知识点22 线段垂直平分线、角平分线、中位线
三角形中的三种重要线段
03
确定角平分线
中垂线与三角形的一边和 相对的角平分线垂直，因 此可以利用中垂线来确定 三角形的角平分线。
确定高线
中垂线与三角形的一边垂 直，因此可以利用中垂线 来确定三角形的高线。
确定中点
中垂线与三角形的一边平 行，因此可以利用中垂线 来确定三角形的中点。
中垂线的性质
垂直平分线的性质
中垂线是三角形一边的垂直平分线，因此它具有垂直平分线的性质，即中垂线上的点到 三角形的两个端点的距离相等。
三角形中的三种重要线段
contents
目录
• 三角形中的中线 • 三角形中的高线 • 三角形中的角平分线 • 三角形中的中位线 • 三角形中的中垂线
01
三角形中的中线
中线的定义
总结词
三角形中线的定义是连接三角形的一 个顶点与对边中点的线段。
详细描述
在三角形中，中线是连接一个顶点与 对边中点的线段。对于任意一个顶点 ，都可以作出一条中线，且该中线将 对应的底边分为两等分。
中线在三角形中的作用
总结词
中线在三角形中起到稳定结构、简化图形和辅助证明等作用。
详细描述
中线在三角形中具有多重作用。首先，它有助于稳定三角形的结构，因为中线将底边分为两等分，使得三角形的 形状更加稳定。其次，中线可以简化复杂的几何图形，通过将图形划分为更易于处理的部分，有助于问题的解决。 此外，中线还常常作为辅助线用于证明三角形中的一些性质和定理。
中线的性质
要点一
总结词
中线具有平行于第三边、长度为第三边一半等性质。
要点二
详细描述
根据中线的定义和性质，我们可以得出以下几点：首先， 中线平行于三角形的第三边，即中线与对应的底边平行； 其次，中线的长度是第三边长度的一半，即中线的长度等 于$frac{1}{2}$倍的底边长度；最后，中线将对应的底边分 为两等分，即中点是底边的中点。这些性质在几何证明和 解题过程中具有广泛应用。
线段的垂直平分线和角平分线
利用线段的垂直平分线或角平分线，可以构造等腰三角形 或等腰梯形，简化几何图形的证明和计算。
解决几何问题
在解决几何问题时，可以利用线段的垂直平分线和角平分 线的性质，如中位线定理、角平分线定理等，来找到解题 的突破口。
在日常生活中的应用
建筑设计和施工
在建筑设计和施工中，可以利用 线段垂直平分线和角平分线的性 质来确定建筑物的位置和角度， 保证建筑物的稳定性和美观性。
利用角的平分线性质，通过测 量或构造的方法确定角平分线 上的点。
通过角的顶点向角的两边作垂 线，将垂足一定的步骤和方法画出角 的平分线。
04
线段垂直平分线和角平分 线的应用
在几何图形中的应用
确定点与线段的位置关系
线段的垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等， 角平分线上的任意一点到角的两边距离相等，可以用来确 定点与线段或角的位置关系。
线段的垂直平分 线和角平分线
目录
• 引言 • 线段的垂直平分线 • 角平分线 • 线段垂直平分线和角平分线的应
用
01
引言
定义与性质
定义
垂直平分线是一条线，它通过线 段的中点并与线段垂直。角平分 线是一条线，它将一个角分为两 个相等的部分。
性质
垂直平分线上的任意一点到线段 两端的距离相等；角平分线上的 任意一点到角的两边距离相等。
垂直平分线的历史背景
01
02
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起源
垂直平分线的概念可以追 溯到古希腊时期，当时数 学家开始研究几何学的基 础概念。
发展
随着时间的推移，垂直平 分线的性质和定理被不断 完善和证明，它在几何学 中扮演着重要的角色。
应用
垂直平分线在日常生活和 工程设计中有着广泛的应 用，例如在建筑、机械和 电子工程等领域。
中位线中线高线角平分线垂线区别定义定理
中位线中线高线角平分线垂线区别定义定理中位线、中线、高线、角平分线、垂线都是常见的几何概念。
它们在不同的几何图形中具有不同的定义和性质。
下面将逐个介绍它们的定义和定理，并探讨它们的重要性和应用。
首先，中位线是指在一个三角形中，连接一个顶点与对边中点的线段。
具体来说，对于三角形ABC，连接点A与边BC的中点D所得的线段AD即为三角形ABC的中位线。
同理，连接点B与边AC的中点E所得的线段BE以及连接点C与边AB的中点F所得的线段CF也都是三角形ABC的中位线。
中位线的定理是指中位线的三个交点构成一个等边三角形。
这意味着，无论三角形的尺寸和外形如何，它的三个中位线必定相等，并且它们的交点是一个等边三角形的重心。
其次，中线是指在一个三角形中，连接一个顶点与对边中点的线段。
与中位线相似，中线也有三个，分别是从顶点A到边BC的中点M，从顶点B到边AC的中点N，以及从顶点C到边AB的中点P所得的线段。
中线的定理是指它们的交点构成一个等边三角形。
这意味着，在任意三角形中，三个中线必定相等，并且它们的交点是一个等边三角形的重心。
第三，高线是指在一个三角形中，从一个顶点向对边作垂直线段。
具体来说，对于三角形ABC，从顶点A向边BC作垂直线段AH，从顶点B向边AC作垂直线段BK，以及从顶点C向边AB作垂直线段CL，它们分别是三角形ABC的三条高线。
高线的定理是指三角形的三条高线交于一个点，这个点称为三角形的垂心。
垂心是三角形内部一个特殊的点，它与三角形的顶点和对边之间的距离满足最短距离的性质。
接下来，角平分线是指将一个角等分成两个相等的角的线段。
对于三角形ABC，角BAC的角平分线是从角BAC的顶点A出发，将角BAC 等分为两个相等的角的线段AD。
角平分线的定理是指三角形内的三个角的角平分线交于一个点，这个点称为三角形的内心。
内心是三角形内部一个特殊的点，它与三角形的三个边之间的距离满足最短距离的性质。
最后，垂线是指与另一条直线（边）垂直相交的线段。
三角形的中位线角平分线和垂线
三角形的中位线角平分线和垂线三角形的中位线、角平分线和垂线三角形是初中数学中一个重要的图形，它由三条边和三个顶点组成。
在三角形中，中位线、角平分线和垂线是三条与三角形内部相关的特殊线段。
本文将介绍中位线、角平分线和垂线在三角形中的性质和应用。
一、中位线中位线是连接一个三角形的两个顶点和对边中点的线段。
对于三角形ABC，三条中位线分别为AD，BE和CF（D、E和F分别为边BC、AC和AB的中点）。
中位线具有以下性质：性质1：三角形中的三条中位线互相平分。
性质2：三角形中的三条中位线交于一个点，该点被称为中心。
性质3：中心到各顶点的距离等于中心到对边中点的距离，而且中心是中位线的重心。
应用：中位线的应用较多，最常见的是利用中位线求三角形重心。
重心是以三角形三条中位线的交点为顶点的新三角形的重心。
我们可以根据中位线的性质计算重心的坐标。
二、角平分线角平分线是从一个角的顶点出发，平分这个角的角度的线段。
对于三角形ABC，角BAC的角平分线为AD（D在BC上）。
角平分线具有以下性质：性质1：角平分线把原来的角分成两个相等的角。
性质2：三角形的三条角平分线交于一点，该点被称为内角平分点。
性质3：内角平分点到三个顶点的距离相等。
应用：角平分线的应用较多，最常见的是利用角平分线求三角形内心。
内心是以三角形的三条角平分线的交点为顶点的新三角形的内心。
我们可以根据角平分线的性质计算内心的坐标。
三、垂线垂线是从一个顶点引出，与对边垂直相交的线段。
对于三角形ABC，从顶点A引出的垂线为AD（D在BC上）。
垂线具有以下性质：性质1：垂线与对边垂直相交，交点为垂足。
性质2：三角形的三条垂线交于一点，该点被称为垂心。
应用：垂线的应用较多，可以用于求解三角形的垂心。
垂心是以三角形的三条垂线的交点为顶点的新三角形的垂心。
我们可以根据垂线的性质计算垂心的坐标。
综上所述，三角形的中位线、角平分线和垂线在几何学中具有重要的地位和应用。
角平分线的性质知识点
角平分线的性质一、本节学习指导角平分线的性质有助于我们解决三角形全等相关题型。
其实不仅仅是角平分线，还有三角形的中位线、高、中心都是解决三角形题目有效的途径。
本节有配套免费学习视频。
