苏教版高中数学选修2-2 利用导数求函数的切线方程 教案
利用导数求函数的切线方程
课程目标
知识提要
利用导数求函数的切线方程
利用导数求函数的切线方程
步骤一：求出函数在点处的导数；
步骤二：根据直线方程的点斜式，得到切线方程为．
精选例题
利用导数求函数的切线方程
1. 是抛物线上一点，若过点的切线与直线，垂直，则过点的切线方程为．
【答案】
【分析】设，则，故，
所以，
所以切线方程为，即．
2. 直线是函数的图象上的点处的切线，则的值是．
【答案】
3. 过点与曲线相切的直线方程是．
【答案】
4. 若曲线在点处的切线经过坐标原点，则．
【答案】
【分析】由题意，在点处的切线的斜率为，又切线过坐标原点，所以．
5. 曲线在处的切线方程为．
【答案】
【分析】，故曲线在处的切线斜率，
所以切线方程为，即．
6. 已知正实数，满足，则的最小值等于．
【答案】
【分析】由，
解得：，，
，
，，
令，解得：，
令，解得：，
函数在递减，在递增，
．
最小值
7. 曲线在点处的切线的斜率是，切线的方程为．
【答案】；
8. 函数的图象在点处的切线方程是．
【答案】
【分析】因为，
所以，，
所以，
所以的图象在点处的切线方程为，即．
9. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为．【答案】
10. 若直线是曲线的切线，则的值为．
【答案】或
【分析】设切点为，
因为，所以切线的斜率为，
又，，
解得，或，．
11. 曲线上的点到直线的距离的最小值是．
【答案】
【分析】对求导得，令，得，，即与直线平行的曲线的切线的切点坐标是，曲线上任意一点到直线的距离的最小值是点到直线的距离，即．
12. 若抛物线与直线相切，则．
【答案】
【分析】设切点为．易知．
由得所以．
又在直线上，
所以，解得．
13. 在曲线上求一点，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为，则点坐标为．
【答案】
【分析】设．
因为，．
所以．
所以，．
14. 曲线在点处的切线方程为．
【答案】
15. 若函数存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是．
【答案】
16. 两曲线与在交点处的两切线的斜率之积为．
【答案】
【分析】两曲线与的交点坐标为，
所以，
．
所以．
17. 已知函数的图象在点处的切线斜率为，则
．
【答案】
【分析】由得，
则，
即，即．
所以，解得．
故．
18. 已知曲线在处的切线与曲线在处的切线互相平行，则的值为．
【答案】或
【分析】的导数为，
的导数为，
由题可知，
所以或．
19. 曲线在点处的切线方程为．
【答案】
20. 已知函数对应的曲线在点处的切线与轴的交点为
，若，则．
【答案】
【分析】曲线在点处的切线方程为，则，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，即，所以，所以
．
21. 过原点作曲线的切线，则切点的坐标为，切线的斜率为．
【答案】
22. 过点作曲线的切线，切点为，设在轴上的投影是点，过点
再作曲线的切线，切点为，设在轴上的投影是点，依次下去，得到第个切点，则点的坐标为．
【答案】
【分析】设，则，因为过点的切线方程的斜率为，所以，整理得，又，所以点的横坐标是以为首项，以为公差的等差数列，所以，所以点．
23. 若曲线在点处的切线与直线垂直，则．
【答案】
24. 已知直线：，直线：分别与曲线与相切，则
．
【答案】
【分析】设直线与曲线的切点为，直线和曲线的切点为，根据函数在切点处的导数值就是切线的斜率可得，
，解得，，所以，，．
25. 直线经过点，且与曲线相切，若直线的倾斜角为，则．【答案】
26. 若直线与曲线相切，则．
【答案】
27. 曲线在点处的切线方程为．
【答案】
【分析】对函数求导为，即曲线在点处的切线斜率，故曲
线在点处的切线方程为，即．
28. 曲线在点处的切线的斜率为．
【答案】
【分析】
因为，故．
29. 已知曲线在点处的切线与直线平行，则
．
【答案】
【分析】，．
30. 已知函数，则在点处的线方程为
【答案】
31. 求曲线的平行于直线的切线方程．
【解】设切点为．
因为，
所以曲线在切点处的切线斜率为．
令，得，
所以切点的坐标为，于是切线方程是．
32. 求垂直于直线并且与曲线相切的直线方程．
【解】设切点为．函数的导数为，故切线的斜率
，
所以，故，
所以，故所求的直线方程为，即．
33. 已知函数的图象经过点，曲线在点处的切线恰好与直线垂直．
(1)求实数，的值．
【解】因为的图象经过点，
所以．①
由，得．
由条件，得，②
由①②解得，．
(2)若函数在区间上单调递增，求的取值范围．
【解】由（）知，，
令，得或，
因为函数在区间上单调递增，
所以，或，
则有或，
所以或．
34. 已知函数的图象为曲线．
(1)求曲线上任意一点处的切线斜率的取值范围；
【解】由题意得，
则，
即曲线上任意一点处的切线斜率的取值范围是．
(2)若曲线存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线的切点的横坐标的取值范围．
【解】设一条切线的斜率为，
则由（2）中条件并结合（1）中结论可知，
解得或，
令或，
解得，
所以所求的切点横坐标的取值范围是．
35. 已知函数及的图象上一点，过点作直线．
(1)求使直线和的图象相切，且以为切点的直线方程；
【解】由，得，过点且以为切点的直线的斜率为，
所以所求直线方程为．
(2)求使直线和的图象相切，且切点异于点的直线方程．
【解】设过点的直线与切于另一点，
则．
又直线过点，
故其斜率可表示为．
又，
即，
解得（舍去）或，
所以所求直线的斜率．
故直线的方程为，即．
36. 已知抛物线，过原点作的切线，使切点在第一象限，求切线方程·
【解】设点的坐标为，则，①
，②
将①代人②得．
因为为切点，所以，所以或．
当时，，．
当时，，．
因为在第一象限，所以切线的斜率，
故所求切线方程为．
37. 1．已知曲线．
(1)求曲线在点处的切线方程；
【解】，则．
由题意可知点为切点，
，
所以曲线在点处的切线方程为，
即．
(2)求曲线过点的切线方程．
【解】，则．
由题意可知点不一定为切点，故设切点为，
，
曲线过点的切线方程为，
所以，
．
解得或，
即切点为或．
