高考之平面向量与空间向量

十年高考之平面向量与空间向量

●考点阐释

1.向量是数学中的重要概念，并和数一样，也能运算.它是一种工具，用向量的有关知识能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题.

向量法和坐标法是研究和解决向量问题的两种方法. 坐标表示，使平面中的向量与它的坐标建立了一一对应关系，用“数”的运算处理“形”的问题，在解析几何中有广泛的应用.向量法便于研究空间中涉及直线和平面的各种问题.

2.平移变换的价值在于可利用平移变换，使相应的函数解析式得到简化. ●试题类编 一、选择题 1.（2002上海春，13）若a 、b 、c 为任意向量，m ∈R ，则下列等式不一定．．．

成立的是（ ） A.（a +b ）+c =a +（b +c ） B.（a +b ）·c =a ·c +b ·c C.m （a +b ）=m a +m b D.（a ·b ）c =a （b ·c ）

2.（2002天津文12，理10）平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1），

B （－1，3），若点

C 满足OB OA OC βα+=，其中α、β∈R ，且α+β=1，则点C 的轨

迹方程为（ ）

A.3x +2y －11=0

B.（x －1）2+（y －2）2

=5 C.2x －y =0 D.x +2y －5=0 3.（2001江西、山西、天津文）若向量a =（3，2），b =（0，－1），则向量2b －a 的坐标是（ ）

A.（3，－4）

B.（－3，4）

C.（3，4）

D.（－3，－4）

4.（2001江西、山西、天津）设坐标原点为O ，抛物线y 2

=2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，则OB OA ⋅等于（ ）

A.

4

3

B.－

4

3 C.3 D.－3

5.（2001上海）如图5—1，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若B A 1=a ，11D A =b ，A A 1=c .则下列向量中与

M B 1相等的向量是（ ）

A.－

21a +2

1

b +

c B.

21a +21b +c C.

21a －2

1

b +

c D.－

21a －2

1b +c 图5—1

6.（2001江西、山西、天津理，5）若向量a =（1，1），b =（1，－1），c =（－1，2），则c 等于（ ）

A.－21a +2

3

b

B.2

1

a －23b

C.

23a －2

1

b

D.－

23a +2

1

b 7.(2000江西、山西、天津理，4)设a 、b 、

c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则 ①（a ·b ）c －（c ·a ）b =0 ②|a |－|b |<|a －b | ③（b ·c ）a －（c ·a ）b 不与c 垂直

④（3a +2b ）（3a －2b ）=9|a |2

－4|b |2

中，是真命题的有（ ）

A.①②

B.②③

C.③④

D.②④

8.（1997全国，5）如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率为（ ）

A.－

3

1 B.－3 C.

3

1 D.3

二、填空题

9.（2002上海文，理2）已知向量a 和b 的夹角为120°，且|a |=2，|b |=5，则（2a －b ）·a =_____.

10.（2001上海春，8）若非零向量α、β满足|α+β|=|α－β|，则α与β所成角的大小为_____.

11.（2000上海，1）已知向量OA =（－1，2），OB =（3，m ），若OA ⊥AB ，则m = . 12.（1999上海理，8）若将向量a =（2，1）围绕原点按逆时针方向旋转

4

π

得到向量b ，

则向量b 的坐标为_____.

13.（1997上海，14）设a =（m +1）i －3j ，b =i +（m －1）j ，（a +b ）⊥（a －b ），则m =_____. 14.（1996上海，15）已知a +b =2i －8j ，a －b =－8i +16j ，那么a ·b =_____.

15.（1996上海，15）已知O （0，0）和A （6，3）两点，若点P 在直线OA 上，且2

1

=PA OP ，又P 是线段OB 的中点，则点B 的坐标是_____. 三、解答题

16.（2003上海春，19）已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1，在某个空间直角坐标系中，1},0,0,{},0,2

3,2{

AA m AC m AB =-=={0，0，n }.（其中m 、n >0）.如图5—2.

图5—2

（1）证明：三棱柱ABC —A 1B 1C 1是正三棱柱； （2）若m =

2n ，求直线CA 1与平面A 1ABB 1所成角的大小.

17.（2002上海春，19）如图5—3，三棱柱OAB —O 1A 1B 1，平面OBB 1O 1⊥平面OAB ，∠

O 1OB =60°，∠AOB =90°，且OB =OO 1=2，OA =3.求：

（1）二面角O 1—AB —O 的大小；

（2）异面直线A 1B 与AO 1所成角的大小. （上述结果用反三角函数值表示）

18.（2002上海，17）如图5—4，在直三棱柱ABO —A ′B ′O ′中，OO ′=4，OA =4，OB =3，∠AOB =90°，D 是线段A ′B ′的中点，P 是侧棱BB ′上的一点，若OP ⊥BD ，求OP 与底面AOB 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）

图5—3 图5—4 图5—5

19.（2002天津文9，理18）如图5—5，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为

2a .

（1）建立适当的坐标系，并写出点A 、B 、A 1、C 1的坐标； （2）求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.

20.（2002天津文22，理21）已知两点M （－1，0），N （1，0），且点P 使,MN MP ⋅

,PN PM ⋅NP NM ⋅成公差小于零的等差数列.

（1）点P 的轨迹是什么曲线？

（2）若点P 坐标为（x 0，y 0），θ为PM 与PN 的夹角，求tan θ.

21.（2001江西、山西、天津理）如图5—6，以正四棱锥V —ABCD 底面中心O 为坐标原点建立空间直角坐标系O —xyz ，其中Ox ∥BC ，Oy ∥AB ，E 为VC 的中点，正四棱锥底面边长为2a ，高为h .

（1）求cos；

（2）记面BCV 为α，面DCV 为β，若∠BED 是二面角α—VC —β的平面角，求∠BED .