知识点22 线段垂直平分线、角平分线、中位线

知识点22 线段垂直平分线、角平分线、中位线一、选择题

5．(2019·泰州) 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成,点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 在小正方形的顶点上,则

△ABC 的重心是( )

A.点D

B.点E

C.点F

D.点G

第5题图

【答案】A

【解析】三角形的重心是三条中线的交点,由图中可知,△ABC 的三边的中点都在格点上,三条中线如图所示交于

点D,故选A.

第5题图

4．（2019·盐城）如图，点D 、E 分别是△ABC 边BA 、BC 的中点，AC ＝3，则DE 的长为( )

A ．2

B ．

C ．3

D ．

【答案】D 342

3E D

C A

E D G F

【解析】由中位线的定义可知DE 是△ABC 的中位线，进而由中位线的性质可得DE =21AC =2

3,故选D. 7．（2019·青岛）如图，BD 是△ABC 的角平分钱，AE ⊥BD ，垂足为F . 若∠ABC =35°，∠C =50°，则∠CDE 的度数为

A ．35?

B ．40?

C ．45?

D ．50?

【答案】C

【解析】本题考查角平分线的性质，因为BD 平分∠ABC ，AE ⊥BD ，所以△ABF ≌△EBF ,所以BD 是线段AE 的垂直平分线，所以AD =ED ，所以∠BAD =∠BED =180°-35°-50°=95°, 所以∠CDE =180°-∠C =95°-50°=45°,故选C .

1. （2019·湖州）如图，已知在四边形ABCD 中，∠BCD ＝90°，BD 平分∠ABC ，AB ＝6，BC ＝9，CD ＝4，则

四边形ABCD 的面积是（）

A ．24

B ．30

C ．36

D ．42

【答案】B ．

【解析】如图，过D 点作DE ⊥BA 于点D ，

又∵BD 平分∠ABC ，∠BCD ＝90°，

∴DC ＝DE ＝4．

∵AB ＝6，BC ＝9，

∴S 四边形ABCD ＝S △BCD ＋S 四边形ABD ＝

12AB ?DE ＋12BC ?DC ＝12×6×4＋12

×9×4＝12＋18＝30．故选B ．

二、填空题

C B A E

A B

C D

17．（2019·长沙）如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE=50m，则AB的长是 m．

【答案】100

【解析】∵AC，BC的中点D，E，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=1

AB.∵DE=50m，∴AB=100m. 故填：100．

18．(2019·广元)如图,已知:在△ABC中,∠BAC＝90°,延长BA到点D,使AD＝1

AB,点E,F分别是边BC,AC的

中点.

求证:DF＝BE.

第18题图

解：连接AE,∵点E,F分别是边BC,AC的中点,∴EF是△ABC的中位线,∴EF∥AB,即EF∥AD,且EF＝1

AB,又

∵AD＝1

AB,∴AD＝EF,∴四边形ADFE是平行四边形,∴DF＝AE,又∵在Rt△ABC中,点E是中点,∴AE＝

BC＝BE＝CE,∴BE＝DF.

线段的垂直平分线典型例题

典型例题例1．如图，已知：在ABC ?中，?=∠90C ，?=∠30A ，BD 平分ABC ∠交AC 于D . 求证：D 在AB 的垂直平分线上. 分析：根据线段垂直平分线的逆定理，欲证D 在AB 的垂直平分线上，只需证明DA BD =即可. 证明：∵?=∠90C ，?=∠30A （已知）， ∴ ?=∠60ABC （?Rt 的两个锐角互余）又∵BD 平分ABC ∠（已知） ∴ A ABC DBA ∠=?=∠=∠302 1. ∴AD BD =（等角对等边） ∴D 在AB 的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）. 例2．如图，已知：在ABC ?中，AC AB =，?=∠120BAC ，AB 的垂直平分线交AB 于E ，交BC 于F 。求证：BF CF 2=。分析：由于?=∠120BAC ，AC AB =，可得?=∠=∠30C B ，又因为EF 垂直平分AB ，连结AF ，可得BF AF =. 要证BF CF 2=，只需证AF CF 2=，即证?=∠90FAC 就可以了. 证明：连结AF ， ∵EF 垂直平分AB （已知） ∴FB FA =（线段垂直平分线上的点和这条线段两端点的距离相等） ∴B FAB ∠=∠（等边对等角）

