高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词 1.4.3 含有一个量词

1.4.1 全称量词

1.4.2 存在量词

1.4.3 含有一个量词的命题的否定

1.理解全称量词与全称命题、存在量词与特称命题的定义.

2.会判断一个命题是全称命题还是特称命题，并会判断它们的真假.(重点)

3.能写出含有一个量词的命题的否定.(难点、易错点)

[基础·初探]

教材整理1 全称量词与存在量词

阅读教材P21思考～P22第1段，P22思考～P23例2以上部分，完成下列问题.

1.全称量词与全称命题

(1)全称量词

短语：“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词.

(2)全称命题

含有全称量词的命题叫做全称命题.全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”.

2.存在量词与特称命题

(1)存在量词

短语：“存在一个”“至少有一个”在逻辑中叫做存在量词.

(2)特称命题

含有存在量词的命题，叫做特称命题.特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M，p(x0)读作“存在一个x0属于M，使p(x0)成立”.

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词.( )

(2)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”.()

(3)全称命题一定含有全称量词，特称命题一定含有存在量词.( )

【答案】(1)×(2)√(3)×

教材整理2 含有一个量词的命题的否定

阅读教材P24探究～P24例3以上部分，P25探究～P25例4以上部分，完成下列问题.

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)命题﹁p的否定是p.( )

(2)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，﹁p(x)的真假性相反.( )

(3)从特称命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定.( )

【答案】(1)√(2)√(3)√

[小组合作型]

①任意一个自然数都是正整数；

②有的等差数列也是等比数列；

③三角形的内角和是180°.

A.0

B.1

C.2

D.3

【解析】观察分析命题是否含有“任意”“所有的”“每一个”等全称量词.命题①含有全称量词，而命题③可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，故有两个全称命题.

【答案】 C

(2)下列命题中特称命题的个数是( )

①至少有一个偶数是质数；

②∃x0∈R，log2x0>0；

③有的向量方向不确定.

A.0

B.1

C.2

D.3

【解析】 ①中含有存在量词“至少有一个”，所以是特称命题； ②中含有存在量词符号“∃”，所以是特称命题； ③中含有存在量词“有的”，所以是特称命题. 【答案】 D

(3)用全称量词或存在量词表示下列语句： ①不等式x 2

＋x ＋1>0恒成立；

②当x 为有理数时，13x 2＋1

2

x ＋1也是有理数；

③等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β对有些角α，β成立； ④方程3x －2y ＝10有整数解.

【解】 ①对任意实数x ，不等式x 2

＋x ＋1>0成立. ②对任意有理数x ，13x 2＋1

2

x ＋1是有理数.

③存在角α，β，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立. ④存在一对整数x ，y ，使3x －2y ＝10成立.

1.判断一个命题是特称命题，还是全称命题，要根据命题中所含量词来判断.

2.有些命题中表面上看并不含量词，但从意义上理解却含有“全部”“所有”等这样的意思，也是全称命题.

[再练一题]

1.(1)下列语句是特称命题的是( )

【导学号：97792009】

A.整数n 是2和7的倍数

B.存在整数n ，使n 能被11整除

C.x ＞7

D.∀x ∈M ，p (x )成立

【解析】 B 选项中有存在量词“存在”，故是特称命题，A 和C 不是命题，D 是全称命题.

【答案】 B

(2)用全称量词或存在量词表示下列语句： ①有理数都能写成分数形式； ②方程x 2

＋2x ＋8＝0有实数解； ③有一个实数乘以任意一个实数都等于0.

【解】①任意一个有理数都能写成分数形式.

②存在实数x，使方程x2＋2x＋8＝0成立.

③存在一个实数x，它乘以任意一个实数都等于0.

指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假.

(1)∀x∈N,2x＋1是奇数；

(2)存在一个x0∈R，使1

x0－1

＝0；

(3)存在一组m，n的值，使m－n＝1；

(4)至少有一个集合A，满足A{1,2,3}.

【精彩点拨】先确定命题类型，然后推理证明或举反例来判断真假.

【自主解答】(1)是全称命题.因为对任意自然数x,2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题.

(2)是特称命题.因为不存在x0∈R，使1

x0－1

＝0成立，所以该命题是假命题.

(3)是特称命题.当m＝4，n＝3时，m－n＝1成立，所以该命题是真命题.

(4)是特称命题.存在A＝{3}，使A{1,2,3}成立，所以该命题是真命题.

1.要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).

2.要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x0使p(x0)成立即可；否则，这个特称命题就是假命题.

[再练一题]

2.试判断下面命题的真假.

(1)∀x∈R，x2＋2>0；

(2)∀x∈N，x4≥1；

(3)∃x0∈Z，x30<1；

(4)∃x0∈Q，x20＝3.

【解】(1)由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，所以命题“∀x∈R，x2＋2>0”是真命题.

(2)由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题.