含参变量有限积分的性质及应用

重庆三峡学院数学分析课程论文含参变量有限积分的性质及应用

院系数学与统计学院

专业数学与应用数学（师范）

姓名张杨府

年级 2009级

学号 ************

指导教师刘学飞

2011年6月

含参变量有限积分的性质及应用

张杨府

(重庆三峡学院 数学与统计学院 2009级数本一班)

摘 要: 本文主要通过含参变量有穷积分的连续性定理、积分号下可微分定理、积分号下可积.分定理、积分次序可换定理来说明含参变量有限积分的性质，并且阐述了它在数学中的应用。

关键词: 参变量 有限积分 连续性 可微性 可积性

1 含参变量的有限积分的定义

设二元函数(,)f x μ在矩形域R (α≤⨯≤β , α≤μ≤β)有定义, 一元函数(,)f x μ在∀μ∈[α,β]可积,即积分 (,)b

a f x u dx ⎰存在. ∀μ∈[α,β]都对应唯一一个确定的积分(,)

b a f x u dx ⎰

.于是,积分(,)b a f x u dx ⎰是在定义区间的[α,β]函数,表为ϕ(μ)=

(,)b a f x u dx ⎰称为含参变量的有限积分, μ称为参变量.

2 含参变量有限积分的性质定理

定理1

如果函数(,)f x μ在矩形域R (α≤⨯≤β , α≤μ≤β)连续,则(,)f x μ函数ϕ(μ)= (,)b

a f x u dx ⎰在区间[α,β]也连续. 该定理表明,定义在闭矩形域上的连续函数,其极限运

算的顺序是可以交换的.

证明 ],[βα∈∀u ，取u ∆，使u +u ∆∈],[βα,有

)()(u u u ϕϕ-∆+=⎰-∆+b

a dx u x f u u x f )],(),([

|)()(u u u ϕϕ-∆+|≤⎰-∆+b a dx u x f u u x f |),(),(| 函数),(u x f 在闭矩形域R 一致连续，即

0,0>∃>∀δε,11221212(,),(,):||,||x y x y D x x y y δδ∀∈-<-<

2211特别是 ε<∆∈∆+∀|:|),(),,(u R u u x u x

于是 0||>∆u ，

有 |)()(u u u ϕϕ-∆+|≤⎰-∆+b

a dx u x f u u x f |),(),(|a

b a b --<)(ε， 即函数)(u ϕ在区间],[βα连续。

定理2

如果函数(,)f x μ与

(,)f x μμ∂∂在矩形域(,R a x b αμβ≤≤≤≤) 连续,则函数ϕ(μ)= (,)b a f x u dx ⎰在区间[α,β]可导,且∀μ∈[α,β]有

(,)b a d f x dx d ϕμμμ∂=μ∂⎰()或(,)(,)b b a a d f x f x dx d μμμ

∂=μ∂⎰⎰ 简称积分号下可微。

该定理说明了被积函数及其偏导数在闭矩形上连续时,倒数与积分运算时可以交换次序的。 证明 ],[βα∈∀u ，取u ∆，使u u ∆+∈],[βα，有

)()(u u u ϕϕ-∆+=⎰-∆+b a dx u x f u u x f )],(),([. (1)

已知 u

f ∂∂在R 存在，根据微分中值定理，有 ),(),(u x f u u x f -∆+=u u u x f u ∆∆+),('θ， 10<<θ。

将它代入（1）式等号两端除以u ∆，有

u u u u ∆-∆+)

()(ϕϕ=⎰∆+b

a u dx u u x f ),('θ，10<<θ。

在上面等式等号两端减去

⎰b a u dx u x f ),('，有 |u

u u u ∆-∆+)

()(ϕϕ⎰-b a u dx u x f ),('| ≤⎰-∆+b a u u dx u x f u u x f |),(),(|''θ

由所学知，函数),('u x f u 在闭矩形域R 一致连续，即

0,0>∃>∀δε,δ<∆∈∆+∀|:|),(),,(u R u u x u x ,

u u 从而，有 |u

u u u ∆-∆+)()(ϕϕ⎰-b

a u dx u x f ),('|)(a

b -≤ε 即0lim →∆u u

u u u ∆-∆+)()(ϕϕ=⎰b a u dx u x f ),(' 或du d )(u ϕ=dx u u x f b a ⎰∂∂),(.

定理3

如果函数(,)f x μ在矩形域(,R a x b αμβ≤≤≤≤)连续,

则函数((,)b

a f x dx ϕμμ⎰)=在区间 [α,β] 可积,且

{(,)}{(,)}b b a a f x d f x dx ββαα

μμμ=⎰⎰⎰⎰简称积分号下可积。 该定理表明,定义在闭矩形域上的连续函数,关于不同变数的积分(简称累次积分)可交换积分次序。

定理4

若函数(,)x u f 与f μ

∂∂在矩形域R (,)a x b αμβ≤≤≤≤连续，而)(u a 与)(u b 在区间],[βα可导，],[βα∈∀u ，有

b u a a ≤≤)(, b u b a ≤≤)(,

则函数)(u ψ=⎰)

()(),(u b u a dx u x f 在区间],[βα可导，且

du d )(u ψ=dx u

u x f u b u a ⎰∂∂)()(),(+)(]),(['u b u u b f )(]),(['u a u u a f - 证明 ],[βα∈∀u ，设)(),(u b z u a y ==与⎰z

y dx u x f ),(=),,(u z y F 有

)(u ψ=⎰

)()(),(u b u a dx u x f =]),(),([u u b u a F 已知y F ∂∂，z F ∂∂，u

F ∂∂都是连续函数。则函数),,(u z y F 关于变量u 可导，有 )('u ψ=u F ∂∂+y F ∂∂du dy +z F ∂∂du

dz