∵AC AB =（已知）， ∴C B ∠=∠（等边对等角）又∵?=∠120BAC （已知）， ∴?=∠=∠30C B （三角形内角和定理） ∴?=∠30BAF ∴?=∠90FAC ∴FA FC 2=（直角三角形中，?30角所对的直角边等于斜边的一半） ∴FB FC 2= 说明：线段的垂直平分线的定理与逆定理都由三角形的全等证得，初学者往往不习惯直接使用绝无仅有垂直平分线的定理与逆定理，容易舍近求远，由三角形全等来证题. 例3．如图，已知：AD 平分BAC ∠，EF 垂直平分AD ，交BC 延长线于F ，连结AF 。求证：CAF B ∠=∠。分析：B ∠与CAF ∠不在同一个三角形中，又B ∠，CAF ∠所在的两个三角形不全等，所以欲证CAF B ∠=∠，不能利用等腰三角形或全等三角形的性质. 那么注意到EF 垂直平分AD ，可得FD FA =，因此ADF FAD ∠=∠，又因为CAD FAD CAF ∠-∠=∠，BAD ADF B ∠-∠=∠，而BAD CAD ∠=∠，所以可证明B CAF ∠=∠. 证明：∵EF 垂直平分AD （已知）， ∴FD FA =（线段垂直平分线上的点和这条线段的两端点的距离相等）. ∴ADF FAD ∠=∠（等边对等角） ∵BAD ADF B ∠-∠=∠（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）， CAD FAD CAF ∠-∠=∠，

线段垂直平分线经典练习题

《线段垂直平分线》中一道习题的变式例1：如图1，在△ABC 中，已知AC=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50，求BC 的长. 点评：此题是△ABC 中一边AB 的垂直平分线AC 相交;那么当AB 的垂直平分线与BC 相交时，(如图2),对应的是△ACE 的周长，它的周长也等于AC+BC.图形变化，但结论不变. 变式1：如图1，在△ABC 中， AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，若∠BEC=70°，则∠A= . 点评：此题变式求角的计算方法，应用了两个定理.按照同样的方法,图2中也能得出相应的结论：∠AEC=2∠B. 变式2：如图3，在Rt △ABC 中，AB 的垂直平分线交BC 边于点E 。若BE=2，∠B =15°求：AC 的长。点评：此题为图形变式，由一般三角形变为直角三角形，上面我们总结的结论不变，然后再应用直角三角形的有关性质。图1 图2 图3

[变式练习1] 如图4，在Rt△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E.若BE=2，∠B =°求：AC的长. 图4 例2: 如图5，在△ABC中，AB=AC, BC=12,∠BAC =120°,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N. (1) 求∠EAN的度数. (2) 求△AEN的周长. (3) 判断△AEN的形状. 图5 [变式练习2]:如图6，在△ABC中，AB=AC, BC=12,∠BAC =130°,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N. (1) 求△AEN的周长. (2) 求∠EAN的度数. (3) 判断△AEN的形状. 图6

2019年数学中考真题知识点汇编22 线段垂直平分线、角平分线、中位线(含解析).docx

【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。】一、选择题 5．(2019·泰州) 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成,点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 在小正方形的顶点上, 则△ABC 的重心是( ) A.点D B.点E C.点F D.点G 第5题图【答案】A 【解析】三角形的重心是三条中线的交点,由图中可知,△ABC 的三边的中点都在格点上,三条中线如图所示交于点 D,故选A. 第5题图 4．（2019·盐城）如图，点D 、E 分别是△ABC 边BA 、BC 的中点，AC ＝3，则DE 的长为( ) A ．2 B ． C ．3 D ．【答案】D 342 3E D B A C A C E D G F A B C E D G F

【解析】由中位线的定义可知DE 是△ABC 的中位线，进而由中位线的性质可得DE =21AC =2 3,故选D. 7．（2019·青岛）如图，BD 是△ABC 的角平分钱，AE ⊥BD ，垂足为F . 若∠ABC =35°，∠C =50°，则∠CDE 的度数为 A ．35? B ．40? C ．45? D ．50? 【答案】C 【解析】本题考查角平分线的性质，因为BD 平分∠ABC ，AE ⊥BD ，所以△ABF ≌△EBF ,所以BD 是线段AE 的垂直平分线，所以AD =ED ，所以∠BAD =∠BED =180°-35°-50°=95°, 所以∠CDE =180°-∠C =95°-50°=45°,故选C . 1. （2019·湖州）如图，已知在四边形ABCD 中，∠BCD ＝90°，BD 平分∠ABC ，AB ＝6，BC ＝9，CD ＝4，则四边形ABCD 的面积是（） A ．24 B ．30 C ．36 D ．42 【答案】B ．【解析】如图，过D 点作DE ⊥BA 于点D ，又∵BD 平分∠ABC ，∠BCD ＝90°， ∴DC ＝DE ＝4． ∵AB ＝6，BC ＝9， ∴S 四边形ABCD ＝S △BCD ＋S 四边形ABD ＝12AB ?DE ＋12BC ?DC ＝12×6×4＋12 ×9×4＝12＋18＝30．故选B ．二、填空题 17．（2019·长沙）如图，要测量池塘两岸相对的A ，B 两点间的距离，可以在池塘外选一点C ，连接AC ，BC ，分别取AC ，BC 的中点D ，E ，测得DE=50m ，则AB 的长是 m ．【答案】100 【解析】∵AC ，BC 的中点D ，E ，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE=12 AB. ∵DE=50m ，∴AB=100m. 故填：100．