所以曲线过点的切线方程为或．
38. 已知点是曲线上任意一点，曲线在处的切线为，求：
(1)斜率最小的切线方程；
【解】，
所以当时，，，所以斜率最小的切线过，
又斜率的最小值，所以切线方程为．
(2)切线的倾斜角的取值范围．
【解】由得，所以．
又因为，所以．
故的取值范围为．
39. 已知曲线：．求曲线在点处的切线方程．
【解】因为，
所以切线斜率，
所以切线方程为，即．
40. 设函数，当曲线斜率最小的切线与直线平行时，求的值．
【解】，即当时，
函数取得最小值，因斜率最小的切线与平行，
即该切线的斜率为，所以，即，即．
41. 用定义求的导数，并求在处的切线方程．
【解】
在处的导数即为该点处切线的斜率，．
所以在处的切线方程为，即．
42. 已知函数．
(1)求函数在点处的切线方程；
【解】因为，
所以在点处的切线的斜率，
所以函数在点处的切线方程为，即．
(2)求过点的函数的切线方程．
【解】设函数与过点的切线相切于点，则切线的斜率，
所以切线方程为，即
因为点在切线上，
所以，即，
所以，解得或，
所以所求的切线方程为或．
43. 已知抛物线通过点，且在点处与直线相切，求实数，，的值．
【解】曲线过，，
，．
，，
．
联立解①、②、③得，，．
44. 求过点作曲线的切线的方程．
【解】设切点为，则切线的斜率为，切线方程为，即．
因为切线过点，所以，所以．因此，所求的切线方程为．
45. 已知函数．
(1)求这个函数的导函数；
【解】．
(2)求这个函数在点处的切线方程．
【解】．
所以切点，
因为，
所以函数在处的切线斜率为．
所以该函数在点处的切线方程为．
46. 已知函数与的图象都过点且在点处有相同的切线，求实数，，的值．
【解】求导可得，，．
由题意得方程组解得
47. 过函数（，）的图象上任意一点的切线与轴交于点
，求证：．
【解】，
所以，过点的切线为，令，得，因为，
所以，
所以，即，
又．
所以．
48. 求证双曲线上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为定值．
【解】设双曲线上任意一点．
因为，
所以点处的切线方程为．
令，得．
令，得．
所以．
所以三角形的面积为定值．
49. 求函数过点的切线方程．
【解】．
若切点为，，切线方程为．
若不是切点，设切点坐标，则所以
切线方程为．
50. 求曲线在点的切线方程．
【解】点在曲线上，，切线的斜率是，所以切线方程是，即．
51. 已知曲线上一点，求过点的切线方程．
【分析】要注意此题中的点不一定是切点．
【解】设切点为．
因为，
所以切线斜率为，
由直线斜率公式，得，
所以，整理得，即，解得或，
所以切线斜率或，又切线过点，
所以所求切线方程为或．
52. 设函数的图象与轴交点为，且曲线在点处的切线方程为
，若函数在处取得极值，试确定函数的解析式．
【解】的图象与轴的交点为，
的坐标为．
又曲线在点处的切线方程为，
点坐标适合方程，从而．
又切线斜率，故在处的导数．
而，从而．
又函数在处取得极值，
，
，即，．
解得
所求函数解析式为．
53. 已知函数．
(1)若函数在处的切线平行于轴，求实数的值．
【解】函数的定义域为，
因为，
所以，
依题意有，即，
解得．
(2)求函数的单调区间．
【解】．
当时，
因为，所以，
所以函数在上是增函数．
当时，令，则．
因为，
所以方程的两根分别为，，
因为，所以，
又因为，
所以．
所以当时，，当时，，
所以函数在上是增函数，在上是减函数．
综上可知，当时，函数的单调递增区间是，无递减区间；当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是．
54. 已知函数与的图象都过点，且在点处有公共切线，求，的表达式．
【解】两个函数的图象都过点，
所以，，即，．
又，，由已知，
所以．
结合前面的方程，解得，．所以，．
55. 设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的解析式；
【答案】
【解】方程可化为
当时，
又，于是
解得
故
(2)证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
【答案】
【解】设为曲线上任一点，
由知曲线在点处的切线方程为
即
令得，从而得切线与直线的交点坐标为．
令得，从而得切线与直线的交点坐标为．
所以点处的切线与直线，所围成的三角形面积为
故曲线上任一点处的切线与直线所围成的三角形的面积为定值．
56. 设直线与曲线相切于点，直线过且垂直于，若交轴于点，又作
垂直于轴于，求的长．
【解】设，则．
由已知，
所以，点处的切线的斜率．
因为直线垂直于，
所以，又直线过点，
所以，，令，将代入，可得，易知，
所以，．
57. 知函数，其图象记为曲线．证明：若对于任意非零实数，曲线与其在点处的切线交于另一点，曲线与其在点处的切线交于另一点，线段，与曲线所围成封闭图形的面积分别记为，，则为定值．
【解】曲线在点处的切线方程为：，
即．
由
得，即，
解得或，故．
进而有，
用代替，重复上述计算过程，可得和．
又，所以，因此有．
58. 设定义在上的函数．
(1)求的最小值；
【解】
当且仅当即时，的最小值为．
(2)若曲线在点处的切线方程为，求的值．
【解】由题意得：
由①②得：
59. 已知函数，，直线．又
．
(1)求的值；
【解】．
由，得，
解得．
(2)求函数的单调区间；
【解】由（1），得，
则．
当变化时，和的变化如下：
所以的增区间为，减区间为．
(3)是否存在的值，使得直线既是曲线的切线，又是的切线？如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由．
【解】因为直线恒过点．
设直线切曲线于点．
因为，
所以切线方程是，
将代入上式，解得．
当时，切线方程为；
当时，切线方程为．
令，得，解得或．
当时，曲线的切线方程是；
当时，曲线的切线方程是，
所以是曲线与的公切线．
令，得，解得或．
当时，曲线的切线方程是；
当时，曲线的切线方程是，
所以不是公切线．
综上，当时，是曲线与的公切线．
60. 已知曲线．
(1)求曲线上横坐标为的点处的切线的方程；
【解】将代入曲线的方程，得，即切点．
因为，所以．
所以过点的切线方程为，即．
(2)第(1)小题中的切线与曲线是否还有其他的公共点？
【解】由可得，
解得或．
从而求得公共点为和．
