ＝{x|2＜|6－2x|＜5，x ∈N}，求A ． 分析 转化为解绝对值不等式． 解 ∵2＜|6－2x|＜5可化为 2＜|2x －6|＜5 即－＜－＜，－＞或－＜－，52x 652x 622x 62??? 即＜＜，＞或＜，12x 112x 82x 4??? 解之得＜＜或＜＜．4x x 21121 2 因为x ∈N ，所以A ＝{0，1，5}． 说明：注意元素的限制条件． 例5 实数a ，b 满足ab ＜0，那么 [ ] A ．|a －b|＜|a|＋|b| B ．|a ＋b|＞|a －b| C ．|a ＋b|＜|a －b| D ．|a －b|＜||a|＋|b|| 分析 根据符号法则及绝对值的意义． 解 ∵a 、b 异号， ∴ |a ＋b|＜|a －b|． 答 选C ． 例6 设不等式|x －a|＜b 的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ，b 的值为 [ ] A ．a ＝1，b ＝3 B ．a ＝－1，b ＝3 C ．a ＝－1，b ＝－3 D a b ．＝，＝123 2 分析 解不等式后比较区间的端点． 解 由题意知，b ＞0，原不等式的解集为{x|a －b ＜x ＜a ＋b}，由于解集又为{x|－1＜x ＜2}所以比较可得． a b 1a b 2 a b －＝－＋＝，解之得＝，＝．?? ?123 2 答 选D ． 说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组． 例7 解关于x 的不等式|2x －1|＜2m －1(m ∈R) 分析 分类讨论． 解若－≤即≤，则－＜－恒不成立，此时原不等 2m 10m |2x 1|2m 11 2 式的解集为；? 若－＞即＞，则－－＜－＜－，所以－＜2m 10m (2m 1)2x 12m 11m 1 2 x ＜m ． 一元一次不等式典型例题 类型一：一元一次不等式的解集问题 1.若不等式﹣3x+n＞0的解集是x＜2，则不等式﹣3x+n＜0的解集是． 2.已知实数x、y满足2x﹣3y=4，并且x≥﹣1，y＜2，现有k=x﹣y，则k的取值范围是． 3.关于x的一元一次不等式≤﹣2的解集为x≥4，则m的值为________ 4.若关于x的一元一次方程x﹣m+2=0的解是负数，则m的取值范围是_______类型二：一元一次不等式组无解的情况 1.若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是． 2.已知不等式组无解，则a的取值范围是 3.已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是 类型三：明确一元一次不等式组的解集求范围 1.若不等式的解集为x＞3，则a的取值范围是 2.若关于x的不等式的解集为x＜2，则a的取值范围是． 3.若关于x的一元一次不等式组的解集是x＜5，则m的取值范围是________ 4.若不等式组的解集为﹣1＜x＜1，那么（a+1）（b﹣1）的值等于 5.已知不等式组的解集为﹣1＜x＜2，则（m+n）2008= 类型四：一元一次不等式组有解求未知数的范围 1.若有解，则a的取值范围是 2.若关于x的不等式组有实数解，则a的取值范围是 3._______ 类型五：一元一次不等式组有整数解求范围 1.不等式组有3个整数解，则m的取值范围是． 2．不等式组有3个整数解，则m的取值范围是． 3.已知关于x的不等式组仅有三个整数解，则a的取值范围是． 4.关于x的不等式组的所有整数解的和是﹣7，则m的取值范围是． 5.关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则正数a的最小值是______ 6.已知关于x的不等式组恰好有两个整数解，求实数a的取值范围． 7.已知关于x的不等式组有四个整数解，求实数a的取值范围． 解不等式典型例题答案 例1 解：（1）原不等式可化为 0)3)(52(>-+x x x 把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,2 5 ,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分． ∴原不等式解集为? ?????><<-3025x x x 或 （2）原不等式等价于 ???>-<-≠????>-+≠+?>-++2 450)2)(4(0 50 )2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{} 2455>-<<-- 2 12 1 310 2730132027301320 )273)(132(222222><<+->+-?>+-+-?x x x x x x x x x x x x x x x 或或或 ∴原不等式解集为),2()1,2 1 ()31,(+∞??-∞。 解法二：原不等式等价于 0) 2)(13() 1)(12(>----x x x x 0)2()13)(1)(12(>-?