同济大学高等数学教案第八章无穷级数

高等数学教学教案

第一章函数、连续与极限

授课序号01

)，将数列){}n u 中的各项用加号连接的形式n u ++

常数项无穷级数,简称级数,记为

1

n

u

∞

=∑,其中∑是求和记号,称为下标变量对数列123,,,,

n u u u u ,取它的前1

n

n i i u u =+=∑,

n 项之和）.

若级数的部分和数列{S

()0n aq a ++

≠()

1

+

+

1

n n +

⎪⎭⎫ ⎝⎛+11n 的敛散性． 1

1

n

+

+ﻩ

的和。

授课序号０2

n u ++,其中()n u n 为任意实数，那么该级数叫做||n

u

也收敛，则称级数n 绝对收敛2,

),则有

); 且收敛和1s u ≤。

1

n

n u

∞

=∑收敛，则任意项级数

2,)；

1

1

(1)n n

-+-+是收敛的。 1

1

1)4n n

n -⋅的敛散性。 收敛。

授课序号03

()()1

n n n u x u x ∞

=++

=∑，函数项级数

()0

1

n

n u x ∞

=∑就是常数项级数的收敛点，收敛点的全体组成的数集称为()1

n

n u x ∞

=∑的收敛域

()0n

n a x x +-+

n

n n a x

∞

=∑,因此不失一般性,我们仅讨论这个形式

，则幂级数称为一个常数项级数

a ∞

∑

n n a x ++,

n n b x ++

2,)R ,其和函数分别为()f x 与11(,),x R R ∈-

0110(),(,).n n n n a b a b a b x x R R -+++++

∈-

设幂级数

n

n n a x

∞

=∑的收敛域为区间I ,则它的和函数()s x 在收敛域设幂级数0

n n

n a x

∞

=∑的收敛半径为(0)R R >,则其和函数()s x

授课序号０4

,cos ,sin ,nx nx

该三角函数系中的任何不同的两个函数的乘积的在[]π,π-上的积分等于零。

，1,2,

n =就叫做)的傅里叶级数. 1,2,,

，

余弦级数，即只含有常数项及余弦项的傅里叶级数。

ｃｈleｔ)充分条件

，

1,2,.

的周期函数，它在