二、知识要点1、角平分线的定义：从一个角的顶点出发把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。
如下图：0C平分/ AOB•••0C平分/ AOB•••/ AOC M BOC2、角的平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
【重点】如第一个图：•••OC平分/ AOB（或/ 仁/ 2）, PEL OA,PDLOB••• PD=PE此时我们知道△ OPE^A OPD（直角三角形斜边是OP即公共边，直角边斜边）3、角的平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
如第一个图：••• PE L OA,PDL OB,PD=PE•••OC T 分/ AOB（或/ 仁/ 2）4、线段的中点的定义：把一条线段分成两条相等的线段的点叫做线段的中点。
如下图：I ---------------1 ---------------- 1A C BVC是AB的中点••• AC=BC5、垂直的定义：两条直线相交所成的四个角中有一个是直角，这两条直线互相垂直。
如图：【重点】V AB丄CD•••/ AOC M AOD M BOC =/ BOD=90或VZ AOC=90••• AB丄CD注意：要判断两条直线垂直，只要知道这两条相交直线所形成的四个角中的一个角是直角就可以了。
反过来，两条直线互相垂直，它们的四个交角都是直角。
6、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。
•••△ABC^A A'B'C'••• AB=A'B',BC=BC,AC=AC;Z A=Z A', Z B=Z B', Z C=Z C'三、经验之谈：本节的重点是第2点，角平分线的性质，这条性质在以后的几何题型中用的非常多，本章的三角形全等也不例外，如果我们碰到题目中出现角平分线，我们要会利用它的性质。
三角形的高线、角平分线与中位线
三角形的高线、角平分线与中位线三角形是几何学中的基础概念之一，它有许多有趣而重要的性质和定理。
其中，高线、角平分线和中位线是比较常见且常用的三角形线段。
本文将介绍这三种线段的定义、性质和应用。
一、高线高线是指从三角形的一个顶点到对边上垂直的线段。
对于任意三角形ABC，以顶点A为例，从A点引一条垂直于BC边的线段AD，AD 就是三角形ABC的高线。
同理，从B和C点分别引出高线，得到的线段分别为BE和CF。
高线具有以下性质：1. 高线的长度可以不相等，取决于三角形的形状和大小。
2. 高线相交于一个点，这个点被称为三角形的垂心，记为H。
3. 垂心与三个顶点的连线分别垂直于对边。
高线的应用：1. 高线可以帮助我们确定三角形的垂直性质。
如果一个三角形的三条高线相交于一个点且互相垂直，那么这个三角形就是直角三角形。
2. 高线还可以用于解决一些几何问题，如寻找最短路径或确定最佳角度等。
二、角平分线角平分线是指从一个角的顶点引出的线段，将该角分成两个相等的角。
对于任意三角形ABC，以角A为例，从A点引一条线段AD，使得∠BAD=∠DAC，AD就是角A的平分线。
同理，从B和C点分别引出平分线，得到的线段分别为BE和CF。
角平分线具有以下性质：1. 三角形的三条角平分线相交于一个点，称为三角形的内心，记为I。
2. 内心到各边的距离相等，即ID = IE = IF。
3. 内心与各边的连线平分相应的内角。
角平分线的应用：1. 角平分线可以帮助我们确定三角形的内切圆，即内心为圆心，与三边相切。
内切圆有许多有趣的性质与应用。
2. 角平分线还可以用于构造一些特殊的图形或解决几何问题。
三、中位线中位线是指连接三角形的一个顶点与对边中点的线段。
对于任意三角形ABC，以顶点A为例，连接A点与BC中点M的线段AM，AM 就是三角形ABC的中位线。
同理，从B和C点分别连接中点，得到的线段分别为BM和CM。
中位线具有以下性质：1. 三角形的三条中位线交于一个点，称为三角形的重心，记为G。
八年级数学上人教版《线段垂直平分线的性质》课堂笔记
《线段垂直平分线的性质》课堂笔记
一、知识点
1.线段垂直平分线的定义：如果一条直线与一个线段的两个端点相交，并且与这
条线段所在的直线垂直，那么这条直线就是这个线段的垂直平分线。
2.线段垂直平分线的性质：
（1）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
（2）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
3.线段垂直平分线的判定：
（1）如果一个点到一条线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上。
（2）如果一条直线与一条线段只有一个公共点，且这个公共点到线段两个端点的距离相等，那么这条直线是这条线段的垂直平分线。
4.线段垂直平分线的画法：用直尺和圆规作一条线段的中垂线。
二、重要公式
1.线段垂直平分线的性质定理：若AD是线段BC的垂直平分线，则AB=AC。
2.线段垂直平分线的判定定理：若AB=AC，则AD是BC的垂直平分线。
三、解题方法
1.利用定义和性质解决实际问题时，要注意分析问题中的条件，合理地选择解题
方法。
2.在解决与线段垂直平分线有关的问题时，常常利用几何图形中的“轴对称”性质，
通过翻折、旋转等方法把复杂的问题化为简单的问题。
3.在解与三角形中垂线有关的问题时，要注意三角形中垂线的性质定理的应用，
以及与三角形中位线定理的区别和联系。
4.在解与多边形中垂线有关的问题时，要灵活运用多边形中垂线的性质定理和判
定定理，结合图形特点进行分析。
专题24.角平分线、垂直平分线、中位线
中考专题复习24角平分线、线段中垂线和三角形的中位线3．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．4.中点四边形：考点1 角平分线的性质例1【点拨】【对点练习】1.2.3.4.5.考点2 垂直平分线的性质例21. 如图，已知三角形ABC,AB=10,AC=8,BC=6,DE 是AC 的垂直平分线，DE 交AB 于D ，连接CD ，CD ＝( )A 、3B 、4C 、4.8D 、5【点拨】勾股定理及逆定理，中位线定理，中垂线的性质。
【解答】因为AB=10,AC=8,BC=8,由勾股定理的逆定理可得三角形ABC 为直角三角形，因为DE 为AC 边的中垂线，所以DE 与AC 垂直，AE=CE=4，所以DE 为三角形ABC 的中位线，所以DE=12BC =3,再根据勾股定理求出CD=5. 故选D【对点练习】 1.2.3.4.图2A5.考点3 三角形中位线例3 (2014·泰安)如图，∠ACB ＝90°，D 为AB 的中点，连接DC 并延长到点E ，使CE ＝13CD ，过点B 作BF ∥DE ，与AE 的延长线交于点F.若AB ＝6，则BF 的长为( )A ．6B ．7C ．8D ．10【点拨】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CD ＝12AB ＝3，则结合已知条件CE ＝13CD ，可以求得ED ＝4.然后由三角形中位线定理可以求得BF ＝2ED ＝8.【解答】∵ ∠ACB ＝90°，D 为AB 的中点，AB ＝6，∴ CD ＝12AB ＝3.又∵ CE ＝13CD ，∴ CE ＝1，∴ ED ＝CE ＋CD ＝4.又∵ BF ∥DE ，点D 是AB 的中点， ∴ AE AF ＝AD AB ＝12，∴ 点E 是AF 的中点． ∴ ED 是△AFB 的中位线， ∴ BF ＝2ED ＝8. 故选C.【点评】本题考查了三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．根据已知条件求得ED 的长度是解题的关键与难点．【对点练习】2.3.1．△ABC 的三条中位线围成的三角形的周长为15 cm ，则△ABC 的周长为( )A ．