知识点24 线段垂直平分线、角平分线、中位线2018--1

一、选择题

1. （2018四川泸州，7题，3分） 如图2，Y ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AB 中点，且

AE+EO=4，则

Y ABCD 的周长为（ ）

A.20

B. 16

C. 12

D.8

第7题图 【答案】B

【解析】Y

ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，所以O 为AC 的中点，又因为E 是AB 中点，所以EO 是

△ABC 的中位线，AE=

21AB ，EO=2

1

BC ，因为AE+EO=4，所以AB+BC=2(AE+EO)=8，Y

ABCD 中AD=BC ，AB=CD ，所以周长为2(AB+BC)=16

【知识点】平行四边形的性质，三角形中位线

2. （2018四川省南充市，第8题，3分）如图，在Rt ABC ?中，90ACB ∠=o ，30A ∠=o ，D ，E ，F 分别

为AB ，AC ，AD 的中点，若2BC =，则EF 的长度为（ ）

A ．

12 B ．1 C ．3

2

D

【答案】B

【思路分析】1.由∠ACB =90°，∠A =30°，BC 的长度，可求得AB 的长度，2.利用直角三角形斜边的中线等于斜边第一半，求得CD 的长度；3.利用中位线定理，即可求得EF 的长.

【解题过程】解：在Rt∠ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，BC =2，，∠AB =4，CD =12AB ，∴CD =1

2

×4=2，∠E ，F

分别为AC ，AD 的中点，∠EF =12CD =1

2

×2=1，故选B.

【知识点】30°所对直角边是斜边的一半；直角三角形斜边的中线等于斜边第一半；中位线定理

3. （2018四川省达州市，8，3分） △ABC 的周长为19，点D 、E 在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为N ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为M ．若BC ＝7，则MN 的长为（ ） ．

A ．32

B ．2

C ．5

2

D ．3

第8题图

D

【答案】C ，

【解析】∵△ABC 的周长为19，BC ＝7， ∴AB ＋AC ＝12．

∵∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为N ，∴BA ＝BE ，N 是AE 的中点． ∵∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为M ，∴AC ＝DC ，M 是AD 的中点． ∴DE ＝AB ＋AC －BC ＝5． ∵MN 是△ADE 的中位线，

∴MN ＝12DE ＝5

2

．

故选C.

【知识点】三角形的中位线

4. （2018浙江杭州， 10，3分）如图，在△ABC 中，点D 在AB 边上，DE//BC ，与边AC 交于点E ，连接BE ，

记△ADE ，△BCE 的面积分别为S 1，S 2,（ ）

A. 若2AD>AB ，则3S 1>2S 2

B. 若2AD>AB ，则3S 1<2S 2

C. 若2AD2S 2

D. 若2AD

【答案】D

【思路分析】首先考虑极点位置，当2AD=AB 即AD=BD 时S 1，S 2的关系，然后再考虑AD>BD 时S 1，S 2的变化情况。

【解题过程】当2AD=AB 即AD=BD 时2 S 1= S 2，则3S 1<2S 2。当2ADAB 时，不确定。 【知识点】中位线及面积大小比较

5. （2018浙江湖州，8，3）如图，已知在△ABC 中，∠BAC ＞90°，点D 为BC 的中点，点E 在AC 上，将△

CDE 沿DE 折叠，使得点C 恰好落在BA 的延长线上的点F 处，连结AD ，则下列结论不一定正确的是（ ）

A ．AE ＝EF

B ．AB ＝2DE

C ．△ADF 和△ADE 的面积相等

D ．△AD

E 和△FDE 的面积相等

【答案】C

【解析】选项A ，∵D 为BC 的中点，∴所以BD ＝CD ．∵FD ＝CD ，∴FD ＝BD ．∴∠B ＝∠BFD ．∵∠C ＝∠

DFE ，∴ ∠B +∠C ＝∠BFD +∠DFE ．∴∠F AE ＝∠AFE ．∴AE ＝FE ．选项A 正确．

选项B ，∵E 为AC 的中点，D 为BC 的中点，∴DE 为△ABC 的中位线．∴AB ＝2DE ．选项B 正确． 选项C ，∵BF ∥DE ，∴△ADF 和△ADE 的高相等．但不能证明AF ＝DE ，∴△ADF 和△ADE 的面积不一定相等．选项C 错误．

