级数理统计试题及答案

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江西理工大学考试试卷

2011——2012学年第一学期 （） 时间：100分钟 《数理统计II 》 课程 24学时 学分 考试形式：闭卷

专业年级：2012级(第一学期) 总分：100分

一、填空题（本题15分，每题3分）

1、总体)3,20(~N X 的容量分别为10，15的两独立样本均值差~Y X -________；

2、设1621,...,,X X X 为取自总体)5.0,0(~2N X 的一个样本，若已知0.32)16(2

01.0=χ,则

}8{16

1

2∑=≥i i X P =有问题_；

3、设总体),(~2σμN X ，若μ和2σ均未知，n 为样本容量，总体均值μ的置信水平为α-1的置信区间为),(λλ+-X X ，则λ的值为________；

4、设n X X X ,...,,21为取自总体),(~2σμN X 的一个样本，对于给定的显着性水平α，已知关于2σ检验的拒绝域为χ2≤)1(21--n αχ，则相应的备择假设1H 为________；

5、设总体),(~2σμN X ，2σ已知，在显着性水平下，检验假设

00:μμ≥H ,01:μμ

1、)2

1

0(，N ； 2、； 3、n

S n t )

1(2

-α； 4、2

02σσ<； 5、05.0z z -≤。

二、选择题（本题15分，每题3分）

1、设321,,X X X 是取自总体X 的一个样本，α是未知参数，以下函数是统计量的为（

）。

（A ）)(321X X X ++α （B ）321X X X ++ （C ）3211

X X X α

（D ）23

1)(31α-∑=i i X

2、设n X X X ,...,,21为取自总体),(~2σμN X 的样本，X 为样本均值，

21

2

)(1X X n S i n

i n -=

∑=，则服从自由度为1-n 的t 分布的统计量为（ ）。

（A ）

σ

μ）

-X n ( （B ）

n S X n )(μ- （C ）σ

μ）

--X n (1 （D ）n S X n )(1μ--

3、设n X X X ,,,21 是来自总体的样本，2

)(σ=X D 存在， 21

2

)(11X X n S i n

i --=∑=, 则（ ）。

（A ）2S 是2σ的矩估计

（B ）2S 是2σ的极大似然估计

（C ）2S 是2σ的无偏估计和相合估计 （D ）2S 作为2σ的估计其优良性与分

布有关

4、设总体),(~),,(~2

2

2211σμσμN Y N X 相互独立，样本容量分别为21,n n ，样本方差分别为2221,S S ，在显着性水平α下，检验2

221122210:,:σσσσ<≥H H 的拒绝域为（ ）。

（A ）

)1,1(122

12

2

--≥n n F s s α （B ）

)1,1(122

12

122

--≥-

n n F

s s α

（C ）

)1,1(212

122

--≤n n F s s α （D ）

)1,1(212

12

122

--≤-

n n F

s s α

5、设总体),(~2σμN X ，2σ已知，μ未知，n x x x ,,,21 是来自总体的样本观察值，已知μ的置信水平为的置信区间为（，），则取显着性水平05.0=α时，检验假设

0.5:,0.5:10≠=μμH H 的结果是（ ）。

（A ）不能确定 （B ）接受0H （C ）拒绝0H （D ）条件不足无法检验

1、B ；

2、D ；

3、C ；

4、A ；

5、B.

三、（本题14分） 设随机变量X 的概率密度为：⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他θθx x x f 0,

0,

2)(2，其中未知

参数0>θ，n X X ,,1 是来自X 的样本，求（1）θ的矩估计；（2）θ的极大似然估计。

解：(1) θθ

θ322)()(0

2

2

===⎰⎰∞

+∞-x d x

x d x f x X E ， 令θ3

2

)ˆ(==X X

E ，得X 23

ˆ=θ为参数θ的矩估计量。 (2)似然函数为：),,2,1(,022),(1

21

2n i x x x x L i n

i i n

n

n

i i

i =<<==∏∏

==θθθθ，

，

而)(θL 是θ的单调减少函数，所以θ的极大似然估计量为

},,,max{ˆ21n X X X =θ。

四、（本题14分）设总体),0(~2σN X ，且1021,x x x 是样本观察值，样本方差

22=s ，

（1）求2

σ的置信水平为的置信区间；（2）已知)1(~2

2

2

χσX Y =

，求⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛32σX D 的置信水平为的置信区间；（70.2)9(2975.0=χ，023.19)9(2

025.0=χ）。

解：

（1）2

σ的置信水平为的置信区间为⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛)9(18,)9(182

975.02025.0χχ，即为（，）； （2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32σX D =22

2

2222)]1([11σχσσσ==⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛D X D ； 由于2322σσ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛X D 是2

σ的单调减少函数，置信区间为⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛222,2σσ， 即为（，）。

五、（本题10分）设总体X 服从参数为θ的指数分布，其中0>θ未知，n X X ,,1 为取自总体X 的样本， 若已知)2(~2

21

n X U n

i i χθ

∑==

，求： （1）θ的置信水平为α-1的单侧置信下限；

（2）某种元件的寿命（单位：h ）服从上述指数分布，现从中抽得容量为16的样本，测得样本均值为5010（h ），试求元件的平均寿命的置信水平为的单侧置信下

限。)585.42)32(,985.44)31((2

10.0205.0==χχ。

解：(1) ,1)2(2,1)2(222αχθαχθαα-=⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>∴-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧

即θ的单侧置信下限为)

2(22

n X n αχθ=

；（2）706.3764585.425010

162=⨯⨯=θ。 六、（本题14分）某工厂正常生产时，排出的污水中动植物油的浓度)1,10(~N X ，今阶段性抽取10个水样，测得平均浓度为（mg/L ），标准差为（mg/L ），问该工厂生

产是否正常（

22

0.0250.0250.9750.05,(9) 2.2622,(9)19.023,(9) 2.700t αχχ====）