因此，切线与曲线的公共点除了切点外，还有另外的点．
课后练习
1. 曲线在点处的切线方程为．
2. 曲线的一条切线的倾斜角为，则切点坐标为．
3. 已知函数及其导函数的图象如图所示，则曲线在点处的切线方程是．
4. 已知函数，则函数的单调递增区间为．
5. 若曲线在处的切线斜率为，则实数的值为．
6. 曲线在点处的切线方程为．
7. 曲线在点处的切线的斜率．
8. 若轴是曲线的一条切线，则．
9. 曲线与在交点处切线的夹角是．（用弧度数作答）
10. 对正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为，则数列
的前项和的公式是．
11. 已知函数，则；函数图象在点处的切线方程为．
12. 若曲线的某一切线与直线平行，则切点坐标为，切线方程为．
13. 已知偶函数的图象经过点，且在处的切线方程是
，则的解析式为．
14. 如图，函数的图象在点处的切线方程是，则
．
15. 曲线上的点到直线的最短距离为．
16. 若函数，则此函数图象在点处的切线的倾斜角为（填锐角、直角或钝角）．
17. 点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为．
18. 若曲线的一条切线与直线垂直，则该切线方程为．
19. 设为曲线上一点，曲线在点处的切线的斜率的范围是，则点纵坐标的取值范围是．
20. 函数在点处的切线方程为．
21. 曲线在点处的切线方程为．
22. 已知函数的图象在点处的切线为，则函数
的图象在点处的切线方程为．
23. 曲线的所有切线中，斜率最小的切线方程为．
24. 已知直线是曲线的切线，则的值为．
25. 函数的图象在点处的切线与轴交点的横坐标为，，若，则，数列的通项公式为．
26. 函数图象上点处的切线与直线，，围成的梯形面积等于，则的最大值等于，此时点的坐标是．
27. 函数的图象在点处的切线方程为．
28. 若曲线与曲线在处的切线互相垂直，则．
29. 设曲线在点处的切线与直线垂直，则．
30. 函数在处的切线的斜率是．
31. 已知，，直线与函数，的图象都相切于点．
(1)求直线的方程；
(2)求函数的解析式．
32. 已知的图象经过点，且在处的切线方程是．
(1)求的解析式；
(2)求的单调递增区间．
33. 如图，从点作轴的垂线交曲线于点，曲线在点处的切线与
轴交于点，再从作轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点：，；，；；，，记点的坐标为．
(1)试求与的关系；
(2)求．
34. 如图，已知函数及其导数的图象，求的图象在点处的切线方程．
35. 已知函数的导数函数为．若，直线都不
是曲线的切线，求的取值范围．
36. 已知函数在处取得极值．
用导数求切线方程的四种类型84657
题型一：利用导数去切线斜率 类型一：已知切点，求曲线的切线方程 此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可． 例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为 解：由2()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，． 类型二：已知过曲线上一点，求切线方程 过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 例2 求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程． 类型三：已知过曲线外一点，求切线方程 此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解． 例3 求过点(20)，且与曲线1y x =相切的直线方程． 题型二：利用导数判断函数单调性 总结求解函数f(x)单调区间的步骤: 练习：判断下列函数的单调性，并求出单调区间。 （1）确定函数f(x)的定义域； （2）求f(x)的导数f'(x)； （3）解不等式 f'(x)>0 ，解集在定义域内的部分为 增区间； （4）解不等式 f'(x)<0 ，解集在定义域内的部分为 减区间． 例1.：已知导函数 的下列信息： 注意： x x x f x x x f x x x x f ln 2 1 )()3(7 62)()2(),0(,sin )()1(223-=+-=∈-=π图像的大致形状。 试画出或当或当当)(0)(,1,40)(,1,40)(,41x f x f x x x f x x x f x ='==<'<>>'<<3211 11(1)2231(11)y x y x x =-+-=-+-练习：、在，处的切线方程 、在，处的切线方程1(01)x y xe =+-3、曲线在，处的切线方程sin 20x y x e x =++=5、曲线在处的切线方程
利用导数求切线的方程
利用导数求切线的方程 第I 卷（选择题） 一、选择题 1．已知曲线21y x =-在0x x =处的切线与曲线31y x =-在0x x =处的切线互相平行，则0x 的值为（ ） A ．0 B C ．0 D 2．若幂函数a mx x f =)(的图像经过点A 处的切线方程是（ ） A.02=-y x B.02=+y x C.0144=+-y x D.0144=++y x 3．曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A B 、22e C 、2e D 4．函数x e x f x ln )(=在点))1(,1(f 处的切线方程是（ ） A.)1(2-=x e y B.1-=ex y C.)1(-=x e y D.e x y -= 5．若点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线2y x =-距离的最小值为（） A ．1 B C D 6处的切线与直线1y x =+平行，则实数a 的值为（ ） A D 7处的切线平行于x 轴, 则()0f x =（ ） A C D ．2e 8上一动点00(,())P x f x 处的切线斜率的最小值为（ ） A B ．3 C D ．6 第II 卷（非选择题） 二、填空题 9在点()1,1处的切线与曲线x y e =在点P 处的切线垂直，则点P 的坐标为 __________.