选项D ，△ADE 和△FDE 同底等高，面积相等，选项D 正确．故选C. 【知识点】等腰三角形，折叠，中位线，三角形的外角

1. （2018湖北黄冈，4题，3分）如图，在△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，且分别交BC ，AC 于点D 和E ，∠B=60°，∠C=25°，则∠BAD 为

C

B

E

D

A

E

A

F

B

D

C

A.50°

B.70°

C.75°

D.80°

第4题图

【答案】B

【解析】在△ABC中，∠B=60°，∠C=25°,所以∠BAC=95°,因为DE是AC的垂直平分线，所以DA=DC,所以∠DAC=∠C=25°，所以∠BAD=∠BAC-∠DAC=70°，故选B

【知识点】三角形内角和，垂直平分线的性质

2.（2018湖南郴州，7，3）如图，∠AOB=60°，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB于点C，D

两点，分别以C，D为圆心，以大于1

2

CD的长为半径作弧，两弧相交于点P，以O为端点作射线OP，在射线

OP上截取线段OM=6，则M点到OB的距离为（）

A.6

B.2

C.3

D.

【答案】D

【思路分析】判断出OP是∠AOB的平分线，过点M作ME⊥OB于E，根据角平分线的性质可得∠MOB=30°，

2

3.（2018甘肃天水，T6，F4）如图所示，点O是矩形ABCD对角线AC的中点，OE∥AB交AD于点E.若OE=3，

BC=8，则OB的长为（）

A.4

B.5

C.√34

2

D.√34

【答案】B.

【解析】∵四边形ABCD 是矩形，

∴∠ABC=90°，AB ∥CD ，AB=CD ，点O 是AC 的中点. ∵OE ∥AB ， ∴OE ∥CD ，

∴OE 是△ACD 的中位线， ∴CD=2OE=6， ∴AB=6.

在Rt △ABC 中，AB=6，BC=8， ∴AC=10.

∵OB 是Rt △ABC 斜边的中线，

∴

OB=1

2AC=5.

【知识点】矩形的性质，中位线的性质

4. （2018河北省，6，3）尺规作图要求：ⅰ．过直线外一点作这条直线的垂线；ⅱ．作线段的垂直平分线；

ⅲ．过直线上一点作这条直线的垂线；ⅳ．作角的平分线．

如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：

则正确的配对是（ ）

A ．①—ⅳ，②—ⅱ，③—ⅰ，④—ⅲ

B ． ①—ⅳ，②—ⅲ，③—ⅱ，④—ⅰ

C ．①—ⅱ，②—ⅳ，③—ⅲ，④—ⅰ

D ． ①—ⅳ，②—ⅰ，③—ⅱ，④—ⅲ

【答案】D

【解析】根据不同的作图方法可以一一对应． ②的已知点在直线外，所以对应ⅰ，④的已知点在直线上，所以对应ⅲ．

【知识点】尺规作图，角的平分线，垂线，线段的垂直平分线

5. （2018河北省，8，3） 已知，如图，点P 在线段AB 外，且P A ＝PB ．求证：点P 在线段AB 的垂直平分线

上．在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（ ） A ．作∠APB 的平分线PC 交AB 于点C B ．过点P 作PC ⊥AB 于点C 且AC ＝BC

C ．取AB 中点C ，连接PC

D ．过点P 作PC ⊥AB ，垂足为C

l

第6题图

P

①

A

B

O

②

·

③

B

A ④

l

P

【答案】B

【解析】要证明P A ＝PB 需要作出AB 上的中线（或垂线或∠APB 的角平分线）．选项B 中作出的辅助线同时满足了两个条件，不正确．故选B ．

【知识点】线段的垂直平分线，等腰三角形的三线合一

6.（2018贵州安顺，T8，F3）已知△ABC （AC ＜BC ），用尺规作图的方法在BC 上确定一点P ，使 PA+PC = BC, 则符合要求的作图痕迹是（ ）

【答案】D

【解析】选项A ，该作图痕迹表示AB=PB ，不符合题意；选项B ，该作图痕迹表示作线段AC 的垂直平分线交BC 于点P ，即PA=PC ，不符合题意；选项C ，该作图痕迹表示AC=PC ，不符合题意；选项D ，该作图痕迹表示作线段AB 的垂直平分线交BC 于点P ，即PA=PB ，故PA+PC=BC,符合题意.故选D. 【知识点】尺规作图.

