基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题含答案

基本不等式及其应用

1．基本不等式

若a>0,，b>0，则

a ＋

b 2

≥ab ，当且仅当 时取“＝”．

这一定理叙述为：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数．

注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点：

(1)各项或各因式均正；（一正）

(2)和或积为定值；（二定）

(3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值．（三相等）

2．常用不等式

(1)a 2＋b 2≥ab 2(a ，b ∈R )．

2

a b

+()0,>b a 注：不等式a 2＋b 2≥2ab 和

2

b

a +≥a

b 它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.其等价变形：ab≤（2

b a +）2

.

(3)ab ≤2

2⎪⎭

⎫

⎝⎛+b a (a ，b ∈R )．

(4)b a ＋a b

≥2(a ，b 同号且不为0)．

(5)22⎪⎭

⎫ ⎝⎛+b a ≤a 2＋b 2

2(a ，b ∈R ).

（6）

b

a a

b b a b a 112

2222+≥≥+≥+()0,>b a (7)abc ≤

a 3＋

b 3＋

c 3

3

;(),,0a b c >

(8)

a ＋

b ＋

c 3

≥3

abc ；(),,0a b c >

3．利用基本不等式求最大、最小值问题

(1)求最小值：a >0，b >0，当ab 为定值时，a ＋b ，a 2＋b 2有 ，即a ＋b ≥ ，

a 2＋

b 2≥ .

(2)求最大值：a ＞0，b ＞0，当a ＋b 为定值时，ab 有最大值，即 ；或a 2＋b 2

为定值时，ab 有最大值(a ＞0，b ＞0)，即 .

设a ，b ∈R ，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是( )

A.6

B.42

C.2 2

D.26

解：因为2a＞0，2b＞0，由基本不等式得2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝42，当且仅当a

＝b＝3

2

时取等号，故选B.

若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为( )

A.1

2

B.1

C.2

D.4

解：∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤1

2

.当且仅当a＝1，b＝

1

2

时等号成立.故选A.

小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则( )

A.a＜v＜ab

B.v＝ab

C.ab＜v＜a＋b

2

D.v＝

a＋b

2

解：设甲、乙两地之间的距离为s.

∵a＜b，∴v＝

2s

s

a

＋

s

b

＝

2ab

a＋b

＜

2ab

2ab

＝ab.

又v－a＝2ab

a＋b

－a＝

ab－a2

a＋b

＞

a2－a2

a＋b

＝0，∴v＞a.故选A.

(2014·上海)若实数x，y满足xy＝1，则x 2＋2y2的最小值为________.

解：由xy ＝1得x 2

＋2y 2

＝x 2

＋2

x

2≥22，当且仅当x ＝±4

2时等号成立.故填22.

点(m ，n )在直线x ＋y ＝1位于第一象限内的图象上运动，则log 2m ＋log 2n 的最大值

是________.

解：由条件知，m ＞0，n ＞0，m ＋n ＝1，

所以mn ≤⎝

⎛⎭

⎪⎫m ＋n 22＝1

4， 当且仅当m ＝n ＝1

2

时取等号，

∴log 2m ＋log 2n ＝log 2mn ≤log 21

4

＝－2，故填－2.

类型一 利用基本不等式求最值 (1)求函数y ＝

（x ＋5）（x ＋2）

x ＋1

(x ＞－1)的值域.

解：∵x ＞－1，∴x ＋1＞0，令m ＝x ＋1，则m ＞0，且y ＝

（m ＋4）（m ＋1）

m

＝m ＋4m

＋

5≥2

m ·4

m

＋5＝9，当且仅当m ＝2时取等号，故y min ＝9. 又当m →＋∞或m →0时，y →＋∞，故原函数的值域是[9，＋∞).

(2)下列不等式一定成立的是( )

A.lg ⎝

⎛⎭⎪⎫

x 2＋14>lg x (x >0) B.sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )

C.x 2＋1≥2||x (x ∈R )

D.

1

x 2＋1

>1(x ∈R ) 解：A 中，x 2＋14≥x (x ＞0)，当x ＝12时，x 2＋1

4

＝x.

B 中，sin x ＋

1

sin x

≥2(sin x ∈(0，1])； sin x ＋

1

sin x

≤－2(sin x ∈[－1，0)). C 中，x 2－2|x |＋1＝(|x |－1)2≥0(x ∈R ).

D 中，

1

x 2＋1

∈(0，1](x ∈R ).故C 一定成立，故选C. 点拨：

这里(1)是形如f (x )＝ax 2＋bx ＋c

x ＋d 的最值问题，只要分母x ＋d ＞0，都可以将f (x )转化

为f (x )＝a (x ＋d )＋

e x ＋d

＋h (这里ae ＞0；若ae ＜0，可以直接利用单调性等方法求最值)，

再利用基本不等式求其最值.