人教版高中数学选修1第二章《圆锥曲线与方程》师用
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选修1-1 第二章《圆锥曲线与方程》
§2.1.1 椭圆及其标准方程
【知识要点】
● 椭圆的定义:到两个定点 F 1、F 2的距离之和等于定长(12F F >)的点的轨迹.
● 标准方程:(1)()22
2210x y a b a b
+=>>,22c a b =-,焦点是 F 1(-c ,0),F 2(c ,0);
(2)()22
2210y x a b a b
+=>>,22c a b =-,焦点是 F 1(0,-c ),F 2(0,c ).
【例题精讲】
【例 1】两个焦点坐标分别是(-4,0)、(4,0),椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和等于 10,写出椭圆的
标准方程.
【例 2】已知椭圆的两个焦点坐标分别是(0,-2)和(0,2)且过35,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭
,求椭圆的标准方程.
点评:题(1)根据定义求.若将焦点改为(0,-4)、(0,4)其结果如何;题(2)由学生的思考与练习,总结有两种求法:其一由定义求出长轴与短轴长,根据条件写出方程;其二是由已知焦距,求出长轴与短轴的关系,设出椭圆方程,由点在椭圆上的条件,用待定系数的办法得出方程.
【例 3】判断下列方程是否表示椭圆,若是,求出 a ,b ,c 的值.
【例4】已知ΔABC 的一边BC 的长为6,周长为16,求顶点A 的轨迹方程.
【基础达标】
1.椭圆22
1259
x y +=上一点 P 到一个焦点的距离为 5,则 P 到另一个焦点的距离为( ) A .5 B .6 C .4 D .10
2.椭圆22
11312
x y +=上任一点 P 到两个焦点的距离的和为( ) A .26 B .24 C .2 D .133.已知 F 1,F 2是椭圆22
1259
x y +=的两个焦点,过 F 1的直线交椭圆于 M ,N 两点,则△MNF 2周长为( )
A .10
B .16
C .20
D .32
4.椭圆的两个焦点分别是F 1(-8,0)和F 2(8,0),且椭圆上一点到两个焦点距离之和为 20,则此椭圆的 标准方程为( )
A .
2212012x y += B .22140036x y += C .22110036x y += D .22
136100
x y +=
5.椭圆22
14
x y m +=的焦距是 2,则 m 的值为( ) A .5或 3 B .8 C .5 D .16
6.椭圆
22
1169
x y +=的焦距是 ,焦点坐标为 . 7.焦点为(0,4)和(0,-4),且过点
(
)
533,-的椭圆方程是 .
1~5 ADCCA
【能力提高】
8.如果方程 x 2+ky 2=2表示焦点在 y 轴上的椭圆,求实数 k 的取值范围.
9.写出适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)a=4,b =3,焦点在x 轴; (2)a =5,c =2,焦点在y 轴上.
10.求到定点(2,0)与到定直线x =8的距离之比为
2
的动点的轨迹方程.
§2.1.2 椭圆的简单几何性质(一)
【知识要点】
● 熟练掌握椭圆的范围,对称性,顶点,离心率等简单几何性质. ● 掌握标准方程中a ,b ,c 的几何意义,以及a ,b ,c ,e 的相互关系. ● 理解、掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法.
【例题精讲】
【例 1】已知椭圆的中心在坐标原点 O ,焦点在 x 轴上,椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正
方形,且离心率为
2
2
,求椭圆的方程.
【例 2】已知 x 轴上的一定点 A (1,0),Q 为椭圆2
214
x y +=上的动点,求 A Q 中点 M 的轨迹方程.
【例 3】椭圆22
110036
x y +=上有一点 P ,它到椭圆的左焦点 F 1的距离为 8,求△PF 1F 2的面积.
【例 4】设P 是椭圆()22
211x y a a
+=>短轴的一个端点,Q 为椭圆上的一个动点,求PQ 的最大
值.
【基础达标】
1.已知P 是椭圆
22110036x y +=上的一点,若P 到椭圆右焦点的距离是345
,则P 点到椭圆左焦点的距离是( ) A .
165 B .665 C .758 D .778
2.若焦点在 x 轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为1
2
,则 m =( ) A .3 B .
32 C .83 D .23
3.已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,且长轴长为 12,离心率为1
3
,则椭圆的方程是( )
A .
221144128x y += B .2213620x y += C .2213236x y += D .22
13632
x y += 4.设定点F 1(0,-3)、F 2(0,3),动点P 满足条件()129
0PF PF a a a
+=+>,则点P 的轨迹是( )
A .椭圆
B .线段
C .不存在
D .椭圆或线段 5.若椭圆短轴长等于焦距的3倍,则这个椭圆的离心率为( )
A .
14 B .2 C .2 D .1
2
6.已知椭圆C 的短轴长为6,焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9,则椭圆C 的离心率等于 . 7.离心率1
2
e =
,一个焦点是 F (0,-3)的椭圆标准方程为 . 1~5 BBDDD
【能力提高】