---?x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为),2()1,2 1()31,(+∞??-∞ 例3解法一：原不等式?? ???+<-<-?????+<-≥-?240 424042 222x x x x x x 或 即?? ?>-<<<-?? ?<<--≤≥1 22 2222x x x x x x x 或或或[来源学科网Z|X|X|K] ∴32<≤x 或21< 一．不等式的性质： 二．不等式大小比较的常用方法： 1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法 ；8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。 三．重要不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2≥+ (2)若R b a ∈,，则2 22b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）; 若0x <，则1 2x x + ≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2 (2 22b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求 它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 5.a 3+b 3+c 3≥3abc （a,b,c ∈ R +）, a +b +c 3 ≥3abc （当且仅当a =b =c 时取等号）； 6. 1 n (a 1+a 2+……+a n )≥12n n a a a (a i ∈ R +,i=1,2,…，n)，当且仅当a 1=a 2=…=a n 取等号； 变式：a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca; ab ≤( a +b 2 )2 (a,b ∈ R +) ; abc ≤( a +b +c 3 )3(a,b,c ∈ R +) a ≤ 2a b a +b ≤ab ≤ a +b 2 ≤ a 2+b 2 2 ≤b.(0b>n>0,m>0; 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 七年级上册数学数轴练习题及答案 导读：知识需要不断地积累，通过做练习才能让知识掌握的更加扎实，下面是为大家提供了数轴练习题，欢迎阅读。 一、选择题 1.下列是几个同学画的数轴，请你判断其中正确的是 2.下列说法正确的是() A.没有最大的正数，却有最大的负数 B.数轴上离原点越远，表示数越大 C.0大于一切非负数 D.在原点左边离原点越远，数就越小 3.下列说法正确的是() A.数轴上一个点可以表示两个不同的有理数 B.表示-P的点一定在原点的左边 C.在数轴上表示-8的点与表示+2的点的距离是6 D.数轴上表示-的点，在原点左边，距原点个单位长度。 4.如图所示，点M表示的数是() A.2.5 B. C. D.2.5 5.下列结论正确的有()个： ①规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴②最小的整数是0③正数，负数和零统称有理数④数轴上的点都表示有理数 A.0B.1C.2D.3 7.在数轴上，A点和B点所表示的数分别为-2和1，若使A点表示的数是B点表示的数的3倍，应把A点() A.向左移动5个单位 B.向右移动5个单位 C.向右移动4个单位 D.向左移动1个单位或向右移动5个单位 8.点A为数轴上表示-2的动点，当点A沿数轴移动4个单位长到B 时，点B所表示的实数是() A.1 B.-6 C.2或-6 D.不同于以上答案 二、填空题 9.在数轴上表示的两个数中，的数总比的数大。 10.在数轴上，表示-5的数在原点的侧，它到原点的距离是个单位长度。 11.在数轴上，表示+2的点在原点的侧，距原点个单位;表示-7的点在原点的 侧，距原点个单位;两点之间的距离为个单位长度。 12.在数轴上，把表示3的点沿着数轴向负方向移动5个单位，则与此位置相对应的数是。 13.与原点距离为2.5个单位长度的点有个，它们表示的有理数是。 14.到原点的距离不大于3的整数有个，它们是：。 15.数轴上表示-7与-3的两个点之间的距离是个单位长度。 16.在数轴上的点A,B分别表示-1和-3，点C是线段AB的中点，则点C表示的数是 不等式的解法·典型例题 【例1】?(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0． 【例2】?解下列不等式： 【例3】?解下列不等式 【例4】?解下列不等式： 【例5】?|x 2-4|＜x+2． 【例6】?解不等式1)123(log 2122<-+-x x x ． 不等式·典型例题参考答案 【例1】?