一元一次不等式知识点及典型例题

一元一次不等式知识点及典型例题宿州市第二初级中学 陆连荣个整式，不等号的方向不变。

③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。

一元一次不等式④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。

考点一、不等式的概念 （3 分）7、不等式的解集：1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。

①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值， ②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

都叫做这个不等式的解。

③求不等式解集的过程叫做解不等式。

3、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这 知识点与典型基础例题个不等式的解集。

一 不等式的概念：4、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

例 判断下列各式是否是一元一次不等式？5、用数轴表示不等式的方法 考点二、不等式基本性质 （3~5 分）-x≥5 2x-y＜02x 34x 5x22 x531、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

二 不等式的解 ：2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

三 不等式的解集：3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

例 判断下列说法是否正确，为什么？4、说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改 X=2 是不等式 x+3＜2 的解。

X=2 是不等式 3x＜7 的解。

变。

②如果不等式乘以 0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么不等式 3x＜7 的解是 x＜2。

X=3 是不等式 3x≥9 的解就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为 0，四 一元一次不等式：否则不等式不成立；例 判断下列各式是否是一元一次不等式考点三、一元一次不等式 （6--8 分） 1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是 1，且－ｘ＜５ ２ｘ－ｙ＜０2x 3x22 x5≥３ｘ不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。

例 五．不等式的基本性质问题2、解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5） 例 1 指出下列各题中不等式的变形依据将 x 项的系数化为 1 考点四、一元一次不等式组（8 分）1）由 3a>2 得 a> 232) 由 3+7>0 得 a>-71、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不 等式组。

3）由-5a<1得a>-1 54)由 4a>3a+1 得 a>12、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。

例 2 用>”或<”填空，并说明理由3、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

4、当任何数 x 都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。

如果 a<b 则 1）a-2( )b-22）-a 2-b 23)-3a-5( )-3b-55、一元一次不等式组的解法例 3 把下列不等式变成 x>a x<a 的形式。

（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集 （2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。

X+4>75x<1+4x-4 5x>-12x+5<4x-26、不等式与不等式组例 4 已知实数 a/b/c/在数轴上的对应点如图，则下列式子正确的是（ ）不等式：①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。

②不等式的两边都加上或减去同一1 / 17一元一次不等式知识点及典型例题A cb>ab B ac>ab C cb<ab D c+b<a+bxab已知关于ｘ的不等式组{2 xa2b1的解集为３≤ｘ＜５，求a b的值。

例５ 当０＜ｘ＜１时ｘ２，ｘ， 1 ，之间的大小关系是x例 将下列不等式的解集在数轴上表示出来。

。

题型三 确定方程或不等式中的字母取值范围 例 ｋ为何值时方程５ｘ－６＝３（ｘ＋ｋ）的值是非正数X≥2x＜12 3x＜3 的非负整数解-11 3x21 2六 在数轴上表示不等式的解集：例 解下列不等式并把解集在数轴上表示出来2x+3＜3x+2-3x+2≤5- 1 x ≠2 3x 5 1 3x 223已知关于 x 的方程 3k－5x＝－9 的解是非负数，求 k 的取值范围已知在不等式３ｘ－ａ≤０的正整数解是１，２，３，求ａ的取值范围。

4x3yk 若方程组{ 2x3 y 5 的解中 x>y，求 K 的范围。

8-2(x+2)＜4x-23-x 1 423( x1) 8５－ｘ＋x 3＜１－2 x3 2x 1 3如果关于 x 的方程 x+2m-3=3x+7 的解为不大于 2 的非负数，求 m 的范围。

题型一：求不等式的特殊解 例１） 求 x+3＜6 的所有正整数解若|2a+3|＞2a+3,求 a 的范围。

若（a+1）x＞a+1 的解是 x＜1,求 a 的范围。

２）求 10-4（x-3）≥2（x-1）的非负整数解，并在数轴上表示出来。

３）求不等式3 x 210的非负整数解。

４）设不等式２ｘ－ａ≤０只有３个正整数解，求正整数 题型二：不等式与方程的综和题 例 关于Ｘ的不等式２ｘ－ａ≤－１的解集如图，求ａ的取值范围。

x 8 4 x 1若{ x a的解集为＞３，求ａ的取值范围。

已知关于 x 的方程ｘ－2xm 32x 3的解是非负数，ｍ是正整数，求ｍ的值。

9xa0 如果{ 8 x b 0 的整数解为１、２、３，求整数ａ、ｂ的值。

x 95 x 1 不等式组{ x m 1 的解集是ｘ＞２，则ｍ的取值范围是？5 x3 y31 若关于Ｘ、Ｙ的二元一次方程组{ xy p0 的解是正整数，求整数Ｐ的值。