线段的垂直平分线经典习题及答(精.选)

线段的垂直平分线一、选择题（共8小题） 1、如图，在△ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于的2 1 AB 的长为半径画孤，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ．若△ADC 的周长为10，AB=7，则△ABC 的周长为（） A 、7 B 、 14 C 、17 D 、20 第1题第2题第3题 2、如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，BE 平分∠ABC ，ED 垂直平分AB 于D ．若AC=9，则AE 的值是（） A 、6 B 、4 C 、6 D 、4 3、如图，直线CD 是线段AB 的垂直平分线，P 为直线CD 上的一点，已知线段PA=5，则线段PB 的长度为（） A 、6 B 、5 C 、4 D 、3 4、如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，∠A=20°．线段AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，连接BE ，则∠CBE 等于（） A 、80° B 、70° C 、60° D 、50° 第4题第 5题第6题 5、如图，直线CP 是AB 的中垂线且交AB 于P ，其中AP=2CP ．甲、乙两人想在AB 上取两点D 、E ，使得AD=DC=CE=EB ，其作法如下：（甲）作∠ACP 、∠BCP 之角平分线，分别交AB 于D 、E ，则D 、E 即为所求；（乙）作AC 、BC 之中垂线，分别交AB 于D 、E ，则D 、E 即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（） A 、两人都正确 B 、两人都错误 C 、甲正确，乙错误 D 、甲错误，乙正确 6、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=30°．AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交BC 于点E ，则下列结论不正确的是（） A 、AE=BE B 、AC=BE C 、CE=DE D 、∠CAE=∠B 7、如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（） A 、△ABC 的三条中线的交点 B 、△AB C 三边的中垂线的交点 C 、△ABC 三条角平分线的交点 D 、△ABC 三条高所在直线的交点第7题第8题 8、如图，AC=AD ，BC=BD ，则有（） A 、A B 垂直平分CD B 、CD 垂直平分AB C 、AB 与C D 互相垂直平分 D 、CD 平分∠ACB

知识点22 线段垂直平分线、角平分线、中位线

知识点22 线段垂直平分线、角平分线、中位线一、选择题 5．(2019·泰州) 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成,点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 在小正方形的顶点上,则 △ABC 的重心是( ) A.点D B.点E C.点F D.点G 第5题图【答案】A 【解析】三角形的重心是三条中线的交点,由图中可知,△ABC 的三边的中点都在格点上,三条中线如图所示交于点D,故选A. 第5题图 4．（2019·盐城）如图，点D 、E 分别是△ABC 边BA 、BC 的中点，AC ＝3，则DE 的长为( ) A ．2 B ． C ．3 D ．【答案】D 342 3E D B A C A B C E D G F A C E D G F

【解析】由中位线的定义可知DE 是△ABC 的中位线，进而由中位线的性质可得DE =21AC =2 3,故选D. 7．（2019·青岛）如图，BD 是△ABC 的角平分钱，AE ⊥BD ，垂足为F . 若∠ABC =35°，∠C =50°，则∠CDE 的度数为 A ．35? B ．40? C ．45? D ．50? 【答案】C 【解析】本题考查角平分线的性质，因为BD 平分∠ABC ，AE ⊥BD ，所以△ABF ≌△EBF ,所以BD 是线段AE 的垂直平分线，所以AD =ED ，所以∠BAD =∠BED =180°-35°-50°=95°, 所以∠CDE =180°-∠C =95°-50°=45°,故选C . 1. （2019·湖州）如图，已知在四边形ABCD 中，∠BCD ＝90°，BD 平分∠ABC ，AB ＝6，BC ＝9，CD ＝4，则四边形ABCD 的面积是（） A ．24 B ．30 C ．36 D ．42 【答案】B ．【解析】如图，过D 点作DE ⊥BA 于点D ，又∵BD 平分∠ABC ，∠BCD ＝90°， ∴DC ＝DE ＝4． ∵AB ＝6，BC ＝9， ∴S 四边形ABCD ＝S △BCD ＋S 四边形ABD ＝ 12AB ?DE ＋12BC ?DC ＝12×6×4＋12 ×9×4＝12＋18＝30．故选B ．二、填空题 D C B A E A B C D

垂直平分线与角平分线典型题#(精选.)