A

B

P

C 第8题图

7. （2018湖北荆门，11，3分）如图，等腰Rt ABC ?中，斜边AB 的长为2，O 为AB 的中点，P 为AC 边上的动点，OQ OP ⊥交BC 于点Q ，M 为PQ 的中点，当点P 从点A 运动到点C 时，点M 所经过的路线长为（ ）

A ．

4 B ．2

C.1 D ．2 【答案】C.

【解析】解：连接OM ，CM ，OC.

∵OQ ⊥OP ，且M 是PQ 的中点， ∴OM=

2

1PQ. ∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠ACB=90°， ∴CM=

2

1

PQ ， ∴OM=CM ，

∴△OCM 是等腰三角形， ∴M 在OC 的垂直平分线上.

∵当P 在A 点时，点M 为AC 的中点，当P 在C 点时，点M 为BC 的中点， ∴点M 所经过的路线长为

2

1

AB=1. 故选C.

【知识点】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，中位线，等腰三角形的判定与性质

8. （2018湖北省襄阳市，7，3分） 如图，在△ABC 中，分别以点A 和点C 为圆心，大于24cm 长为半径画弧，两弧相交于点M 、N ，作直线MN 分别交BC 、AC 于点D 、E.若AE =3cm ，△ABD 的周长为13cm ，则△ABC 的

A.16cm

B.19cm

C.22cm

D.25cm

【答案】B

【解析】解：由尺规作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，

∴AD=CD，AC=2AE=6cm，

∴AB+BC=AB+BD+DC=AB+BD+AD=C△ABD=13cm，

∴C△ABC=AB+BC+AC=13+6=19cm.

故选B.

【知识点】线段垂直平分线

9.（2018陕西，8，3分）如图，在菱形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点，连接EF、FG、GH和HE．若EH=2EF，则下列结论正确的是（）

A．AB=2EF B．AB=2EF C．AB=3EF D．AB=5EF

【答案】D

【思路分析】连接AC、BD交于点O．利用中位线性质和菱形的性质证明EF=AO，EH＝BO，结合菱形的对角线互相垂直，用勾股定理求线段AB与AO的关系，即得出AB与EF的关系．

【解题过程】连接AC、BD交于点O．

∵E，F分别为AB、BC的中点，

∴EF=

1

2

AC．

∵四边形ABCD为菱形，

∴AO=

1

2

AC，AC⊥BD．

O

同理：EH =BO ． ∵EH =2EF ． ∴BO =2AO ．

在Rt △ABO 中，设AO =x ，则BO =2x ． ∴AB =22

(2)55x x x +==AO ． ∴AB =5EF ，故选择D ．

【知识点】菱形的性质，中位线的性质，勾股定理

二、填空题

1. （2018四川泸州，题，3分） 如图5，等腰△ABC 的底边BC=20，面积为120，点F 在边BC 上，且BF=3FC ，EG 是腰AC 的垂直平分线，若点D 在EG 上运动，则△CDF 周长的最小值为 .

第16题图 【答案】18

【解析】做△ABC 的高AH ，因为S=120，BC=20，所以AH=12，△CDF 的周长=CF+CD+DF ，CF=5，因为EG 是腰AC 的垂直平分线，连接AD ，AF ，可得DA=DC ，所以AD+DF 的最小值为AF 的长度，在Rt △AHF 中，HF=5，AH=12，由勾股定理可得AF=13，因此△CDF 周长的最小值为18

【知识点】三角形面积，垂直平分线，勾股定理

2. （2018四川内江，23，6） 如图，以AB 为直径的⊙O 的圆心O 到直线l 的距离OE ＝3，⊙O 的半径r ＝2，

直线AB 不垂直于直线l ，过点A 、B 分别作直线l 的垂线，垂足分别为点D 、C ，则四边形ABCD 的面积的最大值为 ．

G

F

E

D

C

B

A

G

F

E

D

C

B

H

【答案】12

【思路分析】由于四边形ABCD 为梯形，所以面积为两底之和的一半再乘以高，由已知条件可以通过构造三角形的中位线，证得两底之和与线段OE 的长度有关，是一个定值，所以四边形面积的大小取决于高，当直径AB 为梯形的高时，面积最大． 【解题过程】解：连接DO

并延长交CB 的延长线于F ，∵AD ⊥l ，BC ⊥l ，∴AD ∥BC ，∴∠DAO ＝∠FBO ，∠ADO ＝∠F ，∵OA ＝OB ，∴△AOD ≌△BOF ，∴AD ＝BF ，OD ＝OF ，∵OE ⊥l ，∴AD ∥BC ∥OE ，∴OD OF ＝DE

