实验2 MATLAB有限元计算

MATLAB 电磁场有限元计算

实验目的：

1、了解有限元算法的原理，熟练运用MATLAB 环境的PDE 工具。

2、熟练运用PDE 工具分析简单的电磁场边值问题。

实验内容：

一、 有限元简介

在电磁场的计算中, 仅对那些具有最简单边界条件和场域几何形状规则的问题才有解析解, 多数问题的求解必须用数值计算的方法,其场域分布的数值计算内容是学习难点。本实验将有限元法和Matlab 结合起来对电磁场教学中的电位分布问题进行计算。结果表明使用Matlab 对有限元分析编程中的矩阵进行处理,程序设计清晰简便,易于理解和实现。

(节点)

element (单

有限元法是以变分原理和剖分插值为基础的一种数值计算方法,是将场域方程等价为一个条件变分问题,然后由条件变分问题对场域进行剖分离散为方程组进行求解。对于一个电场来说,其储能总是趋于最小,

这样变分法的泛函和电场的储能就联系起来了。对于边界为L 的无源空气介质二维静电场中,一个封闭场域S 内的等价能量泛函可以写为:

在有限元分析中,将所研究的区域 S 划分成有限的n 个三角形网格单元。 对应m 个节点, ds 为单元e 的面积。对任意三角形单元 e 中任一点的电位可以认 为由该三角形的三个节点(分别设为i 、 j 、 k) 上的电位u 随该点坐标x 、

y 变化而线性确定。 因此, 对于单元e 构造插值函数:

其中a h 称为形状函数。那么有插值函数的一阶偏导数为:

从而得到能量函数We:

则将单元e中的能量函数We 对每一个节点电位ul ( l = i, j , k)求一阶偏导数, 得:

表示为矩阵形式有：

然后进行总体合成, 将各单元的能量函数对同一节点的电位一阶偏导数相加, 获得所要求解的线性方程组。由以上分析,可知在该场域内电场有限元数学模型为:

式中U 为n 个节点处的待求电位, K 为n 阶矩阵。最后进行强加边界条件处理, 消去已知电位节点在系数矩阵中所在的行和列, 得到简化后的方程,继而可以对电位进行求解。流程框图如下图所示。

二、静电场仿真

静态场满足上方基本方程，式中 D 为电位移, 为电荷密度, H 为磁场强度, J 为电流密度, E为电场强度, B为磁感应强度.对于恒定的电场:

式中电位满足泊松( Poisson)方程:

对于不存在电荷的空间部分有电荷体密度为零,上式退化为拉普拉斯( Laplace) 方程:

利用上述方程, 再加上边界条件, 利用Matlab 中的偏微分工具箱, 即可求解带电体周围空间的电场分布.输入pdetool可进入软件环境。

两点电荷的电场：两等值异号点电荷单位, 两者间距为1,求其电势分布.整个

求解域取中心为原点,半径为 2 的圆,两空间电荷点位置为(-0.5,0)和( 0.5,0),作为

一种近似,画一个尽量小的圆,取半径为0.05.大圆的边界条件是Di richlet边界条

件,取h= 1, r= 0,这种做法是模拟远处的电势为零.由于大圆与小圆之间的区域没

有电荷, 满足Laplace 方程, 因此在选择方程时选取Elliptic(椭圆)方程,其方程类

型为:

取系数为c= 1, a= 0, f= 0.在表示点电荷的小圆内, 我们认为电荷是均匀分布的, 满足Poisson 方程, 在选择方程时也取Elliptic方程, 取系数为c= 1, a= 0, f= 0. 2.其两点电荷电势分布上图所示,电力线用箭头表示.

三、静电场中的导体

问题描述: 在电场强度为E 的静电场中放置一根无限长的导体,研究截面上的电势分布。首先画一个2*2的矩形R1,然后在中心原点画半径为0. 3的圆E1.然后将Set formula对话框中的公式改为R1-E1,表示求解区域为二者之差.矩形所有的边界条件是Dirichlet边界条件, 取h=1, r= y.而在圆的边界取h=1, r=0.由于求解域没有电荷,因此在选择方程时选取Elliptic(椭圆)方程,系数为c=1, a=0, f=0.其电势分布如下图所示,电力线用箭头表示.

四、两根载流长直导线的磁场

问题描述: 两根载流长直导线,相距为0.8,导线直径为0.2, 求电流引起的磁场. 从麦克斯韦(Maxwell)方程组出发,其磁场强度B和磁感应强度H的关系为:

μ

=

B H

磁场势A 与B 有如下关系: =∇⨯

B A

故可简化为椭圆方程:

2μ

∇=-

A J

画出大小为2* 2的矩形R1,两导线用直径为0. 2、相距0. 8 的两个圆表示.矩形

的边界条件是Di richlet边界条件,取h= 1, r= 0。这种做法是模拟远处的磁场势为零.在设置方程类型时, 选取应用模式为Mangetostatics.故在选择方程时选取Elliptic(椭圆)方程, 对于矩形其它部分系数取μ=1、J=0.在表示导线的圆内,取μ= 1, J=1.两根载流长直导线的磁场势和磁力线如下图所示,磁力线用箭头表示.

实验要求：

(1)有限元法计算电磁场问题的基本思想是什么？

(2)求解静电场两个等量异号带电导线电场位函数及电场强度。

(3)求解静电场中的导体等等势面，写出导体与电介质分界面上的衔接条件，

并与实验结果对比。

(4)写出2μ

A J方程的推导过程。求解两根载流长直导线的磁场磁密分布。

∇=-

(5)以上所有内容在做完实验后将截图及资料保存在word文档里，打印后上

交、！

张献