线段的垂直平分线与角平分线(1) 知识要点详解 1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC. 定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称. 2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上. 定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上 . 3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 定理的数学表示：如图3，若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，则直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC. 定理的作用：证明三角形内的线段相等. （2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：图1 图2

若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形. 经典例题：例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm 课堂笔记：针对性练习：：1)如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点 E ，如果△EBC 的周长是24cm ，那么BC= 2) 如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果 BC=8cm ，那么△EBC 的周长是 3）如图，AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果∠A=28 度，那么∠EBC 是例2. 已知： AB=AC ，DB=DC ，E 是AD 上一点，求证：BE=CE 。课堂笔记：针对性练习：已知：在△ABC 中，ON 是AB 的垂直平分线,OA=OC 求证：点O 在BC 的垂直平分线例3. 在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线与边AC 所在的直线相交所成锐角为50°，△ABC 的底 B D E B A C O N A

角平分线与垂直平分线知识点

角平分线与垂直平分线知识点一、角平分线 1.角平分线可以得到两个相等的角。（角平分线的定义） ∵AD是∠CAB的角平分线 1∠CAB ∴∠CAD=∠B AD= 2 2.角平分线上的点到角两边的距离相等。（角平分线的性质） ∵AD是∠CAB的角平分线，DC⊥AC ，DB⊥AB ∴DC=DB 3.三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心。三角形的内心到三角形三边的距离相等。 4.到角两边的距离相等的点在角平分线上。（角平分线的判定） ∵DC⊥AC ，DB⊥AB，DC=DB ∴点D在∠CAB的角平分线上。二、角平分线图模（对称性） 1、角平分线作垂线角平分线+垂直一边：“图中有角平分线，可向两边作垂线，作完垂线全等必出现” 若PA⊥OM于点A，可以过P点作PB⊥ON于点B，则PB=PA。利用角平分线的性质定理，可以得到?OAP≌?OBP（AAS）。

2、角平分线+垂线：“角分垂必延长”垂直角分线，等腰全等现。若AP⊥OP于点P，可延长AP交ON于点B，构造△AOB是等腰三角形，P是底边AB的中点，三线合一，?OAP≌?OBP（ASA）。 3、角平分线+斜线：“截等长构造全等” 若点A是射线OM上任意一点，可以在ON上截取OB=OA，连接PB，构造△OPB≌△OPA（SAS）。 4、角平分线+平行线：“角平分线+平行线，等腰三角形必出现” 若过P点作PQ∥ON交OM于点Q，利用平行的内错角相等及等角对等边可以得到△POQ是等腰三角形。 5、角平分线+对角互补：“截长补短构造全等”

6、夹角模型 ①双内角角平分线模型：BP、CP分别是∠ABC、∠ACE的角平分线，则： ∠P=90°+1 2∠A． ②内角和外交角平分线模型：BP、CP分别是∠ABC、∠ACE的角平分线，则： ∠P=1 2∠A． ③双外角角平分线模型：BP、CP分别是∠CBD、∠BCD的角平分线，则： ∠D=90°-1 2∠B．在∠AOB中，画角平分线： 1.以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交∠AOB两边于点M，N。 2.分别以点M，N为圆心，以大于1 2MN的长度为半径画弧，两弧交于点P。 3.作射线OP。射线OP就是所求作的∠AOB的角平分线。三、垂直平分线（中垂线）

三角形中做辅助线的技巧及典型例题

三角形中做辅助线的技巧口诀：三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。一、由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。 ①从角平分线上一点向两边作垂线； ②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。与角有关的辅助线（一）、截取构全等如图1-1，∠AOC=∠BOC ，如取OE=OF ，并连接DE 、DF ，则有△OED ≌△OFD ，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。例1．如图1-2，AB//CD ，BE 平分∠BCD ，CE 平分 ∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC=AB+CD 。例2．已知：如图1-3，AB=2AC ，∠BAD=∠C AD ，D A=DB ，求证DC ⊥AC 例3．已知：如图1-4，在△ABC 中，∠C=2∠B,AD 平分∠BAC ，求证：AB-AC=CD 图1-2 D B C