CE

，∴DE ＝CE ，∴OE ＝

12CF ＝12 (BF ＋BC )＝12(AD ＋BC )，∴AD ＋BC ＝2OE ＝6，∵四边形ABCD 的面积＝1

2

(AD ＋BC )×CD ，∴当AB ∥l 时，即AB 为梯形的高时四边形ABCD 的面积最大，最大值为

1

2

×6×4＝12．

【知识点】三角形中位线，梯形的面积公式；全等三角形；

3. （2018四川广安，题号14，分值：3） 如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF ∥OB ，EC ⊥OB 于C ，若EC=1，则

OF=____.

第14题图 【答案】2.

【解析】过点E 作ED ⊥OA ，于点D. ∵EF ∥CO ，

∴∠EFA=∠AOC=∠AOE+∠BOE=30°. ∵∠AFE 是△OEF 的外角，

∴∠OEF=∠AEF-∠AOE=15°=∠AOE ， ∴OF=EF.

∵OE 是∠AOC 的平分线，CE ⊥OB ，EG ⊥OA ，

F

A

E B

O

D C

∴EG=CE=1.

在Rt △EFG 中，∠EFA=30°EG=1， ∴EF=2EG=2， 即OF=2.

【知识点】角平分线的性质，三角形外角的性质，平行线的性质

4. （2018四川省南充市，第13题，3分）如图，在△ABC 中，AF 平分BAC ∠，AC 的垂直平分线交BC 于

点E ，70B ∠=o ，19FAE ∠=o ，则C ∠= 度．

【答案】24

【解析】解：设∠C 的度数为x

∵DE 垂直平分AC ，∴EA =EC ，∴∠EAC =∠C =x ，∵∠F AE =19°，∴∠AFB =∠F AC +∠C =( x +19°)+x =2x +19°，∵AF 平分∠ABC ，∴∠BAF =∠F AC = x +19°，∵∠BAF +∠AFB +∠B =180°，即70°+（2x +19°）+(x +19°)=180° ，解得：x =24°.故答案为：24.

【知识点】角平分线的定义；垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形两锐角互余

5. （2018湖南衡阳，17，3分）如图，?ABCD 的对角线相交于点O ，且AD ≠CD ，过点O 作OM ⊥AC ，交AD 于点M .如果△CDM 的周长为8，那么ABCD Y 的周长是 ．

【答案】16

【解析】解：在?ABCD 中，AD=BC ，AB=CD ， ∵点O 为AC 的中点，OM ⊥AC ， ∴MO 为AC 的垂直平分线， ∴MC=MA ，

∴△CDM 的周长=MC+MD+CD=MA+MD+CD=AD+CD=8，

∴平行四边形ABCD的周长=2（AD+CD ）=16．【知识点】

6.（2018江苏泰州，14，3分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ACD=∠ABC=90°，E、F分别为AC、BD的中点，∠D=α，则∠BEF的度数为.（用含α的式子表示）

【答案】2703

°α

-

【解析】∵∠ACD=90°，∴∠CAD=90°－∠D=90°－α，∵E、F分别为AC、BD的中点，∴EF∥AD，∴∠CEF=∠CAD=90°－α，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠CAD=90°－α，∵∠ABC=90°，E为AC的中点，∴AE=BE，∴∠EBA=∠BAC=90°－α，∴∠BEC=180°－2α，∴∠BEF=270°－3α.

【知识点】三角形中位线，直角三角形的性质，等腰三角形的性质

7.（2018山东省济宁市，13，3）在△ABC中，点E，F分别是边AB，AC的中点，点D在BC边上，连接DE，DF，EF.请你添加一个条件_______，使△BED与△FDE全等.

【答案】答案不唯一，如：点D是BC的中点或者DF∥AB.

【解析】当D是BC的中点时，△BED≌△FDE.∵E，F分别是边AB，AC的中点，∴EF∥BC，当E，D分别是边AB，BC的中点时，ED∥AC，∴四边形BEFD是平行四边形，∴△BED≌△FDE，因此，答案为：D是BC的中点．

【知识点】全等三角形的判定，三角形中位线性质，平行线性质1.（2018武汉市，16，3分）如图，在△ABC 中，∠ACB＝60°，AC＝1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是___________

【答案】

3

【思路分析】延长BC至点F，使CF=AC，由题意得DE是△ABF的中位线，△ACF是底角为30°的等腰三角形，作CG⊥AF，垂足为G，可求得AF的长，从而求出DE的长.