(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0． 【分析】?如果多项式f(x)可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞0(或f(x)＜0)可用“区间法”求解，但要注意处理好有重根的情况． 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3＞0 ∴原不等式解集为｛x|x ＜-5或-5＜x ＜-4或x ＞2｝． 【说明】?用“穿针引线法”解不等式时应注意： ①各一次项中x 的系数必为正； ②但注意“奇穿偶不穿”．其法如图(5－2)． 【例2】?解下列不等式： 解：(1)原不等式等价于 用“穿针引线法” ∴原不等式解集为(-∞，-2)∪〔-1，2)∪〔6，+∞)． （2） 【例3】?解下列不等式 解：(1)原不等式等价于 ∴原不等式解集为｛x|x ≥5｝． (2)原不等式等价于 【说明】?解无理不等式需从两方面考虑：一是要使根式有意义，即偶次根号下被开数大于或等于零；二是要注意只有两边都是非负时，两边同时平方后不等号方向才不变． 【例4】?解下列不等式： 解：(1)原不等式等价于 令2x =t(t ＞0)，则原不等式可化为 (2)原不等式等价于 ∴原不等式解集为(-1，2〕∪〔3，6)． 【例5】?|x 2-4|＜x+2． 解：原不等式等价于-(x+2)＜x 2-4＜x+2． 故原不等式解集为(1，3)． 这是解含绝对值不等式常用方法． 【例6】?解不等式1)123(log 2122<-+-x x x ． 解：原不等式等价于 (1)当a ＞1时，①式等价于 ② (2)当0＜a ＜1时，②等价于 ③ 解不等式的方法归纳 (总5页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 -CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除 解不等式的方法归纳 一、知识导学 1. 一元一次不等式ax>b (1)当a>0时，解为a b x >； (2)当a ＜0时，解为a b x <； (3)当a ＝0，b ≥0时无解；当a ＝0，b ＜0时，解为R ． 2. 一元二次不等式：(如下表)其中a ＞0，x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0 的两实根，且x 1＜x 2(若a ＜0，则先把它化正，之后跟a ＞0的解法一样) 3.简单的一元高次不等式：可用区间法(或称根轴法)求解，其步骤是： ①将f(x)的最高次项的系数化为正数； ②将f(x)分解为若干个一次因式的积； ③将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线； ④根据曲线显示出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集. 4.分式不等式：先整理成 )()(x g x f ＞0或)()(x g x f ≥0的形式，转化为整式不等式求解，即： ) ()(x g x f ＞0?f(x)·g(x)＞0 ) ()(x g x f ≥0?0)x (g )x (f 0)x (g 0)x (f ＞或????≠= 然后用“根轴法”或化为不等式组求解. 类型 解集 ax 2+bx+c ＞0 ax 2+bx+c ≥0 ax 2+bx+c ＜0 ax 2+bx+c ≤0 Δ＞0 {x ｜x ＜x 1或x ＞ x 2} {x ｜x ≤x 1或x ≥x 2} {x ｜x 1＜x ＜x 2} ｛x ｜x 1≤x ≤x 2｝ Δ＝0 {x ｜x ≠-a b 2，x ∈R} R Ф ｛x ｜x=-a b 2｝ Δ＜0 R R Φ Φ a a c §2．2 数轴 一、选择题 1．图1中所画的数轴，正确的是（ ） -1A 21 5 4 3B -1210C D 2．在数轴上，原点及原点左边的点所表示的数是（ ） A ．正数 B ．负数 C ．非负数 D ．非正数 3．与原点距离是2．5个单位长度的点所表示的有理数是（ ） A ．2．5 B ．-2．5 C ．±2．5 D ．这个数无法确定 4．关于-3 2 这个数在数轴上点的位置的描述，正确的是（ ） A ．在-3的左边 B ．在3的右边 C ．在原点与-1之间 D ．在-1的左边 5．一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位长度，再向右移动6个单位长度，这个点最终所对应的数是（ ） A ．+6 B ．-3 C ．+3 D ．-9 6．不小于-4的非正整数有（ ） A ．5个 B ．4个 C ．3个 D ．2个 7．如图所示，是数a ，b 在数轴上的位置，下列判断正确的是（ ） A ．a<0 B ．a>1 C ．b>-1 D ．b<-1 二、填空题 1．数轴的三要素是_____________． 2．数轴上表示的两个数，________边的数总比________边的数大． 3．