幂级数与函数

3) 幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.
思考题
幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那 么它的收敛域是否也不变？
内容小结
正项级数 1. 数项级数 交错级数 任意项级数
幂级数的收敛半径与收敛域 2. 幂级数 幂级数的和函数与数项级数的和
常见题型 1. 判别数项级数的敛散性
n( n 1) 1 故 s( ) 8. n 2 2 n1

解2 考虑级数 n( n 1)x , 收敛区间(-1,1),
n n 1

则 s( x ) n( n 1) x n x ( x n1 ) x( x n1 )
n1



n 1
n1
2n 1 2n 1 1 ( 3) n n 2 n 2 2 n 1 2
1 1 5 s(1) 3 . 2 2 2

n( n 1) 例 4 求 的和. n 2 n 1
解1

考虑级数 n( n 1)x , 收敛区间(-1,1),
n n 1
解

ln( n 2) 1 n ln( n 2) , lim un lim lim 1 n n a n a n
n n
又 n 2 时, n 2 e n ,
从而有 1 n ln( n 2) n n , 则 lim n ln( n 2) 1,
x 设s( x ) , n n1 n 3


n
x [3,3). 且s(0) 0.
x n1 1 x n1 1 1 1 则s( x ) n ( ) . 3 n 1 3 31 x 3 x n1 3 3 x x 1 s( x ) s(0) s( x )dx dx ln(3 x ) ln 3 0 0 3 x
n

(收敛半径不变)
幂级数的和函数习例
x x2 x3 xn 例1 求 的和函数. 2 3 n 1 3 2 3 3 3 n 3 n n 1 例2 求 nx 的收敛域与和函数, 并求 n1 . n 1 n 1 2
2n 1 2n 1 2 n 2 的收敛域与和函数, 并求 n . 例3 求 n x n 1 2 n 2 2
f ( x) x ln x在 (1, ) 上单增,
1 即 单减, x ln x 1 故 当 n 1 时单减, n ln n
1 1 un un1 ( n 1), n ln n ( n 1) ln( n 1)
所以此交错级数收敛， 故原级数是条件收敛．

cn x . (收敛域内 bn x n 0)
n n 0
n 0


(相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多 )
二、幂级数的和函数的性质 连 幂级数
n a x n 的和函数 s( x )在收敛区间
n0 续 性 ( R , R )内连续.
且幂级数在区间端点收敛时，和函数在该区间端点 连续. 即幂级数的收敛区间为闭区间时，和函数的连续区 间也是该闭区间.
n( n 1) 例 4 求 的和. n 2 n 1

方法: 通过恒等变形或遂项求导或遂项求积把原级 数化为可求和的级数(等比级数).
x x2 x3 xn 例1 求 的和函数. 2 3 n 1 3 2 3 3 3 n 3 an1 n3 n 1 解 lim lim , R 3. n 1 n an n ( n 1) 3 3 1 当x 3时, 原幂级数成为 , 发散; n 1 n ( 1) n 当x 3时, 原幂级数成为 , 收敛. n1 n 收敛域为[3, 3).
( 1)n 例3 判断级数 是否收敛？如果收敛， n 1n ln n 是条件收敛还是绝对收敛？
1 1 1 , 而 发散, 解 n ln n n n1 n
( 1)n 1 发散, n1 n ln n n1 n ln n

即原级数不是绝对收敛的．
n

x 1 s( x ) ( ) . 2 1 x (1 x )
( 3)

n
n 1 2 n 1
1 n 1 n( ) s( 1 ) 2 n 1 2

1 4. 1 2 (1 ) 2
2n 1 2n 1 2 n 2 的收敛域与和函数, 并求 n . 例 3 求 n x n 1 2 n 2 2

则 s( x ) n( n 1) x x n( n 1) x n1
n n1


n 1
设g ( x )
n 1
n 1 n ( n 1 ) x x n 1 n ( n 1 ) x dx n ( n 1 ) x

0
x
g( x )dx 0
n
1 lim un . n a
n
1 当 a 1 即 0 1 时, 原级数收敛； a 1 当 0 a 1 即 1 时, 原级数发散； a ln( n 2) 当 a 1 时, 原级数为 , 1 n n1 (1 ) n ln( n 2) n lim , 所以原级数也发散． 1 n (1 ) n


n
n
1 n
1 n ) n
;
1 nn
解 lim un lim
n
n
n
1 n (n ) n
1 n2 n ) ]
lim
n
1 n (1 2 ) n
lim
n
n
1 [(1 2 n
1 0 1 0, e
根据级数收敛的必要条件，原级数发散．
ln( n 2) 例2 判断级数敛散性 : (a 0). 1 n 1 ( a ) n n
2 x2 2x 2 x x x( ) x[ , ] 3 2 1 x (1 x ) (1 x )
n( n 1) 1 故 s( ) 8. n 2 2 n1