10．曲线cos y x x =-在点___________． 11．已知直线01=+-y x 与曲线的值为 ． 12．若曲线ln (0)y x x =>的一条切线是直线，则实数b 的值为 ． 13．若直线y x b =+是曲线 14．已知函数()tan f x x =，则__________. 15在点()()1,1f 处的切线方程是 . 16．设曲线3()2f x ax a =-在点()1,a 处的切线与直线210x y -+=平行，则实数a 的值为______． 17．已知曲线()cos f x a x =与曲线()21g x x bx =++在交点()0,m 处有公切线，则实数a b +的值为____________． 18．函数()x e x f x cos =的图像在点()()0,0f 处的切线的倾斜角为________． 19__________． 三、解答题 20．求曲线3 =y=f(x)(2x-2)在点（2,8）处的切线方程（一般式） 参考答案
用导数求切线方程的四种类型
用导数求切线方程的四种类型 浙江 曾安雄 求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线 方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =． 下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程 此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可． 例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ） Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+ Ｄ．45y x =- 解：由2 ()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为 (1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，因而选Ｂ． 类型二：已知斜率，求曲线的切线方程 此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决． 例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ） Ａ．230x y -+= Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+= Ｄ．210x y --= 解：设00()P x y ，为切点，则切点的斜率为0022x x y x ='==|． 01x =∴． 由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，故选Ｄ． 评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用?法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代入2y x =，得220x x b --=，又因为0?=，得1b =-，故选Ｄ． 类型三：已知过曲线上一点，求切线方程 过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 例3 求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程． 解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x x y x ='=-|． ∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--．
利用导数求函数切线方程
利用导数求函数切线方程 摘要：导数是高中数学学习中分析和解决问题的有效工具，其中，导数在求解函数切线方程的应用中有很强的功能。本文采用“目标法”，通过对几个用导数求函数切线方程的例子的剖析，给出这类题的解题思路和技巧，让大家更深入地理解如何用“目标法”解决用导数求函数切线方程的问题，并在解题过程中通过“目标法”寻找策略，发现疏漏，同时展示高考题中用导数求切线方程的缜密的数学逻辑思维过程。 关键词：导数；切线方程；目标法；解题思路；数学逻辑 前言 导数作为高中教材必学内容之一，无论是在高中生的平时学习或者是在高考试题中，都毫无疑问的占有一席之地，已经有很多的教育工作者对有关导数在高中学习中的重要性和应该注意的一些问题进行了研究。付禹[1]采用问卷调查法，通过分析学生在测试中出现的问题和错误，对学生在学习“导数及其应用”中遇到的困难进行了分析。在高考试题中，导数已经从作为解决问题的辅助地位上升为分析和解决问题必不可少的工具[2]。而且，导数的广泛应用，也成为新教材高考试题的热点和命题的增长点[3]。可见，导数在高中学习中占有重要的位置。应用导数求函数的切线方程，这是导数的一个重要应用，对于高中生来说，也还存在一些解题误区，高春娇[4]对此做了分析。针对导数在求函数的切线方程中的重要性和高中生在学习过程中遇到的问题，作者主要想从一个高中生的视角，结合自己的解题经验，总结利用导数求函数切线方程的要点，并发现了解决导数问题的有效工具——“目标法”，同时在应用时体现数学的逻辑。希望对正在学习导数及其应用的高中学生有一定的帮助。文中选取的一些例题，主要来源于参考文献[5]，作者从另一角度给出了解题的思路和步骤，以及解答的过程，同时给出了解题中应该要注意到的诸多的细节问题，以期读者能掌握良好的做题习惯，感受强大的数学逻辑。 1用“目标法”解决用导数求函数的切线方程
(完整版)用导数求切线方程教案
用导数求切线方程 一、教学目标： (1)知识与技能： 理解导数的几何意义. 能够应用导数公式及运算法则进行求导运算. (2)过程与方法： 掌握基本初等函数的导数公式及运算法则求简单函数的导数. (3)情感态度与价值观： 通过导数的几何意义的探索过程，掌握计算简单函数的导数，培养学生主动探索、勇于发现之间的联系的精神，渗透由特殊到一般的思想方法. 二、重点、难点 重点：能用导数的几何意义求切线方程. 难点：用导数求切线方程. 三、学情分析 学生在前面已学习导数的概念，能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，本节课进一步研究和学习导数的几何意义与切线方程之间的联系。根据学生好动、观察能力强的特点，让他们采用小组合作、讨论的形式归纳本节课的知识，突出本节课的重点、难点。 四、教学过程： 【知识回顾】 1. 导数的概念 函数()y f x =在0x x =处的导数是 _____________________.