八年级数学《线段垂直平分线角平分线》知识点全新

八年级数学《线段的垂直平分线与角平分线》知识点 1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 定理的数学表示：如图1，∵ CD ⊥AB ，且AD ＝BD ∴ AC ＝BC. 定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称. 2、线段垂直平分线的判定定理：）到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图2，∵ AC ＝BC ∴ 点C 在线段AB 的垂直平分线m 上. 定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上. 3、关于线段垂直平分线性质定理的推论（1）关于三角形三边垂直平分线的性质：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点．．．．．的距离相等. 性质的作用：证明三角形内的线段相等. 《（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部. 反之，也成立。 4、角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 定理的数学表示：如图4， ∵ OE 是∠AOB 的平分线，F 是OE 上一点，且CF ⊥OA 于点图1 图2

C ，DF ⊥OB 于点 D ， ∴ CF ＝DF. ? 定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线. 5、角平分线性质定理的逆定理：角平分线的判定定理：在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 定理的数学表示：如图5， ∵点P 在∠AOB 的内部，且PC ⊥OA 于C ，PD ⊥OB 于D ，且PC ＝PD ， ∴点P 在∠AOB 的平分线上. 定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线 # 注意角平分线的性质定理与判定定理的区别和联系. 6、关于三角形三条角平分线的定理：（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等. 定理的数学表示：如图6，如果AP 、BQ 、CR 分别是△ABC 的内角∠BAC 、 ∠ABC 、∠ACB 的平分线，那么： ① AP 、BQ 、CR 相交于一点I ； ② 若ID 、IE 、IF 分别垂直于BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，则DI ＝EI ＝FI. 定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题. — （2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）. 7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：（1）会作已知线段的垂直平分线；（2）会作已知角的角平分线；（3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.

线段的垂直平分线综合提高测试带答案

线段的垂直平分线一、选择题（共8小题） 1、如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的错误！未找到引用源。AB的长为半径画孤，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为（） A、7 B、14 C、17 D、20 2、如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D．若AC=9，则AE的值是（） A、6错误！未找到引用源。 B、4错误！未找到引用源。 C、6 D、4 3、如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为（） A、6 B、5 C、4 D、3 4、如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（） A、80° B、70° C、60° D、50° 5、如图，直线CP是AB的中垂线且交AB于P，其中AP=2CP．甲、乙两人想在AB上取两点D、E，使得AD=DC=CE=EB，其作法如下：（甲）作∠ACP、∠BCP之角平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；（乙）作AC、BC之中垂线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（）

6、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（） A、AE=BE B、AC=BE C、CE=DE D、∠CAE=∠B 7、如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（） A、△ABC的三条中线的交点 B、△ABC三边的中垂线的交点 C、△ABC三条角平分线的交点 D、△ABC三条高所在直线的交点 8、如图，AC=AD，BC=BD，则有（） A、AB垂直平分CD B、CD垂直平分AB C、AB与CD互相垂直平分 D、CD平分∠ACB 二、填空题（共12小题） 9、如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3．则CE长为_________． 10、如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE=_________度． 11、如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD的度数为_________°． 12、如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC

三角形的证明(垂直平分线,角平分线)(北师版)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：线段垂直平分线的定理及其逆定理的内容分别是什么答：线段垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；线段垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．问题2：角平分线定理及其逆定理的内容分别是什么答：角平分线定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；角平分线的逆定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．问题3：什么是反证法答：反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或者已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法．问题4：你能用反证法证明等腰三角形的底角必为锐角吗答：证明：假设等腰三角形ABC的底角是钝角或直角， ①妨设∠B和∠C是钝角，即∠B=∠C90°， ∴∠A+∠B+∠C180° 这与三角形内角和定理相矛盾，因此“∠B和∠C是钝角”的假设不成立； ②妨设∠B和∠C是直角，即∠B=∠C=90°， ∴∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C180° 这与三角形内角和定理相矛盾，因此“∠B和∠C是直角”的假设不成立； ∴等腰三角形的底角必为锐角．三角形的证明（垂直平分线，角平分线）（北师版）一、单选题(共11道，每道9分) 1.三条公路两两相交，交点分别为A，B，C，现计划建一个加油站，要求到三条公路的距离相等，则满足要求的加油站地址有( )种情况．答案：D 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：角平分线的性质定理 2.如图，已知△ABC，求作一点P，使点P到∠BAC两边的距离相等，且PA=PB，下列确定点P的方法正确的是( )