50 cmB ．45 cmC ．30 cm D.152cm2．如图，在周长为20 cm 的□ABCD 中，AB ≠AD ，对角线AC ，BD 相交于点O ，OE ⊥BD 交AD 于E ，则△ABE 的周长为( )A ．4 cmB ．6 cmC ．8 cmD ．10 cm第2题图第3题图3．如图，在△ABC 中，∠A 的平分线交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，下面四个结论：①∠AFE ＝∠AEF ；②AD 垂直平分EF ；③S △BFD S △CED ＝BFCE；④EF 一定平行BC.其中正确的是( )A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②③④4．如图，在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，AD ，AE 分别是其角平分线和中线，过点C 作CG ⊥AD 于F ，交AB 于G ，连接EF ，则线段EF 的长为( )A.12 B ．1 C.72D ．7 5．如图，△ABC 的周长为26，点D ，E 都在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为Q ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为P.若BC ＝10，则PQ 的长为( )A.32B.52C ．3D ．4第5题图第6题图6．如图，在四边形ABCD 中，AC ＝a ，BD ＝b ，且AC 丄BD ，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1，再顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边中点，得到四边形A 2B 2C 2D 2，…，如此进行下去，得到四边形A n B n C n D n .下列结论正确的有( )①四边形A 2B 2C 2D 2是矩形；②四边形A 4B 4C 4D 4是菱形；③四边形A 5B 5C 5D 5的周长是a ＋b4；④四边形A nB nC nD n 的面积是ab2n ＋1.A ．①②B ．②③C ．②③④D ．①②③④7．如图，∠AOP ＝∠BOP ＝15°，PC ∥OA ，PD ⊥OA ，若PC ＝4，则PD ＝__________．第7题图第8题图8．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠DBC＝15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A 的度数是________．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为________°.10. 已知D，E分别是不等边三角形ABC(即AB≠BC≠AC)的边AB，AC的中点，O是△ABC所在平面上的动点，连接OB，OC，点G，F分别是OB，OC的中点，顺次连接点D，G，F，E.(1)如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形．(2)若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？(直接写出答案，不需要说明理由) 11．12．11 / 11。
中位线中线高线角平分线垂线区别定义定理
中位线中线高线角平分线垂线区别定义定理中位线是指将三角形 ABC 划分为两个三角形的线段，即 AB 线和 AC 线。
中线是指连接三角形 ABC 中任意两边中点的线段。
高线是指过三角形 ABC 顶点且垂直于底边的线段。
角平分线是指连接三角形 ABC 任意两个角顶点的线段。
垂线是指连接三角形 ABC 顶点和底边中点的线段。
区别定义定理：1. 中位线将三角形 ABC 划分为两个三角形，中线连接三角形 ABC 中任意两边中点，高线过三角形 ABC 顶点且垂直于底边，角平分线连接三角形 ABC 任意两个角顶点。
2. 中位线定理指出，三角形 ABC 的中位线平行于三角形 ABC 的任意一条边，且中位线的长度等于该边的一半。
中线定理指出，三角形 ABC 的中线长度等于该三角形周长的一半。
高线定理指出，三角形 ABC 的高线垂直于底边，且高线的长度等于该三角形周长的一半。
角平分线定理指出，三角形 ABC 的角平分线交于点 O，且角平分线的长度为该角的一半。
拓展：1. 中位线将三角形 ABC 划分为两个三角形，意味着中位线将三角形 ABC 的顶点和底边分成了两个部分，每个部分都是三角形 ABC 的一个内角。
中线连接三角形 ABC 中任意两边中点，意味着中线将三角形 ABC 的两边连接在一起，并且中线的长度等于该边的一半。
高线过三角形 ABC 顶点且垂直于底边，意味着高线将三角形 ABC 的顶点和底边分成了两个部分，并且高线的长度等于该边的一半。
角平分线连接三角形 ABC 任意两个角顶点，意味着角平分线将三角形ABC 的顶点和角顶点分成了两个部分，并且角平分线的长度等于该角的一半。
2. 中位线定理、中线定理、高线定理和角平分线定理都是三角形相关的定理，它们为三角形的研究提供了重要的工具。
中位线定理和中线定理提供了测量三角形周长和长度的方法，高线定理和角平分线定理提供了测量三角形内角和和角度的方法。
这些定理的应用可以帮助人们更好地理解和掌握三角形的知识。
三角形中的重要线段
一、角平分线1、定义：从一个角的顶点引出一条射线（线在角内），把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
三角形三个角平分线的交点叫做三角形的内心。
2、性质：三角形的内心到三边的距离相等，是该三角形内切圆的圆心。
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
（逆定理）在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边的距离相等的点在这个角的角平分线上。
二、中线1、定义：三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线。
2、性质：任何三角形都有三条中线，而且这三条中线都在三角形的内部，并交于一点。
由定义可知，三角形的中线是一条线段。
由于三角形有三条边，所以一个三角形有三条中线。
且三条中线交于一点。
这点称为三角形的重心。
每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。
三、垂线（也叫高线）1、定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一直线的垂线，交点叫垂足。
2、性质：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
在连接直线外一点与直线上的所有点的连线中，垂线段最短。
简称垂线段最短。
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直四、垂直平分线1、定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）2、性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。
（逆定理）到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上五、中位线1、定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
2、性质：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
