知识点22 线段垂直平分线、角平分线、中位线2020

一、选择题

6．（2020·枣庄）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB 于点D，交BC于点E，连接AE．若BC=6，AC=5，则△ACE的周长为（）

A．8B．11C．16D．17

{答案}B{解析}利用线段垂直平分线的性质进行等线段间的转换，然后整体求值．∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，∴△ACE的周长=AC+CE+AE=AC+CE+BE=AC+BC=5+6=11．

7．（2020·怀化）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD ＝3，则DE的长为（）

A．3B．

3

2

C．2D．6

{答案}A

{解析}根据角平分线的性质即可求得．

解：∵∠B＝90°，

∴DB⊥AB，

又∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，

∴由角平分线的性质得DE＝BE＝3，

故选：A．

1．（2020·河北）如图1，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有

A.0条

B.1条

C.2条

D.无数条

{答案}D

{解析}在平面内，过任意一点都能作出直线m的一条垂线，故这样的垂线有无数条，选项D正确.

7．(2020·成都)如图，在△ABC中，按以下步骤作图：△分别以点B和C为圆心，以大于1

2

BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；△作直线MN交AC于点D，连接BD．若AC＝6，AD＝2，则BD的长为（）

A

B C

D

E

A ．2

B ．3

C ．4

D ．6 {答案}C{解析}根据线段垂直平分线的性质即可得到结论． 解：由作图知，MN 是线段BC 的垂直平分线，

△BD ＝CD ，△AC ＝6，AD ＝2，△BD ＝CD ＝4，故选：C ．

9．(2020·成都)如图，直线l 1△l 2△l 3，直线AC 和DF 被l 1，l 2，l 3所截，AB ＝5，BC ＝6，EF ＝4，则DE 的长为（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．10

3

{答案}D{解析}根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可． 解：△直线l1△l2△l3，△AB

BC =

DE

EF

，△AB ＝5，BC ＝6，EF ＝4，△56=DE

4

，△DE =103

，故选：D ．

4．（2020·宜昌）如图，点E ,F ,G ,Q,H 在一条直线上，且EF =GH ,我们知道按如图所作的直线l 为线段FG 的垂直

平分线，下列说法正确的是（ ）.

A ．l 是线段EH 的垂直平分线

B ．l 是线段E Q 的垂直平分线

C ．l 是线段FH 的垂直平分线

D ．EH 是线段l 的垂直平分线

{答案}A{解析}根据垂直平分线的定义，可得l 经过FG 的中点O ，△EF=GH ，△EO=HO,△l 是线段EH 的垂直平分线.

8．（2020·凉山州）点C 是线段AB 的中点，点D 是线段AC 的三等分点．若线段AB ＝12cm ，则线段BD 的长为（ ）

A ．10 cm

B ．8 cm

C ．10 cm 或8 cm

D ．2 cm 或4 cm {答案}C{解析}如答图，由中点及三点分点可知，BD ＝6＋2＝8或BD ＝6＋4＝10，从而线段BD 的长为10 cm 或8 cm ，故选C ．

4．（2020·广州）△ABC 中，点D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 的中点，连接DE ，若∠C=68゜，则∠AED=（ ）A ．22゜ B ．68゜ C ．96゜ D ．112゜ {答案}B

{解析}本题考查了三角形中位线定理，由题目条件可知，DE 是△ABC 的中位线，三角形的中位线平行于第三边，所以DE//BC ，所以∠AED=∠C=68゜，因此本题选B ．

10．（2020·烟台）如图，点G 为△ABC 的重心，连接CG ，AG 并延长分别交AB ，BC 于点E ，F ，连接EF ，若AB ＝4.4，AC ＝3.4，BC ＝3.6，则EF 的长度为（ ）

（第4

第8题答图

2

2

2

6

21

A

A．1.7B．1.8C．2.2D．2.4

【解析】∵点G为△ABC的重心，∴AE＝BE，BF＝CF，∴EF=1

2

AC=1.7，故选：A．

12．（2020·淄博）如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC ＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（）

A．a2+b2＝5c2B．a2+b2＝4c2C．a2+b2＝3c2D．a2+b2＝2c2

【解析】设EF＝x，DF＝y，

∵AD，BE分别是BC，AC边上的中线，

∴点F为△ABC的重心，AF=1

2AC=

1

2b，BD=

1

2a，

∴AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x，∵AD⊥BE，

∴∠AFB＝∠AFE＝∠BFD＝90°，在Rt△AFB中，4x2+4y2＝c2，①

在Rt△AEF中，4x2+y2=1

4b

2，②

在Rt△BFD中，x2+4y2=1

4a

2，③

②+③得5x2+5y2=14（a2+b2），

∴4x2+4y2=1

5（a

2+b2），④

①﹣④得c2?15（a2+b2）＝0，即a2+b2＝5c2．

故选：A．

二、填空题

16.（2020·苏州）如图，在ABC ?中，已知2AB =，AD BC ⊥，垂足为D ，2BD CD =.若E 是AD 的中点，则EC =_________.

{答案}1

{解析}本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理，定理，取BD 中点F ，连接EF ，因为BD=2CD ，所

以FD=CD,因为AD BC ⊥，所以EF=CE,因为E 是AD 的中点，所以EF 为△ABD 的中位线，所以EF=EC=1

2AB=1.