2. 导数的几何意义 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线的斜率，即________=k . 3. 基本初等函数的导数公式: 1）若()f x c =(c 为常数)，则()________'=x f ； 2）若()f x x α=,则()________'=x f ; 3）若()sin f x x =,则()________'=x f ； 4）若()cos f x x =,则()________'=x f ; 5）若()x f x a =,则()________'=x f ； 6）若()x f x e =,则()________'=x f ； 7）若()log x a f x =,则()________'=x f ； 8）若()ln f x x =,则()________'=x f . 4. 导数的运算法则 1）()()[]_______________'=±x g x f 2）()()[]_________________'=?x g x f 3）()_______________________')(=?? ????x g x f 4）()'________cf x =???? 【新课引入】 1. 用导数求切线方程的四种常见的类型及解法： 类型一：已知切点，求曲线的切线方程 此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可． 例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ） Ａ．34y x =-- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+ Ｄ．45y x =- 类型二：已知斜率，求曲线的切线方程 此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决． 例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ） Ａ．230x y -+= Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+= Ｄ．210x y --=
(完整版)利用导数求曲线的切线和公切线
利用导数求曲线的切线和公切线 一.求切线方程 【例1】.已知曲线f(x)=x3-2x2+1. (1)求在点P（1,0）处的切线l 1 的方程； (2)求过点Q（2,1）与已知曲线f(x)相切的直线l 2 的方程. 提醒：注意是在某个点处还是过某个点！ 二.有关切线的条数 【例2】．（2014?北京）已知函数f（x）=2x3﹣3x． （Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值； （Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围；（Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y=f（x）相切？（只需写出结论） 【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=2x3﹣3x得f′（x）=6x2﹣3， 令f′（x）=0得，x=﹣或x=， ∵f（﹣2）=﹣10，f（﹣）=，f（）=﹣，f（1）=﹣1， ∴f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值为． （Ⅱ）设过点P（1，t）的直线与曲线y=f（x）相切于点（x 0，y ）， 则y 0=2﹣3x ，且切线斜率为k=6﹣3， ∴切线方程为y﹣y 0=（6﹣3）（x﹣x ）， ∴t﹣y 0=（6﹣3）（1﹣x ），即4﹣6+t+3=0，设g（x）=4x3﹣6x2+t+3， 则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切”，等价于“g（x）有3个不同的零点”．∵g′（x）=12x2﹣12x=12x（x﹣1）， ∴g（0）=t+3是g（x）的极大值，g（1）=t+1是g（x）的极小值． ∴g（0）＞0且g（1）＜0，即﹣3＜t＜﹣1， ∴当过点过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切时，t的取值范围是（﹣3，﹣1）． （Ⅲ）过点A（﹣1，2）存在3条直线与曲线y=f（x）相切； 过点B（2，10）存在2条直线与曲线y=f（x）相切； 过点C（0，2）存在1条直线与曲线y=f（x）相切．
利用导数求切线的方程教案资料
利用导数求切线的方 程
利用导数求切线的方程 第I 卷（选择题） 一、选择题 1．已知曲线21y x =-在0x x =处的切线与曲线31y x =-在0x x =处的切线互相平行，则0x 的值为（ ） A ．0 B ．23 C ．0或23- D ．23 - 2．若幂函数a mx x f =)(的图像经过点)2 1,41(A ，则它在点A 处的切线方程是（ ） A.02=-y x B.02=+y x C.0144=+-y x D.0144=++y x 3．曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A 、294e B 、22e C 、2e D 、22e 4．函数x e x f x ln )(=在点))1(,1(f 处的切线方程是（ ） A.)1(2-=x e y B.1-=ex y C.)1(-=x e y D.e x y -= 5．若点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线2y x =-距离的最小值为（） A ．1 B C ． 2 D 6．曲线cos 16y ax x =+在2x π= 处的切线与直线1y x =+平行，则实数a 的值为（ ） A ．2π- B ． 2 C ．2 π D ．2π- 7在点()()00,x f x 处的切线平行于x 轴, 则()0f x =（ ） A ．2e 8．曲线31()(0)f x x x x =->上一动点00(,())P x f x 处的切线斜率的最小值为（ ） A B ．3 C ．．6
第II 卷（非选择题） 二、填空题 9．设曲线1y x =在点()1,1处的切线与曲线x y e =在点P 处的切线垂直，则点P 的坐标为 __________. 10．曲线cos y x x =-在点,22ππ?? ??? 处的切线的斜率为___________． 11．已知直线01=+-y x 与曲线ln y x a =-相切，则a 的值为 ． 12．若曲线ln (0)y x x =>的一条切线是直线12 y x b =+，则实数b 的值为 ． 13．若直线y x b =+是曲线ln y x x =的一条切线，则实数b = ． 14．已知函数()tan f x x =，则()f x 在点(,())44 P f ππ处的线方程为__________. 15．函数()x x f x e =在点()()1,1f 处的切线方程是 . 16．设曲线3()2f x ax a =-在点()1,a 处的切线与直线210x y -+=平行，则实数a 的值为______． 17．已知曲线()cos f x a x =与曲线()21g x x bx =++在交点()0,m 处有公切线，则实数a b +的值为____________． 18．函数()x e x f x cos =的图像在点()()0,0f 处的切线的倾斜角为________． 19．曲线1x y x = +在点11,2?? ???处的切线方程为__________． 三、解答题 20．求曲线3=y=f(x)(2x-2)在点（2,8）处的切线方程（一般式）
导数之一：导数求导与切线方程
本章节知识提要 考试要求1.导数概念及其几何意义(1)了解导数概念的实际背景； (2)理解导数的几何 意义. 2.导数的运算 (1)能根据导数定义，求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝ x 1，y ＝x 的导数； (2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f (ax ＋b )的复合函数)的导数. 3.导数在研究函数中的应用 (1)了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)； (2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次). 4.生活中的优化问题：会利用导数解决某些实际问题. 5.定积分与微积分基本定理 (1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念； (2)了解微积分基本定理的含义 导数（1）：求导与切线 ?知识点梳理? 1. 求导公式与求导法则：