线段的垂直平分线经典习题及答案

线段的垂直平分线（含答案）一、选择题（共8小题） 1、（2011?绍兴）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的AB的长为半径画孤，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为（） A、7 B、14 C、17 D、20 2、（2011?丹东）如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D．若AC=9，则AE的值是（） A、6 B、4 C、6 D、4 3、（2010?义乌市）如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为（） A、6 B、5 C、4 D、3 4、（2010?烟台）如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段AB的垂直平分线交AB于D，

交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（） A、80° B、70° C、60° D、50° 5、（2010?台湾）如图，直线CP是AB的中垂线且交AB于P，其中AP=2CP．甲、乙两人想在AB上取两点D、E，使得AD=DC=CE=EB，其作法如下：（甲）作∠ACP、∠BCP之角平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；（乙）作AC、BC之中垂线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（） A、两人都正确 B、两人都错误 C、甲正确，乙错误 D、甲错误，乙正确 6、（2010?三明）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（） A、AE=BE B、AC=BE C、CE=DE D、∠CAE=∠B 7、（2010?巴中）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（） A、△ABC的三条中线的交点 B、△ABC三边的中垂线的交点 C、△ABC三条角平分线的交点 D、△ABC三条高所在直线的交点 8、（2009?钦州）如图，AC=AD，BC=BD，则有（）

线段的垂直平分线与角平分线专题复习教程文件

线段的垂直平分线与角平分线专题复习

线段的垂直平分线与角平分线专题复习知识点复习： 1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 定理的数学表示：如图1，∵ CD ⊥AB ，且AD ＝BD ∴ AC ＝BC. 定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称. 2、线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图2，∵ AC ＝BC ∴ 点C 在线段AB 的垂直平分线m 上. 定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上. 3、关于线段垂直平分线性质定理的推论（1）关于三角形三边垂直平分线的性质：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点．．．．．的距离相等. 性质的作用：证明三角形内的线段相等. （2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部. 反之，也成立。图1 图2

4、角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 定理的数学表示：如图4， ∵ OE 是∠AOB 的平分线，F 是OE 上一点，且CF ⊥OA 于点C ，DF ⊥OB 于点D ， ∴ CF ＝DF. 定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线. 5、角平分线性质定理的逆定理：角平分线的判定定理：在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 定理的数学表示：如图5， ∵点P 在∠AOB 的内部，且PC ⊥OA 于C ，PD ⊥OB 于D ，且PC ＝PD ， ∴点P 在∠AOB 的平分线上. 定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线 6、关于三角形三条角平分线的定理：（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等. 定理的数学表示：如图6，如果AP 、BQ 、CR 分别是△ABC 的内角∠BAC 、 ∠ABC 、∠ACB 的平分线，那么： ① AP 、BQ 、CR 相交于一点I ； ② 若ID 、IE 、IF 分别垂直于BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，则DI ＝EI ＝FI. 图4

(新)角平分线与垂直平分线练习题(经典)

0角平分线角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。角平分线的判定：到一个叫两边的距离相等的点在这个角的平分线上。例1．如图，在ABC △中，90C ∠=，AD 平分CAB ∠，8cm 5cm BC BD ==，，那么D 点到直线AB 的距离是 cm ．例2．如图，已知在Rt △ABC 中，∠C =90°, BD 平分∠ABC , 交AC 于D . (1) 若∠BAC =30°, 则AD 与BD 之间有何数量关系，说明你的理由; (2) 若AP 平分∠BAC ，交BD 于P , 求∠BPA 的度数. 3、考点深入练习例3：如图：在△ABC 中，BE 、CF 分别是AC 、AB 两边上的高，在BE 上截取BD=AC ，在CF 的延长线上截取CG=AB ，连结AD 、AG 。求证：（1）AD=AG ，（2）AD 与AG 的位置关系如何。例4：两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B ，C ，E 在同一条直线上，连结DC ．（8分）（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：DC ⊥BE B P A B C D G H F E D C B A

例5:△DAC, △EBC 均是等边三角形，AE,BD 分别与CD,CE 交于点M,N. 求证：（1）AE=BD (2)CM=CN (3) △CMN 为等边三角形（4）MN ∥BC 垂直平分线的性质与判定强化练习 1如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm 2题 2如图，在Rt ABC △中，90ACB D E ∠=，，分别为AC AB ，的中点，连DE CE ，．下列结论中不一定正确的是（） A ．ED BC ∥ B ．ED AC ⊥ C ．ACE BCE ∠=∠ D ．A E CE = 3、△ABC 中，∠C=90°，AB 的中垂线交直线BC 于D ，若∠BAD －∠DAC=22.5°，则∠B 等于（） A.37.5° B.67.5° C.37.5°或67.5° D.无法确定 4、线段的垂直平分线上的点_____________________________________． 5、到一条线段的两个端点的距离相等的点，______________________． 6、如图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线交AC 于E ，交BC 于D ，△ABD 的周长是12 cm ，AC=5cm ，则 AB+BD+AD= cm ；AB+BD+DC= cm ；△ABC 的周长是 cm 。 3题 4题 7、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=15°，DE 是AB 的中垂线，垂足为D ，交BC 于E ，BE=5，则AE=__________，∠AEC=__________，AC=__________ 。 D A C B N M E

