用导数求切线方程及应用

知识回顾：

导数的几何意义：

函数/■（%）在X =兀0处的导数/'（观）就是：

曲线y = / （兀）在点F（兀。J （兀。））处的切线PT的斜率。

即£二/ （兀0），在点尸处的切线方程为

y —北=广（兀0）（兀一兀0）

四种常见的类型及解法.

•类型一：已知切点，求曲线的切线方程

•此类题较为简单，只须求出曲线的导数，并代入点斜式方程即可.

例1・已经曲线C：歹=兀3—兀+ 2和点A(152)O求曲线C在点A处的切线方程?

类型二已知斜率，求曲线的切线方程

此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决.

例2与直线2—y + 4 = 0 的平行的抛物线y = x2的切线方程是 --------------- 评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用A法加以

练习：若曲线C上一点P处的切线恰好平行于直

线y=11x—1,则P点坐标为(2,8)或(一 2, -伞)切线方程为

1 ix— y—14 = +18 = 0

类型三：已知过曲线上一点，求切线方程

过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法.

•例3求过曲线yr3-2兀上的点(1, -1)的切线方程.

类型四：已知过曲线外一点，求切线方程 此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法 来求解.

练习已知函数y"—3/过点4(0,16)作曲线 『 = /(励切线，求此切线方程.

例6.已知曲线C:F 二4y,直线/:兀-y-4 = 0,在曲线

C 上 求一点P,使P 到直线/的距离最短，并求出最

小值。

例4・求过点(2,0)且与曲线 直线

方程. 1

y = — 相切的

X

r2 1

h —罕—41 i(x-2)2 + 3

4 _ 4

(1)解析一：设P(x,务)；〃二

72 近

当兀=2时，即点P坐标为⑵1)时，〃斷=攀

(2)解析二：设与直线/平行的直线r与曲线c相切于尸(兀°,

= ^ = l,x0=2.-. P(2,l)血=12~^4'=芈

巩固练习：

l.y = 3x2— 4x + 2在点JT = 1 处的切线方程是:2x-y-1 = °

2 •在曲— x

3 + 3x2 + 6x +10的切线斜率最小的切线方程是3x-y + 9 = 0

3.曲线y = lnjv上的点到直线兀―y + 3 = 0 的最短距离是空迈