题型五 求最小值问题例x 取什么值时，代数式5x4 6的值不小于7 81 x 3的值，并求出 X的最小值。

题型六 不等式解法的变式应用 例 根据下列数量关系，列不等式并求解 。

2 / 17一元一次不等式知识点及典型例题X 的 1 与 x 的 2 倍的和是非负数。

C 与 4 的和的 30﹪不大于-2。

3X 除以 2 的商加上 2，至多为 5。

A 与 b 两数和的平方不可能大于 3。

例 ｘ取何值时，２（ｘ－２）－（ｘ－３）－６的值是非负数？A、B、C、D、例ｘ取哪些非负整数时，3x2 5的值不小于2x 3与１的差。

把不等式组的解集表示在数轴上正确的是（ ）题型七 解不定方程 例 求方程４ｘ＋ｙ－２０＝０的正整数解。

x2a 已知{ x 3a 2 无解，求ａ的取值范围。

题型八 比较两个代数式值的大小 例 已知Ａ＝ａ＋２，Ｂ＝ａ２－ａ＋５，Ｃ＝ａ２＋５ａ－１９，求Ｂ与Ａ，Ｃ与Ａ的大 小关系答案：C 不等式题型九 不等式组解的分类讨论ax4..83ax 例 解关于ｘ的不等式组{ (a2) x2..2(1a) x4Ａ． 若不等式组的解集是（ ） Ｂ．Ｃ．Ｄ．有实数解，则实数 的取值范围是（ ）答案：C8、常见题型一、选择题在平面直角坐标系中，若点 P(m－3，m＋1)在第二象限，则 m 的取值范围为( )A．－1＜m＜3B．m＞3C．m＜－１ D．m＞－１ 答案：AA．B．C．D．若，则的大小关系为（ ）A．B．C．D．不能确定不等式—x—5≤0 的解集在数轴上表示正确的是（）已知关于 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是（ ）A．B．C．D．四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为 P、Q、R、S，如图 3 所示，关系是（ D ）答案：D 则他们的体重大小答案：B3 / 17答案：A 答案：A一元一次不等式知识点及典型例题不等式＜的正整数解有()A．a＞c＞bB．b＞a＞cC．a＞b＞c（A）1 个（B）2 个（C）3 个（D）4 个 答案：C答案：C把某不等式组中两个不等式的解集表示在数轴上，如图所示，则这个不等式组可能是（ ）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）A．B．C．D．D．c＞a＞b不等式组 A．不等式组答案：B，的解集是（ ）B．C．D．无解 答案：C的解集在数轴上可表示为（ ）ABCD答案：D实数 在数轴上对应的点如图所示，则 ， ， 的大小关系正确的是（ ）答案：C 把不等式组的解集表示在数轴上，正确的为图 3 中的（ ）A． 答案：B用B．C．D．表示三种不同的物体，现放在天平上比较两次，情况如图所示，那么这三种物体按质量从大到小的顺序排列应为（ ）A．B．C．D．答案：D如图，a、b、c 分别表示苹果、梨、桃子的质量．同类水果质量相等，则下列关系正确的是（）答案：A4 / 17不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）一元一次不等式知识点及典型例题不等式组的解集为． 答案：不等式组的整数解的个数为． 答案：4答案：A 在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（ ）6.已知关于 的不等式组的整数解共有 3 个，则 的取值范围是．答案： 9.不等式组的解集是． 答案：10．直线 于 的不等式与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关的解集为．答案：A 二、填空题已知 3x+4≤6+2(x-2),则的最小值等于________. 答案：1如图，已知函数 解集为和 ．的图象交点为 ，则不等式答案：答案： <-1 的 13.已知不等式组三、简答题解不等式组的解集为－1＜x＜2，则(m＋n)2008＝__________．答案：1解：解不等式（1），得5 / 17． 解不等式（2），得．原不等式组的解是．一元一次不等式知识点及典型例题解不等式组并写出该不等式组的最大整数解.解：解不等式 x+1＞0,得 x＞-1 ∴不等式得解集为-1＜x≤2解不等式 x≤，得 x≤2∴该不等式组的最大整数解是 2当 在 的左边时，如图（2），易知．原不等式的解为或（3）原问题转化为： 大于或等于当时，，最大值．若不等式组的整数解是关于 x 的方程的当，随 的增大而减小，根，求 a 的值。

