高中数学 第二章 24 等比数列 第一课时 等比数列的概念及通项公式 新人教A版必修5PPT课件

① ②
②÷①得q(1－q)＝14， 解得q＝12，∴a1＝q14－2 q3＝96. 设G是a5与a7的等比中项， 则G2＝a5·a7＝a21q10＝962×(12)10， ∴G＝±3.
[研一题] [例3] 数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1 ＝n＋n 2Sn(n＝1,2,3，…)．证明： (1)数列{Snn}是等比数列； (2)Sn＋1＝4an.
[自主解答] 由题意知a3是a1和a9的等比中项， ∴a23＝a1a9.∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，得a1＝d， ∴aa21＋＋aa43＋＋aa190＝1136dd＝1136.
[悟一法]
等比中项的应用问题：
已知等比数列中的相邻三项an－1，an，an＋1，则an是an－1
与an＋1的等比中项，即a
[小问题·大思维] 1．判断下列数列是否为等比数列？
(1)2,2,2,2，…； (2)－1,1,2,4,8，…； (3)a1，a2，a3，…，an，…. 提示：(1)是．(2)不是．(3)当a＝0时不是，当a≠0时是等 比数列．
2．若a，G，b成等比数列，则a，b满足什么条件？ 提示：ab＞0.
若将“an＋1＝
n＋2 n
Sn”改为“an＋1＝2Sn＋1”，其它
条件不变，试判断数列{an}是否为等比数列？
解：∵an＋1＝2Sn＋1，∴an＝2Sn－1＋1(n≥2)． 两式相减，得an＋1－an＝2an，即an＋1＝3an(n≥2)， 又a2＝2S1＋1＝3，a1＝1， ∴a2＝3a1. ∴{an}是首项为1，公比为3的等比数列．
2 n
＝an－1an＋1.运用等比中项解决问题，
会简化运算过程．
[通一类] 2．在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝168，a2－a5＝42，
求a5，a7的等比中项．
解：设公比为q，
由题意得aa11＋ q－a1aq1＋ q4＝a1q422＝，168，
∴aa11q1＋ 1－q＋ q3q＝2＝ 42，168，
[悟一法] 判断或证明一个数列为等比数列常用的方法有： (1)定义法： aan＋n 1＝q(q为常数且q≠0)等价于{an}是等比数列． (2)等比中项法： a2n＋1＝anan＋2(n∈N*且an≠0)等价于{an}是等比数列． (3)通项公式法： an＝a1qn－1(a1≠0且q≠0)等价于{an}是等比数列．
a1＝4， 或q＝12，
故an＝2n－1或an＝23－n.
[悟一法] a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量， 便可求出数列中的任意一项，法一是常规解法，先求a1， q，再求an，法二是运用通项公式及方程思想建立方程组 求a1和q，也是常用的方法．
[通一类] 1．已知{an}为等比数列，且a5＝8，a7＝2，该数列的各
项都为正数，求an.
解：∵a5＝a1·q4＝8，a7＝a1·q6＝2， ∴q2＝28＝14，q＝±12.而an各项都为正数， ∴q＝12，a1＝1284＝128. ∴an＝a1·qn－1＝128×(12)n－1＝28－h.
[研一题] [例2] 等差数列{an}中，公差d≠0，且a1，a3，a9成等 比数列，则aa21＋＋aa43＋＋aa190等于多少？
[自主解答] (1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝n＋n 2Sn， ∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)． 整理，得nSn＋1＝2(n＋1)Sn， ∴nS＋n＋11 ＝2Snn.故{Snn}是以2为公比的等比数列．
(2)由(1)知nS＋n＋11 ＝4·nS－n－11 (n≥2)． 于是Sn＋1＝4(n＋1)·nS－n－11 ＝4an(n≥2)， 又∵a2＝3S1＝3，故S2＝a1＋a2＝4＝4a1. 因此对于任意正整数n≥1，都有Sn＋1＝4an.
[通一类] 3．已知数列{an}满足an＋1＝12an＋13(n＝1,2,3，…)
(1)当an≠23时，求证{an－23}是等比数列； (2)当a1＝76时，求数列{an}的通项公式．
2．等比中项 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a，G，b 成等比数 列，那么 G 叫做 a 与 b 的 等比中项 ，这三个数满足关系式 G＝± ab .
3．等比数列的通项公式
已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则数 列{an}的通项公式为an＝ a1qn－1(q≠0) ．
第
2.
二
4
章
等
比
数数
列列
第一 课时
等比 数列 的概 念及 通项 公式
课前预习·巧设计
名
师
课 堂
考点一
· 一
考点二
点 通
考点三
创
新
演 练
N0.1 课堂强化
·
大
N0.2 课下检测
冲
关
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[读教材·填要点] 1．等比数列的概念 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比 等于 同一常数 ，那么这个数列就叫做等比数列，这个常 数叫做等比数列的 公比 ，通常用字母q表示(q≠0)．
法二：设公比为q，由等比数列的定义知a2＝a1q，a3＝ a1q2，代入已知得，
a1＋a1q＋a1q2＝7， a1·a1q·a1q2＝8，
即aa131q13＝＋8q.＋q2＝7，
即aa11q1＝＋2q＋q2②＝7
①
将a1＝2q代入①得2q2－5q＋2＝0，
∴q＝2或q＝12.
பைடு நூலகம்
由②得aq1＝＝21
[研一题] [例1] 已知等比数列{an}，若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3 ＝8，求an.
[自主解答] 法一：∵a1a3＝a22， ∴a1a2a3＝a32＝8，∴a2＝2.从而aa11＋ a3＝a3＝ 4 5 解得 a1＝1，a3＝4 或 a1＝4，a3＝1. 当 a1＝1 时，q＝2；当 a1＝4 时，q＝12. 故 an＝2n－1 或 an＝23－n.
3．若2，A,8成等差数列，A为何值？若2，A,8成等比数列呢？ 提示：若 2，A,8 成等差数列，则 A＝2＋2 8＝5；
若 2，A,8 成等比数列，则 A2＝16，即 A＝±4.
4．等比数列的通项公式与哪种函数相类似？ 提示：指数型函数，因 an＝(aq1)qn.
5．等比数列中能否含有一项ak＝0? 提示：不能．等比数列的任何一项均不能为0.