学姐笔记-中考数学几何-角平分线、垂直平分线经典题型总结

角平分线、垂直平分线知识考点：了解角平分线、垂直平分线的有关性质和定理，并能解决一些实际问题。精典例题：【例题】如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝300，AB 的垂直平分线EF 交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：CF ＝2BF 。分析一：要证明CF ＝2BF ，由于BF 与CF 没有直接联系，联想题设中EF 是中垂线，根据其性质可连结AF ，则BF ＝AF 。问题转化为证CF ＝2AF ，又∠B ＝∠C ＝300，这就等价于要证∠CAF ＝900，则根据含300角的直角三角形的性质可得CF ＝2AF ＝2BF 。分析二：要证明CF ＝2BF ，联想∠B ＝300，EF 是AB 的中垂线，可过点A 作AG ∥EF 交FC 于G 后，得到含300角的Rt △ABG ，且EF 是Rt △ABG 的中位线，因此BG ＝2BF ＝2AG ，再设法证明AG ＝GC ，即有BF ＝FG ＝GC 。分析三：由等腰三角形联想到“三线合一”的性质，作AD ⊥BC 于D ，则BD ＝CD ，考虑到∠B ＝300，不妨设EF ＝1，再用勾股定理计算便可得证。以上三种分析的证明略。探索与创新：【问题】请阅读下面材料，并回答所提出的问题：三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。如图，△ABC 中，AD 是角平分线。求证： AC AB DC BD = 。分析：要证 AC AB DC BD = ，一般只要证BD 、DC 与AB 、AC 或BD 、AB 与DC 、AC 所在三角形相似，现在B 、D 、C 在同一条直线上，△ABD 与△ADC 不相似，需要考虑用别的方法换比。我们注意到在比例式 AC AB DC BD = 中，AC 恰好是BD 、DC 、AB 的第四比例项，所以考虑过C 作CE ∥AD 交BA 的延长线于E ，从而得到BD 、CD 、AB 的第四比例项AE ，这样，证明 AC AB DC BD = 就可以转化为证AE ＝AC 。证明：过C 作CE ∥AD 交BA 的延长线于E 例题图1 F E C B A 例题图2 G F E C B A 例题图3 D F E C B A 问题图 3 2 1E D C B A

24.7线段垂直平分线的性质定理及其逆定理

24.7线段垂直平分线的性质定理及其逆定理课前预习 1.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的 2.线段垂直平分线定理的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的上。当堂训练知识点1：线段垂直平分线的性质 1.如图所示，用两根钢索加固直立的电线杆，若要使钢索AB 与AC 的长度相等，?需加_ _______条件，理由是___ _____． 2.（09钦州）如图，AC ＝AD ，BC ＝BD ，则有（） A ．AB 垂直平分CD B ．CD 垂直平分AB C ．AB 与C D 互相垂直平分D ．CD 平分∠ACB 3.如图所示，CD 是AB 的垂直平分线，若AC=1.6cm ，BD=2.3cm ，则四边形ABCD 的周长是（）． A ．3.9cm B ．7.8cm C ．4cm D ． 4.6cm 4.如图所示，∠C=90°，AB 的垂直平分线交BC 于 D ，连接 AD ，若∠CAD=20°，则∠B=（）． A ．20° B ．30° C ．35° D ．40° 知识点2：线段垂直平分线定理的逆定理 5.AB =AD ，BC =CD ，AC 、BD 相交于点E ．则AB 是线段CD 的___ _____．课后作业 6.给出以下两个定理： ①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； ②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．应用上述定理进行如下推理，如图，直线l 是线段MN 的垂直平分线． ∵点A 在直线l 上， ∴AM=AN （）． ∵BM=BN ， ∴点B 在直线l 上（）． ∵CM≠CN，∴点C 不在直线l 上．这是因为如果点C 在直线l 上，那么CM ＝CN （）．这与条件CM≠CN 矛盾．以上推理中各括号内应注明的理由依次是（） A ．②①① B ．②①② C ．①②② D ．①②① 证明某一条直线是另一条线段