解：解不等式得解方程当 ，则整数解 x=-2 代入方程得 a=4。

故 。

由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与 1 和－2时， ．，即的最大值为 7．的距离之和为 5 的点对应的 x 的值。

在数轴上，1 和－2 的距离为 3，满足方程的 x 对 应点在 1 的右边或－2 的左边，若 x 对应点在 1 的右边，由图（17）可以看出 x＝2；同 理，若 x 对应点在－2 的左边，可得 x＝－3，故原方程的解是 x=2 或 x=－3解不等式组并把解集表示在下面的数轴上.参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程的解为（2）解不等式≥9；（3）若≤a 对任意的 x 都成立，求 a 的取值范围解：（1）1 或 ． （2） 和 的距离为 7，因此，满足不等式的解对应的点 3 与 的两侧．当 在 3 的右边时，如图（2）， 易知．解：的解集是： 的解集是：所以原不等式的解集是：………………………………………（3 分）解集表示如图…………………………………………………………………（5 分）解不等式组 解：6 / 17由不等式（1）得： <5 由不等式（2）得： ≥3所以：5＞x≥3解不等式组：并判断一元一次不等式知识点及典型例题所有整数解的和是：是否满足该不等式组．解：原不等式组的解集是：，满足该不等式组．解不等式 3x-2<7,将解集在数轴上表示出来,并写出它的正整数解．解：3x-2<7 3x<7+2 3x<9 x<3解不等式组，并写出它的所有整数解.解：解不等式组并求出所有整数解的和．解：解不等式①，得，解不等式②，得．原不等式组的解集是．则原不等式组的整数解是．7 / 17不等式复习 1 一：知识点回顾 1、一元一次不等式（组）的定义： 2、一元一次不等式（组）的解集、解法： 3、求不等式组的解集的方法 ： 若 a＜b，一元一次不等式知识点及典型例题3、若不等式组 x x 4, a的解集是4xa，则a的取值范围是________．4、若 0 a 1，则 a 2 、 1 、 a 之间的大小关系是________． a5、如果一元一次方程 2x 5k x 4 的解是正数，那么 k 的取值范围是________．6、如图，直线 y kx b 经过点 A(1， 2) 和点 B(2，0) ，直线 y 2x 过点 A，则不等式 2x kx b 0 的解集为（ ）A． x 2B． 2 x 1D． 1 x 0yC． 2 x 0BOxA当当 解）时，x＞b；（同大取大）当时，a＜x＜b；（大小小大取中间）时，x＜a；（同小取小）7、不等式组的解集为 x＜2，试求 k 的取值范围______8、由 x＞y 得 ax≤ay 的条件是（ ）A.a＞0B.a＜0 C.a≥0D.a≤09、由 a＞b 得 am2＞bm2 的条件是（ ）A.m＞0 B.m＜0 C.m≠0 D.m 是任意有理数当时无解，（大大小小无 三：例题讲解1、已知关于 x 的不等式 2x+m>-5 的解集如图所示，则 m 的值为（ ）A, 1 B, 0 C, -1 D, 3二：小试牛刀1、不等式 8-3x≥0 的最大整数解是_______________.2、若 (a 1)x a 1 的解集是 x 1，则 a 必须满足_______2、不等式 2x+1<a 有 3 个正整数解，则 a 的取值范围是？8 / 17一元一次不等式知识点及典型例题3、关于x的不等式组x a 1 x0 0的整数解共有3个，则a的取值范围是多少？5若方程组x x 2y 2y 1 m的解x、y的值都不大于1，求m的取值范围。