三角形的中位线所构成的小三角形（中点三角形）面积是原三角形面积的四分之一。
三角形的中位线和垂直平分线
三角形的中位线和垂直平分线在几何学中，三角形是最基本的形状之一。
除了三个顶点和三条边外，三角形还有一些特殊的线段，如中位线和垂直平分线。
本文将详细探讨三角形的中位线和垂直平分线，以及它们在三角形性质和应用中的重要作用。
一、中位线中位线是连接三角形两个顶点与对边中点的线段。
三角形的每个顶点都有一条中位线，因此一个三角形有三条中位线。
我们可以将三条中位线交于一点，该点被称为三角形的重心。
重心是三条中位线交点的几何中心，也是三角形的一个重要性质。
三角形的重心有一些特殊的性质。
首先，重心将每条中位线分成两段，其中一段是另一段的两倍。
其次，重心到每个顶点的距离相等，即重心到三个顶点的距离相等。
此外，重心到任意一条边的距离为该边上相应中位线的1/3。
这些性质使得重心成为一些几何问题的关键。
中位线在三角形的平衡性质中也起着重要作用。
当一个三角形悬挂在某一点时，这个点就是重心。
这种平衡性质应用广泛，特别是在工程学和建筑学中。
例如，当设计桥梁或悬挂物体时，需要考虑三角形的平衡性，以确保结构的稳定性。
二、垂直平分线垂直平分线是指将三角形的一条边垂直平分，并延长至另外两条边的线段。
每个三角形的三条边都有一条垂直平分线，因此一个三角形有三条垂直平分线。
三条垂直平分线交于一点，该点被称为三角形的外心。
三角形的外心有一些特殊的性质。
首先，外心到每个顶点的距离相等，即外心到三个顶点的距离相等。
其次，外心到每条边的距离相等，即外心到三条边的距离相等。
此外，外心位于三角形的外接圆上，外接圆是通过三个顶点构造的圆。
垂直平分线和外心在三角形的外接圆性质中起到关键作用。
外接圆的圆心就是三角形的外心，这个点对于许多几何问题和证明是非常重要的。
外心与外接圆的关系使得它们在三角形的求解、证明和构造中发挥着重要作用。
三、三角形的性质和应用中位线和垂直平分线不仅仅是三角形的几何性质，它们还有很多应用。
例如，在计算三角形的面积时，可以利用中位线将三角形划分为三个小三角形，从而简化计算。
初中数学 几何证明题的知识点总结
几何证明题的知识点总结知识点：一、线段垂直平分线（中垂线）性质定理及其逆定理：定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。
逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
MPA BN二、角平分线的性质定理及其逆定理：定理：在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等。
逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到这个角两边距离相等的点，定在这个角的平分线上。
三、相交线、平行线1、对顶角相等2、平行线的判定（1)同位角相等，两直线平行（2)内错角相等，两直线平行（3)同旁内角互补，两直线平行3、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等（2）两直线平行，内错角相等（3）两直线平行，同旁内角互补（4）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行四、三角形 1、等腰三角形（1）等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线 （2）等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这个三角形就是等腰三角形（简称为“等角对等边”） 2、RT 的性质定理：（1）RT 的两个锐角互余。
（2）在RT 中，斜边上的中线等于斜边的一半。
推论：（1）在RT 中，如果一个锐角等于30度，那么这个角所对的边等于斜边的一半。
（2）在RT 中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30度。
2、勾股定理在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方即：c b a222=+3、三角形中位线定理：三角形两边中点连线平行于第三边，且等于第三遍的一半。
4、全等三角形的判定定理（1）三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS) （2）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS) （3）有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA) （4）有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)（5）直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL) 5、全等三角形的性质（1）全等三角形的对应角相等（2）全等三角形的对应边、对应中线、对应高、对应角平分线相等五、平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 性质定理：（1)平行四边形的对边相等（推论：夹在两条平行线间的平行线段相等、平行线间的距离处处相等） （2）平行四边形的对角相等（3）平行四边形的两条对角线互相平分（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点 判定定理：(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． (2)定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形． (3)定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． (4)定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形． (5)定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．六、矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 性质：（1）矩形的四个角都是直角（2）矩形的对角线相等判定定理：（1）有三个内角是直角的四边形是矩形（2）对角线相等的平行四边形是矩形七、菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形性质：（1）菱形的四条边都相等（2）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角判定定理：(1)四边都相等的四边形是菱形．(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．八、正方形定义：有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形性质：（1)正方形的四个角都是直角，四条边都相等．(2)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．判定定理：(1)判定一个四边形为正方形主要根据定义，途径有两种：①先证它是矩形，再证它有一组邻边相等．②先证它是菱形，再证它有一个角为直角．(2)判定正方形的一般顺序：①先证明它是平行四边形；②再证明它是菱形(或矩形)；③最后证明它是矩形(或菱形)九、（等腰)梯形梯形定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形等腰梯形性质：(1)等腰梯形两腰相等、两底平行．(2)等腰梯形在同一底上的两个角相等．(3)等腰梯形的对角线相等．等腰梯形判定定理：(1)两腰相等的梯形是等腰梯形．(2)在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．(3)对角线相等的梯形是等腰梯形．梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
