浅谈函数的连续、可导、可微的关系

浅谈函数的连续、可导、可微的关系
作者：杨美香陈向阳
来源：《科技视界》2017年第22期
【摘要】函数的连续、可导、可微的关系是高等数学中微分学的重难点，准确把握三者的关系是学好微分学的关键，本文就函数的连续、可导、可微的关系进行归纳整理，有利于更准确地理解函数的连续、可导、可微的关系。

【关键词】函数；连续；可导；可微
0 引言
函数的连续、可导、可微的关系是高等数学中微分学的重难点，准确把握三者的关系是学好微分学的关键，而这正是学生在学习过程中难以理解易于混淆的重要知识点，本文具体就函数的连续、可导、可微的关系进行归纳整理，对准确有效的理解连续、可导、可微的关系起到重要的作用，让高等数学的学习者对此理解得更透彻。

1 一元函数的连续、可导、可微的关系
1.1 可导必连续，连续不一定可导
定理1 若函数y=f（x）在点x处可导，则函数y=f（x）在该点处必连续；反之，不成立。

证明：因=f'（x），由函数极限与无穷小的关系得=f'（x）+α，其中α=0于是Δy=[f'（x）·Δx+α·Δx]=0，因此，函数y=f（x）在该点处必连续。

但反之，连续未必可导。

例如函数f（x）=|x|在点x=0处连续，但极限==不存在，即函数f（x）=|x|在点x=0不可导。

1.2 可导必可微，可微必可导，即可导与可微等价
定理2若函数y=f（x）在点x处可导，则函数y=f（x）在该点处必可微；反之也成立。

证明：由于函数y=f（x）在点x处可导，有=f'（x），由函数极限与无穷小的关系得=f'（x）+α，其中α=0，于是Δy=f'（x）·Δx+α·Δx，=α=0，即α·Δx=o（Δx），由可微的定义知，函数在点x处可微。

反之，若函数y=f（x）在点处可微，即Δy=A·Δx+o（Δx），得==A，即函数在点x处可导。

即一元函数中可导与可微等价。

3 二元函数及二元以上函数的连续、可导（偏导数存在）、可微的关系
3.1 可导（偏导数存在）未必连续，连续未必可导（偏导数存在）
例1函数f（x，y）=x+y≠0 0 x+y=0在点（0，0）处对x，y的偏导数都存在，但在该点函数不连续。

解：fx（0，0）==0=0 f（0，0）=
但f（x，y）==，即极限f（x，y）不存在
因此，函数在点（0，0）处不连续，即多元函数中偏导数存在，但函数不连续。

例2函数f（x，y）=在点（0，0）处连续，但在该点函数的偏导数不存在。

解：由于f（x，y）==0=f（0，0），故函数在点（0，0）处连续；但因=，=，极限都不存在，即函数连续但偏导数不存在
3.2 可导（偏导数存在）未必可微，但可微必可导（偏导数存在）
例3函数f（x，y）=x+y≠0 0 x+y=0在点（0，0）处偏导数存在但不可微[1]。

解：fx（0，0）==0=0，同理，fy（0，0）=0，但=≠0，即在该点不可微。

定理3如果函数z=f（x，y）在点（x，y）可微分，则该函数在点（x，y）的偏导数，必定存在，且函数z=f（x，y）在点（x，y）的全微分微为dz=dx+dy[1]。

即可微必可导
3.3 可导（偏导数存在）且偏导数连续必可微
定理4如果函数z=f（x，y）的偏导数，在点（x，y）连续，则函数在该点可微分[1]。

4 结论
一元函数可导必连续，连续未必可导；可导与可微等价。

对于多元函数，可导未必连续，连续未必可导；可微必可导，可导未必可微；偏导数连续则必可微。

【参考文献】
[1]同济大学数学系编高等数学（上、下册）[M].高等教育出版社，2014.
[2]滕勇，付连魁，黄江.高等数学（上、下册）[M].东北大学出版社，2006.。