在数轴上表示数6的点在原点_______侧，到原点的距离是_______个单位长度，表示数-8的点在原点的______侧，到原点的距离是________个单位长度．表示数6的点到表示数-8的点的距离是_______个单位长度． 4．有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，用“<”将a ，b ，?c?三个数连接起来________． 5．大于-3．5小于4．7的整数有_______个． 6．用“>”、“<”或“＝”填空． （1）-10______0；（2）32________-23；（3）-110 _______-1 9；（4） -1．26________11 4 ； （5） 23________-12；（6）- _______3．14；（7）-0．25______-1 4 ；（8） -14________15 ． 7．在数轴上到表示-2的点相距8个单位长度的点表示的数为_________． 三、解答题 1．画出数轴并标出表示下列各数的点，并用“〈”把下列各数连接起来． 不等式 一．不等式的性质： 1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a bc d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-）， 但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； 2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若 0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则 a b c d >）； 3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >> 4．若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11 a b >。如 （1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题： ①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22； ③22,0b ab a b a >><<则若； ④b a b a 11,0<<<则若； ⑤b a a b b a ><<则 若,0； ⑥b a b a ><<则若,0； ⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11 ,a b a b >>若，则0,0a b ><。 其中正确的命题是______ （答：②③⑥⑦⑧）； （2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______ （答：137x y ≤-≤）； （3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则 a c 的取值范围是______ （答：12,2??-- ??? ） 二．不等式大小比较的常用方法： 1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法； 5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ； 8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如 （1）设0,10>≠>t a a 且，比较 2 1log log 21+t t a a 和的大小 （答：当1a >时，11log log 22a a t t +≤（1t =时取等号）；当01a <<时，11 log log 22 a a t t +≥（1t =时取等号））； （2）设2a >，12 p a a =+-，2 422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小 （答：p q >）； （3）比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小 （答：当01x <<或43x >时，1+3log x ＞2log 2x ；当413x <<时，1+3log x ＜2log 2x ；当4 3 x =时，1+3 log x ＝2log 2x ） 三．利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针。如 数轴测试题及参考答案 数轴测试题及答案 1.判断题 (1)直线就是数轴( ) (2)数轴是直线( ) (3)任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示( ) (4)数轴上到原点距离等于3的点所表示的数是+3( ) (5)数轴上原点左边表示的数是负数，右边表示的数是正数，原点表示的数是0.