角平分线,垂直平分线
证明（二）特殊辅助线知识点1：线段的垂直平分线线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
知识点2：角平分线（对称性）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
由中点想到的辅助线在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。
一、三角形的一条中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形例如如图1，AD是ΔABC的中线，则SΔABD=SΔACD=SΔABC（因为ΔABD与ΔACD是等底同高的）。
如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（）A 、∠BCA=∠FB 、∠B=∠EC 、BC∥EFD 、∠A=∠EDF例1．如图，ΔABC中，AD是中线，延长AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中线。
已知ΔABC的面积为2，求：ΔCDF的面积。
二、由中点应想到利用三角形的中位线例2．）如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE（不需证明）．问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论；问题二：如图3，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF 并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD的形状并证明．三、由中线应想到延长中线，使延长的部分等于中线长例3．如图4，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，连BC上的中线AD=2，求BC的长。
中考数学真题分类汇编及解析(二十一)角平分线、线段垂直平分线、中位线
（2022•广东中考）如图，在△ABC 中，BC ＝4，点D ，E 分别为AB ，AC 的中点，则DE ＝（ ）A ．14B ．12C ．1D ．2【解析】选D ．因为点D ，E 分别为AB ，AC 的中点，BC ＝4，所以DE 是△ABC 的中位线，所以DE =12BC =12×4＝2.（2022•南充中考）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，DE ∥AB ，交AC 于点E ，DF ⊥AB 于点F ，DE ＝5，DF ＝3，则下列结论错误的是（ ）A ．BF ＝1B ．DC ＝3 C ．AE ＝5D ．AC ＝9【解析】选A ．因为AD 平分∠BAC ，∠C ＝90°，DF ⊥AB ， 所以∠1＝∠2，DC ＝FD ，∠C ＝∠DFB ＝90°，因为DE ∥AB ，所以∠2＝∠3，所以∠1＝∠3，所以AE ＝DE ， 因为DE ＝5，DF ＝3，所以AE ＝5，CD ＝3，故选项B 、C 正确； 所以CE =√DE 2−CD 2=4，所以AC ＝AE +EC ＝5+4＝9，故选项D 正确； 因为DE ∥AB ，∠DFB ＝90°， 所以∠EDF ＝∠DFB ＝90°， 所以∠CDF +∠FDB ＝90°， 因为∠CDF +∠DEC ＝90°， 所以∠DEC ＝∠FDB ， 因为∠C ＝∠DFB ，CD ＝FD ， 所以△ECD ≌△DFB （AAS ）， 所以CE ＝BF ＝4，故选项A 错误；（2022•德阳中考）如图，在四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 边上的中点，则下列结论一定正确的是（ ）A ．四边形EFGH 是矩形B ．四边形EFGH 的内角和小于四边形ABCD 的内角和C ．四边形EFGH 的周长等于四边形ABCD 的对角线长度之和 D ．四边形EFGH 的面积等于四边形ABCD 的面积的14【解析】选C ．A ．如图，连接AC ，BD ，在四边形ABCD 中，因为点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 边上的中点，所以EH ∥BD ，EH =12BD ，FG ∥BD ，FG =12BD ，所以EH ∥FG ，EH ＝FG ，所以四边形EFGH 是平行四边形，故A 选项错误；B ．因为四边形EFGH 的内角和等于360°，四边形ABCD 的内角和等于360°，故B 选项错误；C ．因为点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 边上的中点，所以EH =12BD ，FG =12BD ，所以EH +FG ＝BD ， 同理：EF +HG ＝AC ，所以四边形EFGH 的周长等于四边形ABCD 的对角线长度之和，故C 选项正确； D ．四边形EFGH 的面积不等于四边形ABCD 的面积的14，故D 选项错误．A ．12B ．9C ．6D ．3√2【解析】选B ．因为AB ＝AC ，AD 是△ABC 的角平分线，所以BD ＝CD =12BC ＝3，AD ⊥BC ，在Rt △EBD 中，∠EBC ＝45°， 所以ED ＝BD ＝3，所以S △EBC =12BC •ED =12×6×3＝9（2022•河北中考）如图，将△ABC 折叠，使AC 边落在AB 边上，展开后得到折痕l ，则l 是△ABC 的（ ）A ．中线B ．中位线C ．高线D ．角平分线【解析】选D ．由已知可得，∠1＝∠2，则l 为△ABC 的角平分线.2101（2022•宜昌中考）如图，在△ABC 中，分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ．作直线MN ，交AC 于点D ，交BC 于点E ，连接BD ．若AB ＝7，AC ＝12，BC ＝6，则△ABD 的周长为（ ）A ．25B ．22C ．19D ．18【解析】选C ．由题意可得，MN 垂直平分BC ，所以DB ＝DC ， 因为△ABD 的周长是AB +BD +AD ，所以AB +BD +AD ＝AB +DC +AD ＝AB +AC ， 因为AB ＝7，AC ＝12，所以AB +AC ＝19，所以△ABD 的周长是19.A ．△ABC 是等边三角形B ．AB ⊥CDC ．AH ＝BHD ．∠ACD ＝45°【解析】选ABC ．由作法得CD 垂直平分AB ，AC ＝BC ＝AB ，所以△ABC 为等边三角形，AB ⊥CD ，AH ＝BH ，所以A 、B 、C 选项符合题意； 所以∠ACD =12∠ACB ＝30°．所以D 选项不符合题意（2022•眉山中考）在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝6，AC ＝8，点D ，E ，F 分别为边AB ，AC ，BC 的中点，则△DEF 的周长为（ ） A ．9B ．12C ．14D ．16【解析】选A.如图，点E ，F 分别为各边的中点， 所以DE 、EF 、DF 是△ABC 的中位线，所以DE =12BC ＝3，EF =12AB ＝2，DF =12AC ＝4， 所以△DEF 的周长＝3+2+4＝9（2022•毕节中考）在△ABC 中，用尺规作图，分别以点A 和C 为圆心，以大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和N ．作直线MN 交AC 于点D ，交BC 于点E ，连接AE ．