【解题过程】延长BC至点F，使CF=AC，∵DE平分△ABC的周长，AD=BC，∴AC+CE=BE，∴BE=CF+CE=EF，∴DE∥AF，DE=

1

2

AF，∠CAF＝

1

2

∠ACB＝30°.作CG⊥AF，垂足为G，则∠AGC=90°，AF＝2AG＝2AC×cos∠CAF＝2×1×cos30°＝3，∴

3

2

DE=.

D

E F

A

B C

第14题图

【知识点】三角形的中位线 等腰三角形的性质 直角三角形中的边角关系

2. （2018河南，15，3分）如图, ∠MAN = 90°,点C 在边AM 上,AC = 4,点B 为边AN 上一动点,连接BC , A BC '?与ABC ?关于BC 所在直线对称．点D ,E 分别为AC ,BC 的中点,连接DE 并延长交A'B 所在直线于点F ,连接A'E ．当A EF '?为直角三角形时, AB 的长为___________．

【答案】4或43

【思路分析】根据题意，易得EF ∥AB ，∠CA B '＝∠CAB ＝90°，∠1＝∠2＝∠3．

当A EF '?为直角三角形时，分两种情况讨论：①∠A EF '＝90°时，∠A FE '＝2∠2，所以∠A FE '+∠3＝90°，即3∠2＝90°，∠2＝30°，从而AB ＝tan60AC ??＝43．②∠A FE '＝90°时，∠A BA '＝90°．根据对称，∠A BC '＝∠CBA ＝45°，进而判断出ABC ?是等腰直角三角形，从而求出AB ＝AC ＝4． 【解题过程】

图1 图2

解：∵∠MAN = 90°，A BC '?与ABC ?关于BC 所在直线对称．

∴∠CA B '＝∠CAB ＝90°，∠A BC '＝∠CBA

又∵点D ,E 分别为AC ,BC 的中点，连接DE 并延长交A'B 所在直线于点F

∴1

2

A E BC E

B '=

=，EF ∥AB. G

F

E

C

B

D

A F E

D A'

A

M N

C B （第15题）

当A EF '?为直角三角形时，由题意得，∠EA F '不能为直角，则 ①如图1，∠A EF '＝90°时，∠A FE '+∠3＝90°

∵EF ∥AB ，∴∠A FE '＝∠A BA '＝∠1+∠2＝2∠1. 又∵=A E EB ',∴∠1＝∠3,∴2∠1+∠1＝90°,∴∠1＝30°＝∠2,

∴AB ＝tan60AC ??＝

②如图2，∠A FE '＝90°时，

∵EF ∥AB,∴∠A BA '＝∠A FE '＝90°． 由对称可得，∠A BC '＝∠CBA ＝45°， ∴ABC ?是等腰直角三角形∴AB ＝AC ＝4.

综上所述， AB 的长为4或

故答案为：4或【知识点】对称的性质，三角形中位线，直角三角形性质，三角形内角和，三角函数

三、解答题

1. (2018山东青岛中考，15，4分)已知：如图，ABC ∠，射线BC 上一点D .

求作：等腰PBD ?，使线段BD 为等腰PBD ?的底边，点P 在ABC ∠内部，且点P 到ABC ∠两边的距离相等. （请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．）

【思路分析】作线段BD 的垂直平分线与∠ABC 的平分线，交于点P ，连接BP ，PD ，则△PBD 就是求作的三角形．

【解题过程】解：作图如下：

【知识点】尺规作图——角平分线、垂直平分线

1.（2018湖北鄂州，18，8分）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，DB＝DC，点E、F分别为DB、BC

的中点，连接AE、EF、AF．

（1）求证：AE＝EF；

（2）当AF＝AE时，设∠ADB＝α，∠CDB＝β，求α，β之间的数量关系．

【思路分析】

【解析】解：（1）证明：∵点E、F分别为DB、BC的中点，∴EF是△BCD的中位线，∴EF＝1

2

CD，又∵DB

＝DC，∴EF＝1

2

DB，在Rt△ABD中，∵点E为DB的中点，∴AE是斜边BD上的中线，∴AE＝

1

2

DB，

∴AE＝EF；

（2）如下图（1），∵AE＝EF，AF＝AE，∴AE＝EF＝AF，∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF＝∠EAF＝60°，又∵∠DAB＝90°，∴∠1＋∠BAF＝90°－60°＝30°，∴∠BAF＝30°－∠1，∵EF是△BCD的中位线，∴EF∥CD，∴∠BEF＝∠CDB＝β，∴β＋∠2＝60°，又∵∠2＝∠1＋∠ADB＝∠1＋α，∴∠1＋α＋β＝60°，∴∠1＝60°－α－β，∵AE是斜边BD上的中线，∴AE＝DE，∴∠1＝∠ADB＝α，∴α＝60°－α－β，∴2α＋β＝60°．