( ) 2.画一条数轴，并画出表示下列各数的点 -5，0，+3.2，-1.4 3.在下图中，表示数轴正确的是( ). 4.思考题： ①在数轴上距原点3个单位长度的点表示的数是_____________ ②在数轴上表示-6的点在原点的___________侧，距离原点___________个单位长度，表示+6的点在原点的__________侧，距离原点____________个单位长度. 5.下列各小题先分别画出数轴，然后在数轴上画出表示大括号内的一组数的点： (1){-5，2，-1，-3，0｝; (2){-4，2.5，-1.5，3.5｝; ◆典例分析 在数轴上，点A表示-1，与点A相距3个单位长度的点B 所表示的数为___________ 解析：造成错解的原因是只考虑了点A右侧的情况，没考虑左侧，点B 的位置有两种可能，在A 点左侧相距3个单位长度的点是-4，在右侧相距3个单位长度的点是2. ◆课下作业 ●拓展提高 1.下列说法错误的是( ) A、最小自然数是0 B、最大的负整数是-1 C、没有最小的负数 D、最小的整数是0 2.在数轴上，原点左边的点表示的数是( ) A、正数 B、负数 C、非正数 D、非负数 3.有一只小蚂蚁以每秒2个单位长度的速度从数轴上-4的点A出发向右爬行3秒到达B点，则B点表示的数是( ) A、2 B、-4 C、6 D、-6 4.数轴的三要素是指、、 5. 文具店、书店和玩具店依次座落在一条南北走向的大街上,?文具店在书店北边20m处,玩具店位于书店南边100m处.小明从书店沿街向南走了40m,?接着又向南走了-60m,此时小明的位置在 . 6.数轴上表示整数的点称为整点.某数轴的单位长度是1 不等式选讲专题答案 1.（2020?全国1卷）已知函数()|31|2|1|f x x x =+--． （1）画出()y f x =的图像； （2）求不等式()(1)f x f x >+的解集． 2.（2020?全国2卷）已知函数2 ()|21|f x x a x a =-+-+. （1）当2a =时，求不等式()4f x 的解集； （2）若()4f x ，求a 的取值范围. 3.（2020?全国3卷）设a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1． （1）证明：ab ＋bc ＋ca ＜0； （2）用max {a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max {a ，b ，c } 4.（2020?江苏卷）设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤． 不等式选讲专题答案 1.（2020?全国1卷）已知函数()|31|2|1|f x x x =+--． （1）画出()y f x =的图像； （2）求不等式()(1)f x f x >+的解集． 【答案】（1）详解解析；（2）7,6? ?-∞- ??? . 【解析】（1）根据分段讨论法，即可写出函数()f x 的解析式，作出图象； （2）作出函数()1f x +的图象，根据图象即可解出． 【详解】（1）因为()3,1151,1313,3x x f x x x x x ??+≥??=--< （2）将函数()f x 的图象向左平移1个单位，可得函数()1f x +的图象，如图所示： 由()3511x x --=+-，解得76x =-．所以不等式()(1)f x f x >+的解集为7,6??-∞- ?? ?． 【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题． 2.（2020?全国2卷）已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+. （1）当2a =时，求不等式()4f x 的解集； （2）若()4f x ，求a 的取值范围. 【答案】（1）32x x ? ≤??或112x ?≥??；（2）(][),13,-∞-+∞. 【解析】（1）分别在3x ≤、34x <<和4x ≥三种情况下解不等式求得结果； （2）利用绝对值三角不等式可得到()()2 1f x a ≥-，由此构造不等式求得结果. 【详解】（1）当2a =时， ()43f x x x =-+-. 当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：3 2x ≤； 当34x <<时， ()4314f x x x =-+-=≥，无解； 不等式经典题型专题练习（含答案） 姓名：__________ 班级：___________ 一、解答题 1．解不等式组： ()13x 2x 11{ 2 5233x x -+≤-+≥-，并在数轴上表示不等式组的解集． 2．若不等式组21 { 23x a x b -<->的解集为-1 3．已知关于x ，y 的方程组?? ?=+=+3135y x m y x 的解为非负数，求整数m 的值． 4．