0'=C ； 1)'(-=n n nx x ； x x cos )'(sin =； x sin )'(cos -= x x 1)'(ln = ； x x e e =)'( a a a x x ln )'(= 2. 法则1 )(.))'(('=x f c x cf 法则2 '''[()()]()()f x g x f x g x ±=±． 法则3 [()()]'()()()f x g x f x g x f x g x '= +, [()]'(cf x cf x '= 法则4：'2()'()()()'()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ??-=≠ ??? 3．利用导数求曲线的切线方程：函数()y f x =在点0x 的导数的几何意义就是曲线()y f x =在点00(,)p x y 处的切线的斜率，也就是说，曲线()y f x =在点00(,)p x y 处的切线斜率是0()f x '，切线的方程为000()()y y f x x x '-=- 曲线f (x )在A （m,n ）处的切线方程求法： ①求函数f (x )的导数f ′(x ). ②求值：f ′(m )得过A 点的切线的斜率 ③由点斜式写出切线方程：y –n = f ′(m )(x-m) ?精选例题? 例1．求下列函数的导函数 1. x x f =)( 2.2)(e x f = 3.y=2x+3 4.x x f = )( 5.y=x 2+3x-3 6. 1y x = 7. x x x f ln 2)(= 8. 32)sin()(x x x f += 9. x x x x f 2ln )(+= 例2：.求函数12+=x y 在－1,0，1处导数。 例3：已知曲线313y x =上一点P （2，38 ），求点P 处的切线的斜率及切线方程？
利用导数求切线方程
切线方程的求法 ●基础知识总结和逻辑关系 一、 函数的单调性 求可导函数单调区间的一般步骤和方法: 1) 确定函数的()f x 的定义区间； 2) 求'()f x ，令'()0f x =，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根； 3) 把函数()f x 的无定义点的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来， 然后用这些点把函数()f x 的定义区间分成若干个小区间； 4) 确定'()f x 在各个区间内的符号，由'()f x 的符号判定函数()f x 在每个相应小区 间内的单调性. 二、 函数的极值 求函数的极值的三个基本步骤 1) 求导数'()f x ； 2) 求方程'()0f x =的所有实数根； 3) 检验'()f x 在方程'()0f x =的根左右的符号，如果是左正右负（左负右正），则() f x 在这个根处取得极大（小）值. 三、 求函数最值 1) 求函数()f x 在区间(,)a b 上的极值； 2) 将极值与区间端点函数值(),()f a f b 比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就 是最小值. 四利用导数证明不等式 1） 利用导数得出函数单调性来证明不等式 我们知道函数在某个区间上的导数值大于（或小于）0时，则该函数在该区间上单调递增（或递减）.因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证明该函数的单调性,然后再用函数单调性达到证明不等式的目的.即把证明不等式转化为证明函数的单调性.具体有如下几种形式：
① 直接构造函数，然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增（减） 区间，自变量越大，函数值越大（小），来证明不等式成立. ② 把不等式变形后再构造函数,然后利用导数证明该函数的单调性，达到证明不等式的目 的. 2） 利用导数求出函数的最值（或值域）后，再证明不等式. 导数的另一个作用是求函数的最值. 因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数求出该函数的最值；由当该函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立.从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题. ●解题方法总结和题型归类 1导数的几何意义及切线方程的求法 1）曲线y ＝f (x )“在”点P (x 0，y 0)处的切线与“过”点P (x 0，y 0)的切线的区别： 曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，若切线斜率存在时，切线斜率为k ＝f ′(x 0)，是唯一的一条切线；曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点，点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 2）解决方案：解这类问题的关键就是抓住切点.看准题目所求的是“在曲线上某点处的切线方程”还是“过某点的切线方程”，然后求某点处的斜率，用点斜式写出切线方程. 【题】求过曲线cos y x =上点1 (,)32 P π且与在这点的切线垂直的直线方程. 【答案】：22032 x π--+= 【难度】* 【点评】
用导数求切线方程的四种类型
用导数求切线方程的四种类型 求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为． 下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程 此类题较为简单，只须求出曲线的导数，并代入点斜式方程即可．例1 曲线在点处的切线方程为（ ） Ａ．Ｂ． Ｃ．Ｄ． 解：由则在点处斜率，故所求的切线方程为，即，因而选Ｂ． 类型二：已知斜率，求曲线的切线方程 此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决． 例2 与直线的平行的抛物线的切线方程是（ ） Ａ．Ｂ． Ｃ．Ｄ． 解：设为切点，则切点的斜率为． ． 由此得到切点．故切线方程为，即，故选Ｄ． 评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用法加以解决，即设切线方程为，代入，得，又因为，得，故选Ｄ． 类型三：已知过曲线上一点，求切线方程 过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 例3 求过曲线上的点的切线方程． 解：设想为切点，则切线的斜率为． 切线方程为． ． 又知切线过点，把它代入上述方程，得． 解得，或．
故所求切线方程为，或，即，或． 评注：可以发现直线并不以为切点，实际上是经过了点且以为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法． 类型四：已知过曲线外一点，求切线方程 此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解． 例4 求过点且与曲线相切的直线方程． 解：设为切点，则切线的斜率为． 切线方程为，即． 又已知切线过点，把它代入上述方程，得． 解得，即． 评注：点实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性． 例5 已知函数，过点作曲线的切线，求此切线方程． 解：曲线方程为，点不在曲线上． 设切点为， 则点的坐标满足． 因， 故切线的方程为． 点在切线上，则有． 化简得，解得． 所以，切点为，切线方程为． 评注：此类题的解题思路是，先判断点A是否在曲线上，若点A在曲线上，化为类型一或类型三；若点A不在曲线上，应先设出切点并求出切点．
高中数学用导数方法求圆锥曲线的切线.doc