12．（2020·镇江）如图，在△ABC 中，BC =3 ，将△ABC 平移5个单位得到△A 1B 1C 1 ，点P 、Q 分别是AB 、A 1C 1 的中点，PQ 的最小值等于 ．

{答案}3．5

{解析}本题考查了中位线和平移的知识，取AC 的中点D ，连接PD ，则PD ＝1

2

BC ＝1．5，DQ ＝5，PQ 的最小值为5－1．5＝3．5．

18．（2020·常州）如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，AB ＝62，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，连接DE ，在直线

DE 和直线BC 上分别取点F 、G ，连接BF 、DG ．若BF ＝3DG ，且直线BF 与直线DG 互相垂直，则BG 的

长为________．

F

A

P

Q

A 1

B 1

C 1

{答案}2或4

{解析}本题考查了三角形中位线定理，相似三角形，等腰直角三角形三边关系等知识点，考查了分类讨论思想．①如图①，F 在射线ED 上，过点B 作BM ⊥DF ，过点D 作DN ⊥BC

∵D 为中点，∴BD ＝B ＝45°，∴BN ＝DN ＝3，∴BM ＝DN ＝3 ∵BF ⊥DG ，∴∠F ＋∠FDH ＝90°．又∠F ＋∠FDH ＝90°

∴△FMB ∽△DNG ，∴

3BF BM GD GN ==，3

3GN

= ∴GN ＝1，∴BG ＝3－1＝2 ②过点D 作DM ⊥BC ，过F 作FN ⊥BC .DM ＝BM ＝3，∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90° ∴∠1＝∠3，又∠DMG ＝∠BNF ＝90°

∴△DMG ∽△BNF ∴

DG BF

MG NF

=

∴BF ＝3DG ∴NF ＝3MG ＝DM ＝3 ∴MG ＝1 ∴BG ＝BM ＋MG ＝3＋1＝4 综上所述：BG ＝2或4

图1

图2

15. (2020·湘潭)如图，点P 是AOC ∠的角平分线上一点，PD OA ⊥，垂足为点D ，且3PD =，点M 是射线

OC 上一动点，则PM 的最小值为________．

{答案}3

{解析}本题考查了垂线段最短、角平分线的性质，根据垂线段最短可知当PM ⊥OC 时，PM 最小，再根据角的平分线的性质，即可得出答案．

根据垂线段最短可知：当PM ⊥OC 时，PM 最小， 当PM ⊥OC 时，

又∵OP 平分∠AOC ，PD OA ⊥，3PD =， ∴PM =PD =3 故答案为：3

（2020·本溪）15．（3分）如图，在△ABC 中，M ，N 分别是AB 和AC 的中点，连接MN ，点E 是CN 的中点，连接ME 并延长，交BC 的延长线于点D ．若BC ＝4，则CD 的长为 2 ．

{答案}2

{解析}∵M ，N 分别是AB 和AC 的中点， ∴MN 是△ABC 的中位线， ∴MN =12

BC ＝2，MN ∥BC ， ∴∠NME ＝∠D ，∠MNE ＝∠DCE ， ∵点E 是CN 的中点， ∴NE ＝CE ，

∴△MNE ≌△DCE （AAS ）， ∴CD ＝MN ＝2．

5．(2020·青海)如图2，△ABC 中，AB ＝AC ＝14cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，且△DBC 的周长是24cm ，则BC ＝______cm ．

{答案}10

{解析}∵MN垂直平分AB，∴AD ＝BD．∵△DBC的周长为24，∴BD＋DC＋BC＝24，即AC＋BC＝24．∴BC ＝24－AC＝24－14＝10．

三、解答题

25. (2020·湘潭)阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．

（1）特例感知：如图（一），已知边长为2的等边△ABC的重心为点O，求△OBC与△ABC的面积．

（2）性质探究：如图（二），已知△ABC的重心为点O，请判断

OD

OA

、OBC

ABC

S

S是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值：如果不是，请说明理由．

（3）性质应用：如图（三），在正方形ABCD中，点E是CD的中点，连接BE交对角线AC于点M．

①若正方形ABCD的边长为4，求EM的长度；

②若1

CME

S=，求正方形ABCD的面积．

{解析}（1）连接DE，利用相似三角形证明

1

2

OD

AO

=，运用勾股定理求出AD的长，运用三角形面积公式求解即可；

（2）根据（1）的证明可求解；

（3）①证明△CME∽△ABM得

1

2

EM

BM

=，再运用勾股定理求出BE的长即可解决问题；

M

N

D

C

A

B

图2

②分别求出S △BMC 和S △ABM 即可. {答案}（1）连接DE ，如图，

∵点O 是△ABC 的重心，

AD ∴，BE 是BC ，A C 边上的中线，

D E ∴，为BC ，AC 边上的中点， DE ∴为△ABC 的中位线，

//DE AB ∴，1

2

DE AB =

， ∴~ODE OAB ，

1

2

OD DE OA AB ∴

==， 2AB ∴=，1BD =

AD ∴=

，3

OD =

，

11222OBC

S

BC OD ∴=

??=?=

11222

ABC

S

BC AD =??=?=； （2）由（1）可知，

1

2

OD OA =是定值； 1

1

2132OBC ABC

BC OD S OD S AD BC AD ?===?是定值； （3）①∵四边形ABCD 是正方形，

//CD AB ∴，4AB BC CD ÷==，

∴CME

AMB

EM CE

BM AB

∴

= ∵E 为CD 的中点，

1

22

CE CD ∴==

BE ∴==1

2EM BM ∴

= 13EM BE ∴=

，即EM = ②∴1CME

S =，且

1

2

ME BM = ∴2BMC

S =，

∵

1

2

ME BM =， ∴2

14

CME AMB

S ME S

BM ??== ???， ∴4S 4AMB

CME

S

==，

246ABC BMC

ABM

S

S

S ∴=+=+=，

又ADC ABC S S =△△ ∴6ADC

S

=．

∴正方形ABCD 的面积为：6+6=12．

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