【知识点】中位线定理；直角三角形的性质；等边三角形的性质；三角形的外角性质；平行线的性质

2.（2018四川攀枝花，20，8）(本小题满分8分)已知△ABC中，∠A=90°.

（1）请在图8中作出BC边上的中线(保留作图痕迹，不写作法)；

(2)如图9，设BC边上的中线为AD.

求证:BC=2AD.

【思路分析】（1）用尺规作图作出线段BC的中垂线，目的是作出线段BC的中点D，然后连接线段AD即为所求。

【解题过程】

(1)如图(1)所示：

(2) 如图(2),作AB 边的中点E ,连接ED ，∵BE =EA ,BD =DC ,∴ED ∥AC ,

∵∠BAC =90°,∴∠BED =90°，∴DE ⊥AB ，∴DE 是线段AB 的垂直平分线，

∴AD =BD ，∴AD =BD =DC ，∴BC =2AD 。

【知识点】尺规作图，三角形的中位线，线段的垂直平分线。

3. （2018湖北省孝感市，20，7分）如图，ABC ?中，AB AC =，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：

①作BAC ∠的平分线AM 交BC 于点D ；

②作边AB 的垂直平分线EF ，EF 与AM 相交于点P ； ③连接PB ，PC .

请你观察图形解答下列问题：

（1）线段PA ，PB ，PC 之间的数量关系是________； （2）若70ABC ∠=o

，求BPC ∠的度数.

【思路分析】（1）根据从垂直平分线的性质可得PA=PB=PC.

(2)根据等腰三角形的性质可得∠ACB =70ABC ∠=o

，再有三角形的内角和定理可得∠BAC=40°，再由角平分线的性质和等腰三角形的性质可得∠BAP =∠CAP=∠ABP =∠ACP=20°,最后由三角形外角的性质可得BPC ∠ =∠BPD+∠CPD=∠BAP +∠ABP +∠CAP +∠ACP =80°.

【解题过程】解：（1）线段PA ，PB ，PC 之间的数量关系是:PA PB PC ==（或相等）. （2）∵AM 平分BAC ∠，AB AC =，70ABC ∠=o ， ∴AD BC ⊥，9020BAD CAD ABC ∠=∠=-∠=o

o . ∵EF 是线段AB 的垂直平分线， ∴PA PB =，∴20PBA PAB ∠=∠=o . ∵BPD ∠是PAB ?的外角，

∴40BPD PAB PBA ∠=∠+∠=o

. ∴40BPD CPD ∠=∠=o

. ∴80BPC BPD CPD ∠=∠+∠=o

.

【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形的内角和定理；三角形外角的性质；角平分线和线段的垂直平分线的尺规作图.

4. （2018·北京，17，5）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．

已知：直线l 及直线l 外一点P ．

求作：直线PQ ，使得PQ ∥l ． 作法：如图：

①在直线l 上取一点A ，作射线P A ，以点A 为圆心，AP 长为半径画弧，交P A 的延 长线于点B ；

②直线l 上取一点C （不与点A 重合），作射线BC ，以点C 为圆心，CB 长为半径画弧，交BC 的延长线于点Q ； ③作直线PQ ．

所以直线PQ 就是所求作的直线． 根据小东设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

l

P

（2）完成下面的证明．

证明：∵AB ＝_______，CB ＝_______，

∴PQ ∥l （________________）（填推理的依据）．

【思路分析】（1）利用尺规作图，先作射线BC ，再在射线BC 上截取线段CQ ＝CB ；最后过点P 、Q 作直线即可；（2）由作图易知P A ＝AB ，CQ ＝CB ，依据是三角形的中位线的定义及定理，两点确定一条直线． 【解题过程】 17．解：（1）如下图所示：

（2）P A ，CQ ；依据：①连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；②三角形的中位线平行于第三边；③两点确定一条直线．

【知识点】尺规作图；三角形的中位线定理

l