则下列结论不一定正确的是（ ）A ．AB ＝AE B ．AD ＝CDC ．AE ＝CED ．∠ADE ＝∠CDE 【解析】选A ．由作图可知，MN 垂直平分线段AC ， 所以AD ＝DC ，EA ＝EC ，∠ADE ＝∠CDE ＝90°， 故选项B ，C ，D 正确．②作直线PQ 交AB 于点D ；③以点D 为圆心，AD 长为半径画弧交PQ 于点M ，连接AM 、BM ． 若AB ＝2√2，则AM 的长为（ ）A ．4B ．2C ．√3D ．√2【解析】选B ．由作图可知，PQ 是AB 的垂直平分线，所以AM ＝BM ， 因为以点D 为圆心，AD 长为半径画弧交PQ 于点M ，所以DA ＝DM ＝DB ， 所以∠DAM ＝∠DMA ，∠DBM ＝∠DMB ，因为∠DAM +∠DMA +∠DBM +∠DMB ＝180°，所以2∠DMA +2∠DMB ＝180°， 所以∠DMA +∠DMB ＝90°，即∠AMB ＝90°，所以△AMB 是等腰直角三角形，所以AM =√22AB =√22×2√2=2．（2022•怀化中考）如图，△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若S △ADE ＝2，则S △ABC ＝ 8 ．【解析】因为D ，E 分别是AB ，AC 的中点， 所以DE ：BC ＝1：2，DE ∥BC ， 所以△ADE ∽△ABC ， 所以S △ADE S △ABC =(DE BC)2=14，即2S △ABC=14，所以S △ABC ＝8． 答案：8（2022•株洲中考）如图所示，点O 在一块直角三角板ABC 上（其中∠ABC ＝30°），OM ⊥AB 于点M ，ON ⊥BC 于点N ，若OM ＝ON ，则∠ABO ＝ 15 度．【解析】方法一：因为OM ⊥AB ，ON ⊥BC ，OM ＝ON ， 所以点O 在∠ABC 的平分线上，（2022•扬州中考）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片ABC，第1次折叠使点B落在BC边上的点B′处，折痕AD交BC于点D；第2次折叠使点A落在点D处，折痕MN交AB′于点P．若BC＝12，则MP+MN＝6．【解析】如图2，由折叠得：AM＝MD，MN⊥AD，AD⊥BC，所以GN∥BC，所以AG＝BG，所以GN是△ABC的中位线，所以GN=12BC=12×12＝6，因为PM＝GM，所以MP+MN＝GM+MN＝GN＝6．答案：61【解析】设MN 交BC 于D ，连接EC ，如图：由作图可知：MN 是线段BC 的垂直平分线， 所以BE ＝CE ＝4， 所以∠ECB ＝∠B ＝45°， 所以∠AEC ＝∠ECB +∠B ＝90°， 在Rt △ACE 中，AE =√AC 2−CE 2=√52−42=3， 所以AB ＝AE +BE ＝3+4＝7， 答案：7．（2022•达州中考）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝20°，分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧分别相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，则∠CAD 的度数为 50° ．【解析】因为∠C ＝90°，∠B ＝20°， 所以∠CAB ＝90°﹣∠B ＝90°﹣20°＝70°， 由作图可知，MN 垂直平分线段AB ， 所以DA ＝DB ，所以∠DAB ＝∠B ＝20°，所以∠CAD ＝∠CAB ﹣∠DAB ＝70°﹣20°＝50°， 答案：50°【解析】因为CD ＝AD ，CE ＝EB ，所以DE 是△ABC 的中位线，所以AB ＝2DE ， 因为DE ＝10m ，所以AB ＝20m ， 答案：20．（2022•苏州中考）如图，在平行四边形ABCD 中，AB ⊥AC ，AB ＝3，AC ＝4，分别以A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，过M ，N 两点作直线，与BC 交于点E ，与AD 交于点F ，连接AE ，CF ，则四边形AECF 的周长为 10 ．【解析】因为AB ⊥AC ，AB ＝3，AC ＝4， 所以BC =√AB 2+AC 2=5，由作图可知，MN 是线段AC 的垂直平分线， 所以EC ＝EA ，AF ＝CF ，所以∠EAC ＝∠ACE ， 因为∠B +∠ACB ＝∠BAE +∠CAE ＝90°， 所以∠B ＝∠BAE ，所以AE ＝BE ， 所以AE ＝CE =12BC ＝2.5， 因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD ＝BC ＝5，CD ＝AB ＝3，∠ACD ＝∠BAC ＝90°， 同理证得AF ＝CF ＝2.5，所以四边形AECF 的周长＝EC +EA +AF +CF ＝10， 答案：10（2022•衡阳中考）如图，在△ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径作圆弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 交CB 于点D ，连接AD ．若AC ＝8，BC ＝15，则△ACD 的周长为 23 ．【解析】根据作图过程可知：MN 是线段AB 的垂直平分线，（2022•台州中考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点．若EF的长为10，则CD的长为10 ．【解析】因为E，F分别为BC，CA的中点，所以EF是△ABC的中位线，所以EF=12AB，所以AB＝2EF＝20，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，AB＝20，所以CD=12AB＝10，答案：10（2022•福建中考）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．若BC＝12，则DE的长为6．【解析】因为D，E分别是AB，AC的中点，所以DE为△ABC的中位线，所以DE=12BC=12×12＝6．答案：6．（2022•荆州中考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于D，E，连接CD．若CE=13AE＝1，则CD＝√6．【解析】如图，连接BE，因为CE=13AE＝1，所以AE＝3，AC＝4，而根据作图可知MN为AB的垂直平分线，所以AE＝BE＝3，在Rt△ECB中，BC=√BE2−CE2=2√2，所以AB=√AC2+BC2=2√6，因为CD 为直角三角形ABC 斜边上的中线，所以CD =12AB =√6． 答案：√6．（2022•梧州中考）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，E 分别是AB ，AC 边上的中点，连接CD ，DE ．如果AB ＝5m ，BC ＝3m ，那么CD +DE 的长是 4 m ．【解析】因为点D ，E 分别是AB ，AC 边上的中点，所以DE 是△ABC 的中位线，所以DE =12BC ， 因为BC ＝3m ，所以DE ＝1.5m ，因为∠ACB ＝90°，所以CD =12AB ， 因为AB ＝5m ，所以CD ＝2.5m ，所以CD +DE ＝2.5+1.5＝4（m ）. 答案：4．（2022·牡丹江中考）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠CAB ，AC ＝6，BC ＝8，CD ＝ 3 ．【解析】如图，过点D 作DE ⊥AB 于E ， 因为∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8， 所以AB =√AC 2+BC 2=√62+82=10， 因为AD 平分∠CAB ， 所以CD ＝DE ，所以S △ABC =12AC •CD +12AB •DE =12AC •BC ， 即12×6•CD +12×10•CD =12×6×8，解得CD ＝3．