知识点24 线段垂直平分线、角平分线、中位线2018--1

一、选择题 1. （2018四川泸州，7题，3分）如图2，Y ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AB 中点，且 AE+EO=4，则 Y ABCD 的周长为（） A.20 B. 16 C. 12 D.8 第7题图【答案】B 【解析】Y ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，所以O 为AC 的中点，又因为E 是AB 中点，所以EO 是 △ABC 的中位线，AE= 21AB ，EO=2 1 BC ，因为AE+EO=4，所以AB+BC=2(AE+EO)=8，Y ABCD 中AD=BC ，AB=CD ，所以周长为2(AB+BC)=16 【知识点】平行四边形的性质，三角形中位线 2. （2018四川省南充市，第8题，3分）如图，在Rt ABC ?中，90ACB ∠=o ，30A ∠=o ，D ，E ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，若2BC =，则EF 的长度为（） A ． 12 B ．1 C ．3 2 D 【答案】B 【思路分析】1.由∠ACB =90°，∠A =30°，BC 的长度，可求得AB 的长度，2.利用直角三角形斜边的中线等于斜边第一半，求得CD 的长度；3.利用中位线定理，即可求得EF 的长. 【解题过程】解：在Rt∠ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，BC =2，，∠AB =4，CD =12AB ，∴CD =1 2 ×4=2，∠E ，F 分别为AC ，AD 的中点，∠EF =12CD =1 2 ×2=1，故选B. 【知识点】30°所对直角边是斜边的一半；直角三角形斜边的中线等于斜边第一半；中位线定理 3. （2018四川省达州市，8，3分） △ABC 的周长为19，点D 、E 在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为N ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为M ．若BC ＝7，则MN 的长为（）． A ．32 B ．2 C ．5 2 D ．3 第8题图 D

《线段的垂直平分线》典型例题

典型例题例1.如图，已知：在ABC中，C 90 , A 30 , BD平分ABC 交AC于D. 求证：D在AB的垂直平分线上. 分析：根据线段垂直平分线的逆定理，欲证D在AB的垂直平分线上，只需证明BD DA即可. 证明：T C 90 , A 30 （已知），二ABC 60 （Rt的两个锐角互余）又T BD平分ABC （已知） 1 二DBA 丄ABC 30 A. 2 ? ?? BD AD （等角对等边） ??? D在AB的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）. 例2.如图，已知：在ABC中，AB AC , BAC 120 , AB的垂直平分线交AB于E,交BC于F。求证：CF 2BF。

分析：由于BAC 120 , AB AC，可得 B C 30，又因为 EF垂直平分AB连结AF,可得AF BF .要证CF 2BF，只需证 CF 2AF ，即证FAC 90 就可以了. 证明：连结AF， T EF垂直平分AB（已知） FA FB （线段垂直平分线上的点和这条线段两端点的距离相等）二FAB B （等边对等角） T AB AC （已知）， ??? B C （等边对等角）又J BAC 120 （已知），二B C 30 （三角形内角和定理）二BAF 30 二FAC 90 ? ?? FC 2FA （直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半）/. FC 2FB 说明：线段的垂直平分线的定理与逆定理都由三角形的全等证得，初学者往往不习惯直接使用绝无仅有垂直平分线的定理与逆定理，容易舍近求远，由三角形全等来证题. 例3.如图，已知：AD平分BAC, EF垂直平分AD交BC延长线于F,连结AF。

线段的垂直平分线与角平分线专题复习

定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线. 5、角平分线性质定理的逆定理：角平分线的判定定理：在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 定理的数学表示：如图5， ∵点P 在∠AOB 的内部，且PC ⊥OA 于C ，PD ⊥OB 于D ，且PC ＝PD ， ∴点P 在∠AOB 的平分线上. 定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线 6、关于三角形三条角平分线的定理：（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等. 定理的数学表示：如图6，如果AP 、BQ 、CR 分别是△ABC 的内角∠BAC 、 ∠ABC 、∠ACB 的平分线，那么： ① AP 、BQ 、CR 相交于一点I ； ② 若ID 、IE 、IF 分别垂直于BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，则DI ＝EI ＝FI. 定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题. （2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）. 7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：（1）会作已知线段的垂直平分线；（2）会作已知角的角平分线；（3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形. 精品习题： 1．在△ABC 中，∠C=90o，BD 是∠ABC 的平分线.已知，AC=32，且AD ：DC=5：3，则点D 到AB 的距离为_______. 2．如图，在△ABD 中，AD=4，AB=3，AC 平分∠BAD ，则:A B C A C D S S ?? = （） A ．3:4 B ．4:3 C ．16:19 D ．不能确定