用导数方法求圆锥曲线的切线 求解函数图象上过某点的函数图象的切线的方程，是导数的一个重要应用。有心圆锥曲线一般情形下都不是函数图象，所以习惯上，一般我们不用导数方法求解圆锥曲线的切线问题，而是利用传统的方法，即判断直线和圆锥曲线方程所组成的方程组的解的情况来解决，但是有时候这种解法会比较烦琐，特别是含有参数的时候计算量较大。而我们可以将圆锥曲线分成“几个函数”来分别讨论，这样就可以实现用导数的方法来求曲线的切线了。本文将用导数的方法证明一个有心圆锥曲线的性质。 引理1：过椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的该椭圆的切线方程为12020=+b y y a x x ； 证明：我们先考虑当的情形；0>y ,022x a a b y y -=>时，，22'x a a bx y --= ，20200|'x a a bx y x x --== b ay x a x a a b y 0202220,=--=所以而 ,,|'000 2020的斜率）的切线（即为椭圆过l y x P y a x b y x x -=∴= )(:00 2020x x y a x b y y l --=-∴切线 .1,20202202202020222 022020202=++=++=+b y y a x x b y a x b y y a x x b a y a x b y y a x x b ，即得 两边同除以化简得 当0 用导数求切线方程的四种类型 求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线 方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =． 下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程 此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可． 例1 曲线3231y x x =-+在点(1 1)-，处的切线方程为（ ） Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+ Ｄ．45y x =- 解：由2 ()36f x x x '=-则在点(1 1)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，因而选Ｂ． 类型二：已知斜率，求曲线的切线方程 此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决． 例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ） Ａ．230x y -+= Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+= Ｄ．210x y --= 解：设00()P x y ，为切点，则切点的斜率为0022x x y x ='==|． 01x =∴． 由此得到切点(11) ，．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，故选Ｄ． 评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用?法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代入2y x =，得220x x b --=，又因为0?=，得1b =-，故选Ｄ． 类型三：已知过曲线上一点，求切线方程 过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 例3 求过曲线32y x x =-上的点(1 1)-，的切线方程． 解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x x y x ='=-|． ∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--． 广东实验学校2020届高三理科数学寒假作业----导数专题 函数的切线及函数零点问题 1.已知函数f (x)＝a x＋b x(a＞0，b＞0，a≠1，b≠1). (1)设a＝2，b＝12. ①求方程f (x)＝2的根； ②若对任意x∈R，不等式f (2x)≥mf (x)－6恒成立，求实数m的最大值； (2)若0＜a＜1，b＞1，函数g(x)＝f (x)－2有且只有1个零点，求ab的值. 考点整合 1.求曲线y＝f (x)的切线方程的三种类型及方法 (1)已知切点P(x0，y0)，求y＝f (x)过点P的切线方程：求出切线的斜率f ′(x0)，由点斜式写出方程. (2)已知切线的斜率为k，求y＝f (x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，通过方程k ＝f ′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程. (3)已知切线上一点(非切点)，求y＝f (x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f ′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程. 2.三次函数的零点分布 三次函数在存在两个极值点的情况下，由于当x→∞时，函数值也趋向∞，只要按照极值与零的大小关系确定其零点的个数即可.存在两个极值点x1，x2且x1＜x2的函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的零点分布情况如下： 3.(1)研究函数零点问题或方程根问题的思路和方法 研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点，归根到底还是研究函数的图象，如单调性、值域、与x轴的交点等，其常用解法如下： ①转化为形如f (x1)·f (x2)＜0的不等式：若y＝f (x)满足f (a)f (b)＜0，则f (x)在(a，b)内至少有一个零点； ②转化为求函数的值域：零点及两函数的交点问题即是方程g(x)＝0有解问题，将方程分离参数后(a＝f (x))转化为求y＝f (x)的值域问题； ③数形结合：将问题转化为y＝f (x)与y＝g(x)的交点问题，利用函数图象位置关系解决问题. (2)研究两条曲线的交点个数的基本方法 ①数形结合法，通过画出两个函数图象，研究图象交点个数得出答案. ②函数与方程法，通过构造函数，研究函数零点的个数得出两曲线交点的个数. 2.已知函数f (x)＝2x3－3x. ①求f (x)在区间[－2，1]上的最大值； ②若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f (x)相切，求t的取值范围. 用导数求切线方程的四种类型 题型一：利用导数去切线斜率 类型一：已知切点，求曲线的切线方程 此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可． 例1 曲线3 231 y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为 解：由2 ()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-， 故所求的切线方程为(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，． 类型二：已知过曲线上一点，求切线方程 过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 例2 求过曲线3 2y x x =-上的点(11)-，的切线方程． 类型三：已知过曲线外一点，求切线方程 此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解． 例3 求过点(20)，且与曲线1 y x =相切的直线方程． 题型二：利用导数判断函数单调性 总结求解函数f(x)单调区间的步骤: 3211 11(1)2 231(11)y x y x x =-+-=-+-练习：、在，处的切线方程 、在，处的切线方程 1(01)x y xe =+-3 、曲线在，处的切线方程sin 20x y x e x =++=5、曲线在处的切线方程 练习：判断下列函数的单调性，并求出单调区间。 （1）确定函数f(x)的定义域； （2）求f(x)的导数f'(x)； （3）解不等式 f'(x)>0 ，解集在定义域内的部分为 增区间； （4）解不等式 f'(x)<0 ，解集在定义域内的部分为 减区间． 例1.：已知导函数 的下列信息： 注意： （1）由原函数的图像画导函数的图像看原函数的单调性，决定导函数的正负。 （2）由导函数的图像画原函数的图像看导函数的正负，决定原函数的单调性。 练习.：如果函数的图像如下图 , 那么导函数的图像可能是（ ） x x x f x x x f x x x x f ln 2 1 )()3(7 62)()2(),0(,sin )()1(223-=+-=∈-=π图像的大致形状。 试画出或当或当当)(0)(,1,40)(,1,40 )(,41x f x f x x x f x x x f x ='==<'<>>'<< 用导数求切线方程的一个误区 导数的几何意义是：设s=s(t)是位移函数，则'0s (t )表示物体在0t t =时刻的瞬时速度；设v=v(t)是速度函数，则'0v v (t )=表示物体在0t t =时刻的加速度；设函数在点处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线的相应点处的切线斜率。 所以我们常用导数“求某点处的切线方程”和“求过某点的切线方程”。但是它们有没有区别呢？下面以例说明。 