答案：3（2022•吉林中考）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是边AD 的中点，点F 在对角线AC 上，且AF =14AC ，连接EF ．若AC ＝10，则EF ＝ 52 ．【解析】在矩形ABCD 中，AO ＝OC =12AC ，AC ＝BD ＝10，因为AF =14AC ，所以AF =12AO ，所以点F 为AO 中点，所以EF 为△AOD 的中位线，所以EF =12OD =14BD =52．答案：52（2022•广东中考）如图，已知∠AOC ＝∠BOC ，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ．求证：△OPD ≌△OPE ．【证明】因为∠AOC ＝∠BOC ，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，所以PD ＝PE ，在Rt △OPD 和Rt △OPE 中，{OP =OP PD =PE，所以Rt △OPD ≌Rt △OPE （HL ）． （2022•赤峰中考）如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝8，BC ＝5．（1）作BC 的垂直平分线，分别交AB 、BC 于点D 、H ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，连接CD ，求△BCD 的周长．【解析】（1）如图，DH 为所作；。
三角形全部知识点的总结
第一章图形的初步认识考点一、线段垂直平分线，角的平分线，垂线1、线段垂直平分线的性质定理及逆定理垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。
线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
2、角的平分线及其性质一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
角的平分线有下面的性质定理：〔1〕角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
〔2〕到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
3垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与直线垂直。
性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
简称：垂线段最短。
考点二、平行线1、平行线的概念在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。
4、平行线的性质〔1〕两直线平行，同位角相等；〔2〕两直线平行，内错角相等；〔3〕两直线平行，同旁内角互补。
考点三、投影与视图1、投影投影的定义：用光线照射物体，在地面上或墙壁上得到的影子，叫做物体的投影。
平行投影：由平行光线〔如太阳光线〕形成的投影称为平行投影。
中心投影：由同一点发出的光线所形成的投影称为中心投影。
2、视图当我们从某一角度观察一个实物时，所看到的图像叫做物体的一个视图。
物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图。
主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图。
俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图。
左视图：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图，有时也叫做侧视图。
第二章三角形考点一、三角形1、三角形的分类三角形按边的关系分类如下：不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形三角形按角的关系分类如下：直角三角形〔有一个角为直角的三角形〕三角形 锐角三角形〔三个角都是锐角的三角形〕斜三角形钝角三角形〔有一个角为钝角的三角形〕把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。
相似三角形中的中位线定理与垂直平分线定理
相似三角形中的中位线定理与垂直平分线定理在几何学中，相似三角形是许多重要定理的基础。
本文将介绍与相似三角形相关的两个重要定理，分别是中位线定理和垂直平分线定理。
这两个定理有助于我们进一步理解三角形的性质和特点。
一、相似三角形的中位线定理中位线是指连接三角形中一顶点和对边中点的线段。
对于任意三角形ABC，若D、E、F分别为BC、CA、AB上的中点，则有以下定理：定理1：在相似三角形中，三角形的各个中位线共点，并且该点与三角形的各顶点距离相等。
证明：考虑三角形ABC和A'B'C'，若A'B'C' ∼ ABC，则根据相似三角形的定义，存在一种正比例，使得：AB/A'B' = BC/B'C' = CA/C'A' = k由于D、E、F分别是BC、CA、AB上的中点，那么有：BD/EB = k，CE/AF = k，AF/CF = k我们可以将这三个等式合并为一个等式：（BD+CE+AF）/(EB+CF+BD) = k但是，根据中位线的定义，我们知道：BD = 1/2 BC，CE = 1/2 CA，AF = 1/2 AB代入上式得到：(1/2BC + 1/2CA + 1/2AB)/(EB+CF+1/2BC) = k进一步化简得到：(BC + CA + AB)/(3EB + 3CF + BC) = k由于等式左侧为常数，而k也是常数，所以被约去。
这说明3EB + 3CF + BC = BC + CA + AB，从而EB + CF = CA + AB。
因此，E、C、B三点共线，即中位线共点。
相似三角形的中位线定理得证。
二、相似三角形的垂直平分线定理垂直平分线是指将一条线段垂直地平分成两段的线。
对于任意三角形ABC，若BE是边AC上一点B的垂直平分线，则有以下定理：定理2：在相似三角形中，三条垂直平分线交于一点，并且与三角形的对边相交的点到对应顶点的距离相等。
平面几何中的垂直平分线与中位线性质
平面几何中的垂直平分线与中位线性质在平面几何中，垂直平分线和中位线是两个重要的概念，它们在各种图形中具有独特的性质和作用。
本文将着重讨论垂直平分线和中位线在平面几何中的性质和应用。
一、垂直平分线的定义和性质垂直平分线是指一条直线能够将一段线段平分，并且与该线段垂直相交。
根据垂直平分线的定义，我们可以得出以下性质：1. 垂直平分线将线段分成两个相等的部分。
垂直平分线将线段分成两段长度相等的线段，即使线段长度不同，垂直平分线仍然能够将其平分。
2. 在直角三角形中，垂直平分线同时也是中位线。
由于直角三角形中的两条直角边相等，所以垂直平分线也同时作为中位线，即将斜边平分为两段相等的线段。
3. 若一条直线既是垂直平分线又是一条中位线，那么该直线是直角三角形的高。
在直角三角形中，垂直平分线和中位线有共同的特点，即将斜边平分为两段相等的线段。
因此，该直线也是直角三角形的高。
二、中位线的定义和性质中位线是指连接一个三角形的一个顶点和对立边中点的线段。
中位线的定义引出了以下性质：1. 在等边三角形中，中位线与边垂直且长度相等。
等边三角形中，三条边均相等，所以连接一个顶点和对立边中点的中位线即为垂直平分线，且长度相等。
2. 在直角三角形中，中位线等于一半的斜边长度。
由于中位线连接一个顶点和对立边中点，而直角三角形中斜边是斜边上两个直角边长度之和的一半，所以中位线长度等于斜边长度的一半。
3. 在任意三角形中，三条中位线交于一点，该点被称为三角形的重心。