由方程组212x y x y a +=?? -=?得到的x 、y 的值都不大于1，求a 的取值范围． 5．解不等式组： 并写出它的所有的整数解． 6．已知关于x、y的方程组 521118 23128 x y a x y a +=+ ? ? -=- ? 的解满足x＞0，y＞0，求实数a的取 值范围． 6．求不等式组 x20 x 1x3 2 -> ? ? ? +≥- ?? 的最小整数解． 7．求适合不等式﹣11＜﹣2a﹣5≤3的a的整数解． 8．已知关于x的不等式组3的整数解共有5个，求a的取值范围． 9．若二元一次方程组 2 { 24 x y k x y -= += 的解x y >，求k的取值范围. 10．解不等式组 5134 1 2 2 x x x x ->- ? ? ? -- ??≤ 并求它的整数解的和． 23 x y m +=- ?① 12．解不等式组?? ???<+-+≤+12312)2(352x x x x ，把不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的非负整数集. 14．若方程组2225x y m x y m +=+??-=-? 的解是一对正数，则： （1）求m 的取值范围 （2）化简：42 m m -++ 不等式解法15种典型例题 例1 解不等式：（1）01522 3>--x x x ；（2）0)2()5)(4(3 2 <-++x x x ． 分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或0)( 《数轴》同步练习及答案 一 夯实基础 1、 画出数轴并表示出下列有理数：.0,3 2,29,5.2,2,2,5.1--- 2、 下列数轴的画法正确的是（ ） 3、 在数轴上表示-4的点位于原点的 边，与原点的距离是 个单位长度。 4、 比较大小，在横线上填入“＞”、“＜”或“=”。 1 0；0 -1；-1 -2； -5 -3；-2.5 2.5. 二、拓展提高 1、 数轴上与原点距离是5的点有 个，表示的数是 。 2、 已知x 是整数，并且-3＜x ＜4，那么在数轴上表示x 的所有可能的数值有 。 3、 在数轴上，点A 、B 分别表示-5和2，则线段AB 的长度是 。 4、 从数轴上表示-1的点出发，向左移动两个单位长度到点B ，则点B 表示的数是 ， 再向右移动两个单位长度到达点C,则点C 表示的数是 。 5、 数轴上的点A 表示-3，将点A 先向右移动7个单位长度，再向左移动5个单位长度，那 么终点到原点的距离是 个单位长度。 6、 在数轴上P 点表示2，现在将P 点向右移动两个单位长度后再向左移动5个单位长度， 这时P 点必须向 移动 个单位到达表示-3的点。 三、体验中考 1、（太原）在数轴上表示-2的点离开原点的距离等于（ ） A 、2 B 、-2 C 、±2 D 、4 2、（广州）有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则a 、b 的大小关系是（ ） A 、a ＜b B 、a C 、a=b D (原题是实数a ，b ，现改为有理数a ，b) 0 1 D 参考答案一、夯实基础（本节练习需要画数轴帮助分析） 1、画数轴时，数轴的三要素要包括完整。图略。 2、C，考察数轴的三要素。 3、左，4 4、＞＞＞＜＜ 二、拓展提高 1、两个，±5 2、-2，-1，0，1，2，3 3、7 4、-3，-1 5、1 6、左，2 三、体验中考 1、A 2、B 《数轴》同步练习 一、基础巩固题： 1．在数轴上表示的两个数中，的数总比的数大。 2．在数轴上，表示－5的数在原点的侧，它到原点的距离是个单位长度。3．在数轴上，表示+2的点在原点的侧，距原点个单位；表示－7的点在原点的侧，距原点个单位；两点之间的距离为个单位长度。 4．在数轴上，把表示3的点沿着数轴向负方向移动5个单位，则与此位置相对应的数是。 5．与原点距离为2.5个单位长度的点有个，它们表示的有理数是。 6．到原点的距离不大于3的整数有个，它们是：。 7．下列说法正确的是（） A．没有最大的正数，却有最大的负数 B．数轴上离原点越远，表示数越大 C．0大于一切非负数 D．在原点左边离原点越远，数就越小 8．下列结论正确的有（）个： ①规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴；②最小的整数是0；③正数，负数和零统称有理数；④数轴上的点都表示有理数. A．0 B．1 C．2 D．3 9．在数轴上，A点和B点所表示的数分别为－2和1，若使A点表示的数是B点表示的数的3倍，应把A点（） A．向左移动5个单位 B．向右移动5个单位 C．向右移动4个单位 D．向左移动1个单位或向右移动5个单位 10．在数轴上画出下列各点，它们分别表示：+3，0，－31 4 ，1 1 2，－3，－1.25，并把它 们用“＜”连接起来。(完整版)初一不等式难题-经典题训练(附答案)
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