例 若曲线31y x 3=上一点P(2, 83 )，求⑴点P 处的切线方程 ⑵过点P 的切线方程 解：⑴∵'2y x = ∴当x=2时'y =4 ∴点P 处的切线方程为8y 4(x 2)3- =- 即12x-3y-16=0 ⑵设所求的切线与曲线31y x 3 =相切于 点00(x ,y )，则切线斜率为20x ，由直线方程点斜式得切线方程为32000x y x (x x )3-=-，又因为所求切线过点P ，则有32000x 8x (2x )33 -=-，解此三次方程得0x 2=或-1，从而过点的切线斜率为4或1，可求出切点为(2, 83)，1(1,)3 --，相应的过点的切线方程为12x-3y-16=0或3x-3y+2=0 从这道题可以看出第⑴问的结果是直线CD ，第⑵问的结果是直线AB 和直线CD 。所以我们可得出这样的一个结论：过曲线上一点的切线不一定只是以该点为切点的切线，可能还有别的符合题意的直线。所以 “求在某点的切线方程”和“求过某点的切线方程”的含义是不同的。同学们在解这种问题时要分清题意，否则往往容易漏解。 针对性练习题：已知曲线方程为314y x 33= +，求过点P （2，4）的切线方程。 答案：4x-y-4=0或x-y+2=0 考点分析：以解答题的形式考查函数的单调性和极值；近几年高考对导数的考查每年都有，选择题、填空题、解答题都出现过，且最近两年有加强的趋势。 知识点一：常见基本函数的导数公式 （1）（C为常数），（2）（n为有理数）， （3），（4）， （5），（6）， （7），（8）， 知识点二：函数四则运算求导法则 设，均可导（1）和差的导数： （2）积的导数： （3）商的导数：（） 知识点三：复合函数的求导法则 1.一般地，复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量 的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即或 题型一：函数求导练习 例一：函数y=e x sinx的导数等于． 例二：函数y=（x2+1）e x的导数为． 例三：函数f （x ）=cos （2﹣3x ）的导数等于 _________ ． 变式练习： 1．求函数y=的导数． 2．求函数y=（1+cos2x ）2的导数． 3．求y=e 2x cos3x 的导数． 题型二：用导数求切线方程的四种类型 求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线 方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =． 下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程 此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可． 例1 曲线3231y x x =-+在点(1 1)-，处的切线方程为（ ） 导数求切线方程 专题训练 一、典型例题 (一）已知曲线方程和切点坐标,求切线方程 例１、求43x y =在点()8,16P 处的切线方程. (二）已知曲线方程和切点斜率,求切线方程 例2、已知x y =，求与直线42--=x y 垂直的切线方程. （三）已知曲线方程和曲线外一点,求切线方程 例3、过原点做曲线x e y =的切线，求切线斜率和切线方程. （四）已知曲线方程和曲线上一点，求过该点的切线方程 例4、求曲线33x x y -=过点()2,2-A 的切线方程. 二、当堂检测 1．求过曲线x x y +-=3上过点()0,1的切线方程. 2．求经过原点且与曲线5 9++= x x y 相切的曲线方程. 3.求过曲线232 131x x y += 上一点()0,0的切线方程． ４.若直线0122=--+e y x e 与曲线x ae y -=1相切,求a 的值. 5 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为( ) 6 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ) 7 求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程． ８ 求过点(20)，且与曲线1y x =相切的直线方程． ? 【２0１２北京市高考文】已知函数2 ()1(0)f x ax a =+>,3()g x x bx =+. （Ⅰ)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，求,a b 的值; (Ⅱ)当3a =，9b =-时,若函数()()f x g x +在区间[,2]k 上的最大值为28，求k 的取值范围. 【20１3北京市高考文】已知函数2 ()sin cos f x x x x x =++. (Ⅰ）若曲线()y f x =在点(,())a f a )处与直线y b =相切,求a 与b 的值。 （Ⅱ)若曲线()y f x =与直线y b = 有两个不同的交点,求b 的取值范围。 用导数求切线方程 课前练习 1．求函数()ln f x x x =在． 点(1,0)出的切线方程 2. 求函数()ln f x x =过． 点(0,0)的切线方程 3．求与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程 例 已知函数2 (),()2ln f x x c g x x =+=.当c 为何值时，()f x ，()g x 的图象有公共点且在公共点处切线 相同. 课堂练习 1.已知函数2()2f x x ax =+与2()g x bx c =+的图象都过点P （2，0），且在点P 处有公共切线。 求()f x 和()g x 的表达式； 课堂练习： 1.求过点(20)，且与曲线1y x =相切的直线方程 2.已知函数21()4ln 2 f x x x =-，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； 3.已知函数322()f x x ax a x =--，其中0a ≥.若(0)4f '=-，求a 的值，并求此时曲线()y f x =在 点(1,(1))f 处的切线方程； 4.设函数2()ln ,,=-∈R f x a x bx a b .若曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为12 =-y ,求实数,a b 的值； 5.(选做题)已知曲线21:C y x =与()22:2C y x =--，若直线l 与1C ，2C 都想且，求直线l 的方程 6. 设函数()b f x ax x =-，曲线()y f x =在()2,(2)f 处的切线方程为74120x y --= (1)求()y f x =的表达式； (2)证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值 题目：导数法求切线方程的三种题型求曲线的切线方程是导数的重要应用之一。用导数求切线方程的关键在于清楚导数的几何意义：切线的斜率就是函数y=f(x)在切点处的导数。 下面举出长建的题型及解法： 题型一：已知切点，求曲线的切线方程。 例1：求函数y=f(x)=2x3在x=1处的切线方程。 解：先求y’=f’(x)=6x2 f’(1)=6×1=6=k 当x=1时y=2 ∴切点为(1,2) y-2=6(x-1) y=6x-4 题型二：已知曲线外一点，求曲线的切线方程。 例2：已知函数f(x)=x3-3x，过点A(0,16)做曲线y=f(x)的切线，求切线方程。 解：带入可知点A不在曲线上。 设切点M(x0,y0)，且点M位于曲线上，满足 y0=x03-3x0① f’(x)=3x2-3 f’(x0)=3x02-3=k ② 又有k=(Y0-16)/(x0-0) ③ ①带入③，且②=③，得到 3x02-3=(x03-3x0)/x0 解得x0=-2 ∴y0=-2 ∴M坐标为（-2，-2）K=3×(-2)2-3=9 ∴y+2=9(x+2) Y=9x+16 题型三：弄清“过某点的切线”与“在某点的切线” 例3：(1)求曲线y=x3-2x在点A(1,-1)处的切线方程。 (2)求过曲线y=x3-2x上的点A(1,-1)处的切线方程。 解：(1)做法仿照例1 可得切线方程为x-y-2=0 (2)设切点为(x0,y0),则有y0=x03-3x0 f’(x0)=3x02-2 3x02-2=k=(y0+1)/(X0-1) 3x02-2= (x03-3x0+1)/ (X0-1) 解得x0=1或x0=-1/2 当x0=1时y0=-1 切点为(1,-1) 此时切线方程为x-y-2=0 当x0=-1/2时y0=7/8 切点为(-1/2,7/8) 对结果进行分析可知：“在点A处”实际是指A点就是切点，用导数求切线方程的四种类型
导数与函数的切线及函数零点问题
用导数求切线方程的四种类型
用导数求切线方程的一个误区
求导公式练习及导数与切线方程
导数求切线方程专题训练
利用导数求切线方程
导数法求切线方程的三种题型