三角形的重心是三条中位线的交点，它是三角形内部到三角形三个顶点距离之和最小的点。
重心有着重要的几何性质，如将重心作为旋转中心时，三条中位线能够相互垂直。
综上所述，垂直平分线和中位线在平面几何中有着重要的性质和作用，它们不仅能够划分图形，而且还能够揭示图形内部的一些特点和关系。
了解垂直平分线和中位线的性质，对于平面几何的学习和应用至关重要。
有关垂直平分线和中位线更深入的研究和应用将进一步拓展我们对于平面几何性质的认识和理解。
线段相关知识点总结
线段相关知识点总结一、线段的定义线段是平面上的一段有限长的直线部分，两个端点确定一段唯一的线段。
线段可以用字母表示，如AB、BC等。
二、线段的性质1. 唯一性：由两个不同的点，在平面上只有一条线段与之对应。
2. 长度：线段的长度是线段两个端点之间的距离，可以通过坐标系计算得出。
3. 线段的延长：线段可以延长，延长后成为直线。
4. 线段的中点：线段中点是指线段的内部点，到线段两端点的距离相等。
5. 线段的平分：如果一条直线将一条线段分成相等的两部分，那么这条直线为线段的中位线。
6. 线段的垂直平分：如果一条垂直线将一条线段分成相等的两部分，那么这条直线为线段的垂直平分线。
7. 线段的夹角：两条线段相交时，它们所夹的角度称为线段的夹角。
8. 线段的夹角关系：两条线段夹角的大小可以通过角度公式来计算。
9. 线段的垂直关系：如果两条线段的夹角为90度，则它们是垂直关系。
10. 线段的平行关系：如果两条线段在同一平面上，且它们的方向相同，则它们是平行关系。
三、线段的应用1. 测量长度：线段用于测量长度，如建筑施工、地图绘制、道路规划等。
2. 切割等分：线段可以用于切割等分物体，如木板、绳子等。
3. 组合图形：线段可以用于组合图形，构成各种几何图形。
4. 结构支撑：线段可以用于构建各种支撑结构，如桥梁、塔楼等。
5. 几何证明：线段可以用于几何证明，如证明线段的夹角关系、垂直关系、平行关系等。
四、常见的线段定理1. 线段的加法定理：如果A、B、C三点共线，且B点在AC线段上，那么AB+BC=AC。
2. 线段的分等定理：如果D是AB的中点，则AD=BD=1/2AB。
3. 线段的减法定理：如果A、B、C三点共线，那么AC=AB+BC。
4. 线段的等分与倍分：线段可以按照一定比例等分或倍分。
五、线段相关定理的应用实例1. 实例一：AB是直角三角形ABC的斜边，D是AB上一点，且AD=AC，求证：∠AC=∠CAD。
证明：由线段的等分定理得知AC=AD，又根据三角形的对顶角相等，可得∠AC=∠CAD。
探查中位线与角平分线
探查中位线与角平分线中位线和角平分线是几何中重要的概念和工具，它们在解决几何问题和构造几何图形时起到了重要作用。
本文将详细介绍中位线和角平分线的定义、性质和应用，并探索它们在几何学中的重要作用。
一、中位线中位线是一个三角形内的特殊线段，它连接一个顶点和相对边中点，三条中位线的交点称为三角形的重心。
中位线对三角形的重心进行平分，即将重心划分为三个等分点，这是中位线的一个重要性质。
在解决几何问题时，中位线具有以下重要作用：1. 定位点：通过中位线，我们可以准确地定位一个点在三角形内部的位置。
特别是当我们需要在三角形内构造一个点使得它和三角形的三个顶点距离相等时，中位线起到了关键作用。
2. 切分线段：中位线将一个边分成两个等长的部分，这在解决分割线段问题时非常有用。
通过在两条中位线的交点上建立等边三角形，我们可以将一个边分成任意等分的部分。
3. 证明三角形的性质：在证明某些三角形性质时，通过中位线可以简化证明过程并得到更直接的结论。
例如，通过中位线我们可以证明三角形的内心、重心和垂心共线等重要性质。
二、角平分线角平分线是从三角形内一个角的顶点出发，将角平分为两个相等的角的线段。
在几何学中，角平分线具有以下重要性质：1. 垂直关系：三角形的角平分线和对边垂直。
这一性质可以用于解决垂足、垂直平分线等几何问题，以及构造垂直、平行线等线段。
2. 相等关系：一个角的两条平分线相等，即每条平分线按一定比例分割对边。
这一性质可以用于证明三角形的相似性和等旁性等重要定理。
3. 构造角：通过角平分线我们可以精确地构造一个给定角的一半，这在几何问题中非常有用。
三、中位线和角平分线的关系中位线和角平分线之间有一定的关联性，特别是在等边三角形和正三角形中。
在等边三角形中，中位线和角平分线重合，共同构成了对称性。
这种对称性使得等边三角形具有许多独特的性质和特征。
四、中位线与角平分线的应用中位线和角平分线在几何学中有广泛的应用，它们为解决几何问题提供了有力的工具。
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知识点22 线段垂直平分线、角平分线、中位线 一、选择题
5．(2019·泰州) 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成,点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 在小正方形的顶点上,则
△ABC 的重心是( )
A.点D
B.点E
C.点F
D.点G
第5题图
【答案】A
【解析】三角形的重心是三条中线的交点,由图中可知,△ABC 的三边的中点都在格点上,三条中线如图所示交于
点D,故选A.
第5题图
4．（2019·盐城）如图，点D 、E 分别是△ABC 边BA 、BC 的中点，AC ＝3，则DE 的长为( )
A ．2
B ．
C ．3
D ．
【答案】D 342
3E D
B
A
C A
B
C
E D G F
A
C
E D G F
【解析】由中位线的定义可知DE 是△ABC 的中位线，进而由中位线的性质可得DE =21AC =2
3,故选D. 7．（2019·青岛）如图，BD 是△ABC 的角平分钱，AE ⊥BD ，垂足为F . 若∠ABC =35°，∠C =50°，则∠CDE 的度数为
A ．35︒
B ．40︒
C ．45︒
D ．50︒
【答案】C
【解析】本题考查角平分线的性质，因为BD 平分∠ABC ，AE ⊥BD ，所以△ABF ≌△EBF ,所以BD 是线段AE 的垂直平分线，所以AD =ED ，所以∠BAD =∠BED =180°-35°-50°=95°, 所以∠CDE =180°-∠C =95°-50°=45°,故选C .
1. （2019·湖州）如图，已知在四边形ABCD 中，∠BCD ＝90°，BD 平分∠ABC ，AB ＝6，BC ＝9，CD ＝4，则
四边形ABCD 的面积是（ ）
A ．24
B ．30
C ．36
D ．42
【答案】B ．
【解析】如图，过D 点作DE ⊥BA 于点D ，
又∵BD 平分∠ABC ，∠BCD ＝90°，
∴DC ＝DE ＝4．
∵AB ＝6，BC ＝9，
∴S 四边形ABCD ＝S △BCD ＋S 四边形ABD ＝
12AB •DE ＋12BC •DC ＝12×6×4＋12
×9×4＝12＋18＝30． 故选B ．
二、填空题
D
C B A E
A B
C D
17．（2019·长沙）如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE=50m，则AB的长是 m．
【答案】100
【解析】∵AC，BC的中点D，E，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=1
2
AB.∵DE=50m，∴AB=100m. 故填：100．
18．(2019·广元)如图,已知:在△ABC中,∠BAC＝90°,延长BA到点D,使AD＝1
2
AB,点E,F分别是边BC,AC的
中点.
求证:DF＝BE.
第18题图
解：连接AE,∵点E,F分别是边BC,AC的中点,∴EF是△ABC的中位线,∴EF∥AB,即EF∥AD,且EF＝1
2
AB,又
∵AD＝1
2
AB,∴AD＝EF,∴四边形ADFE是平行四边形,∴DF＝AE,又∵在Rt△ABC中,点E是中点,∴AE＝
1
2
BC＝BE＝CE,∴BE＝DF.。