内容小结
幂级数的性质 1) 两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与 乘法运算.
2) 在收敛区间内幂级数的和函数连续;
内容小结
内容小结
习题课 常见题型
典型习例
一、幂级数的运算性质
设 an x n和 bn x n的收敛半径各为 R1和R2 ,


R minR1 , R2
加 减 法
n 0 n a x n n 0
n 0
n 0
n b x n
n 0
n ( a b ) x n n . x R, R

1 1 1 1 1 例4 讨论级数 1 的敛散性 . 3 4 5 6 2 如果收敛，说明是条件收敛还是绝对收敛 .
例5 求级数
n 0
n ( n 1 )( x 1 ) 收敛域及和函数 .

例1 判断级数敛散性 :
n 1( n
1 nn n n
1 1 1 1 1 例4 讨论级数 1 的敛散性 . 3 4 5 6 2 如果收敛，说明是条件收敛还是绝对收敛 .
2
收敛域为( 2, 2 ).
2n 1 2 n 2 ( 2)设s( x ) n x , n 1 2

0
x
x 2 n 1 1 x 2 n x s( x )dx n ( ) 2 x 2 2 2 x n 1 n 1

x 2 x2 s( x ) ( ) 2 2 x (2 x 2 )2
可 幂级数 a n x n 的和函数s( x ) 在收敛区间 积 n 0 性 ( R, R ) 内可积,且对x ( R, R ) 可逐项积分.

即 s( x )dx ( a n x )dx
x x n 0 0 n 0 x
Leabharlann Baidu

n 0

0
a n n 1 x . a n x dx n 0 n 1
可 幂级数 a n x n 的和函数s( x ) 在收敛区间 n 0 导 性 ( R, R ) 内可导, 并可逐项求导任意次.
n 1 即 s( x ) ( a n x ) (a n x ) nan x .


n

n

n 0
n 0
n 1
(收敛半径不变)
n 1
n 1
n 1
设h( x )
n ( n 1 ) x
0 h( x )dx 0 (n 1) x
n 1
x
x

n
dx
n 1
x

n 1
x2 1 x
2 2 x x x h( x ) ( ) 2 ( 1 x ) 1 x
2
2 2 x x2 g( x ) h( x ) [ ] 3 2 ( 1 x ) (1 x ) 2x s( x ) xg ( x ) (1 x )3
( 1)n 是交错 级数, 由莱布尼茨定理： n1 n ln n 1 1 lim lim n 0, ln n n n ln n n 1 n


f ( x ) x ln x ( x 0),
1 f ( x ) 1 0 ( x 1), x
n 1
当x 1时, 原幂级数成为 ( 1) n, 发散.
n n 1

收敛域为( 1,1).
( 2)设s( x )
x
n 1
nx

n 1
, 且s(0) 1.
n 1
则0 s( x )dx 0 ( nx
n 1
x
x )dx x 1 x n 1
高等数学A
第4章 无穷级数
4.3 幂级数
4.3.3 幂级数的运算性质 4.3.4 幂级数和函数的性质
中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组
4.3 幂级数
幂 级 数 及 和 函 数 的 运 算
加减法
4.3.3 幂级数的运算性质
乘法
除法 连续性
4.3.4 幂级数的和函数的性质
可导性
可积性 习例1-4
s( x ) ln( 3 x ) ln 3,
x [3,3).
例 2 求 nx
n 1

n 1
的收敛域与和函数, 并求

n
n 1
n 1 2
.
解
an1 n1 (1) lim lim 1, R 1. n an n n
当x 1时, 原幂级数成为 n, 发散;
2. 求幂级数的收敛半径与收敛域
3. 求幂级数的和函数 4. 求数项级数的和
例1 判断级数敛散性 :
n 1( n



n
n
1 n
1 n ) n
;
ln( n 2) 例2 判断级数敛散性 : (a 0). 1 n 1 ( a ) n n
( 1)n 例3 判断级数 是否收敛？如果收敛， n 1n ln n 是条件收敛还是绝对收敛？

乘 ( an x ) ( bn x ) cn x n . x R, R 法 n 0 n 0 n 0
n n





(其中 cn a0 bn a1 bn1 an b0 )
除 法
n a x n n b x n n 0 n 0

un1 ( 2n 1) x 2 n 2n 1 2 解 (1) lim lim x , n 1 2 n 2 n un n 2 2 ( 2n 1) x
x 当 1即 x 2时, 原级数绝对收敛 ; 2 2 x 当 1即 x 2时, 原级数发散; 2 2 2n 1 x 当 1即 x 2时, 原级数为 , 发散. 2 n 1 2