高等数学微分方程的基本概念教学ppt

第一节 微分方程的基本概念
分类1:按自变量的个数，分为常微分方程和偏微分方程.
如果其中的未知函数只与一个自变量有关，就 称为常微分方程。 如 y′= x2 , y′+ xy2 = 0 ,
y 4 y ' 4 y xe
(4)
x
都是常微分方程；
Nanjing College of Information and Technology
2
(5)
Nanjing College of Information and Technology
7
第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
现在来求s与t之间的函数关系，对(5)式 两端积分得 再两端积分，得
ds gt C1 dt
(6)
1 2 s gt C1 C 2 2
这里C1，C2都是任意的常数． 由题意知 t = 0 时，
Nanjing College of Information and Technology
3
第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
一、问题引入
例1 一曲线过点(0, 0)，且曲线上各点处的切线斜率等 于该点横坐标的平方，求此曲线方程．
解 设所求曲线的方程为y=y(x)
(x,y)为曲线上的任意点，在该点曲线的切线的 斜率为y′,依题意有：
y 4 y ' 4 y xe 是四阶微分方程；…等等．
(4) x
二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程.
Nanjing College of Information and Technology 13
第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
分类2:按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、 二阶和高阶微分方程
x,y的关系式），它的定解条件通常是x=x0时，y=y0
或写成
y
x x0
二阶微分方程的定解条件通常是x = x0时，y = y0、
y′ = y′0或写成
y'
x x0
y '0 或 y
x x0
y0
Nanjing College of Information and Technology
把y和y″代入微分方程左端得
y '' y C1 cos x C2 sin x C1 cos x C2 sin x 0
又
y C1 cos x C2 sin x
20
Nanjing College of Information and Technology
第六章 常微分方程
解的图象: 通解的图象:
微分方程的积分曲线. 积分曲线族.
初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题
Nanjing College of Information and Technology
18
第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
本章讨论的一阶微分方程 y f ( x , y )，f(x,y)表示
y xy 2 0, xdy ydx 0 y 2 y y 3 x 2 1
实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或 微分)之间的关系式.
Nanjing College of Information and Technology 10
第六章 常微分方程
14
第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
三、主要问题——求方程的解
微分方程的解:
代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.
微分方程的解的分类：
(1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且 独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同.
独立的任意常数的个数=微分方程的阶数 含有几个任意常数的表达式，如果它们不能合并而使 得任意常数的个数减少，则称这表达式中的几个任意 常数相互独立．
12
第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数.
如 y′= x2 , y′+ xy2 = 0 ,
都是一阶微分方程；
xdy + ydx = 0
d2 s 2 g , y '' 2 y ' y 3 x 1 都是二阶微分方程. 2 dt
1 3 y x 3
(3)
为所求的曲线方程．
Nanjing College of Information and Technology 5
第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
例2
一物体由静止开始从高处自由下落，已知物体
下落时的重力加速度是g ，求物体下落的位置与时间 之间的函数关系。
解 设物体的质量为m,由于下落过程中只受重力作用,
19
第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
例3 验证 y C1 cos x C2 sin x 是微分方程 y y 0 的 通解．并求此方程满足初始条件 y( ) 1, y( ) 1 4 4 的特解。 解



y ' C1 sin x C2 cos x
y '' C1 cos x C2 sin x
y ' x2
(1) (2)
4
两边积分，得
Nanjing College of Information and Technology
1 3 y x C 3
第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
上式表示的是曲线上任意一点的切线的斜率为x2的所 有曲线．但要求的是过点(0,0)的曲线，即 x = 0时， y = 0 将(3)式代入(2)式，得C = 0，所以
故物体所受之力为 F = mg，
Nanjing College of Information and Technology
6
第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
又根据牛顿第二定律， F = ma
2 d s d s 及加速度 a 2 ,所以 m 2 mg , dt dt
2
即
d s g 2 dt
11
第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
如果未知函数是两个或两个以上自变量的函数， 并且在方程中出现偏导数 如
u u u 就是偏微分方程； 0 x 2 y 2 z 2
2 2 2
本章我们只介绍常微分方程。
Nanjing College of Information and Technology
22
第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
内容小结
本节基本概念：
微分方程；
微分方程的阶；微分方程的解；
通解，初始条件； 特解；
初值问题； 积分曲线．
Nanjing College of Information and Technology
2
23
通解 y ce x ; 通解 y c1 sin x c2 cos x;
(2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解. 初始条件: 确定任意常数取固定值的条件.
Nanjing College of Information and Technology
17
第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
(7)
Nanjing College of Information and Technology
ds s 0, v 0 dt
(8)
8
第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
ห้องสมุดไป่ตู้
把(8)式分别代入(6)，(7)式，得
C1 = 0 , C2 = 0. 故(7)式为
1 2 s gt 2
这就是初速度为0的物体垂直下落时距离
第一节 微分方程的基本概念
第一节
微分方程的基本概念
本节主要内容:
一.问题引入
二.微分方程的定义
三.求微分方程的解
Nanjing College of Information and Technology
2
第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
在力学、物理学及工程技术等领域中为 了对客观事物运动的规律性进行研究，往往 需要寻求变量间的函数关系，但根据问题的 性质，常常只能得到待求函数的导数或微分 的关系式，这种关系式在数学上称之为微分 方程。
Nanjing College of Information and Technology 15
第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
例如y = C1x + C2x + 1 与 y = Cx+1 (C1,C2， C都是任意常数）所表示的函数族是相同的，
因此y = C1x + C2x + 1中的C1，C2是不独立的；
1 2 而 s gt C1 C 2 中的任意常数C1，C2是 2
不能合并的，即C1，C2是相互独立的．
Nanjing College of Information and Technology
16
第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
例 y y , y y 0,
(9)
s与时间t之间的函数关系．
Nanjing College of Information and Technology
9
第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
二、微分方程的定义
微分方程: 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.
例
y xy , y 2 y 3 y e x , ( t 2 x )dt xdx 0,
第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
第六章
常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
第二节
一阶微分方程
第三节 可降阶的高阶微分方程
第四节 二阶线性微分方程解的结构
第五节 二阶常系数线性齐次微分方程
Nanjing College of Information and Technology 1
第六章 常微分方程
Nanjing College of Information and Technology 21
第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
所以 C1 2, C2 0
故
y 2 cos x
是该微分方程的特解.
Nanjing College of Information and Technology
第一节 微分方程的基本概念
中含有两个独立的常数，而
方程
y '' y 0 是二阶的，所以
y C1 sin x C2 cos x 是该微分方程的通解. y( ) 1, y( ) 1 代入初始条件 4 4 得 2 2 C1 C2 1 2 2 2 2 C C 1 2 1 2 2
一阶微分方程
F ( x , y, y) 0, y f ( x , y );
高阶(n)微分方程
F ( x , y, y,, y ( n ) ) 0, y
( n) ( n1 ) f ( x , y, y ,, y ).
Nanjing College of Information and Technology