工程电磁场数值分析(有限元法)解读

Ki , j Ni L(N j ) d

bi Ni f d

目标：建立节点变量之间满足的 代数方程组，即确定系数{Kij} 和 {bi}。依据的原理是加权余量法 使用的基函数为分域基。
基函数
有限元采用分片逼近的思想，跟 使用折线逼近一条任意曲线的做 法相同。使用分域基Ni，基函数 的个数等于节点的个数；每个基 函数Ni的作用区域是与该节点i相 关联的所有单元。
第4章 电磁场有限元法（FEM）
1. 有限元的基本原理与实施步骤 2. 有限元方程组的求解 3. 前处理与后处理技术 4. 渐近边界条件 5. 矢量有限元法 6. 求解运动导体涡流问题的迎风有限元法
1. 有限元法的基本原理与实施步骤
加权余量法回顾：
对算子方程
L(u ) f
n i 1
用 u 作为该方程的近似解（试探解）： u ii
工程电磁场数值分析
（有限元法）
华中科技大学电机与控制工程系
陈德智
2007.12
第4章 电磁场有限元法 （Finite Element Method, FEM）
有限元法可以基于变分原理导出，也可以基于加权
余量法导出，本章以加权余量法作为有限元法的基础，
以静电场问题的求解为例介绍有限元法的基本原理与实 施步骤。并介绍有限元法中的一些特殊问题。
( Ni , R) Ni [ L(u ) f ] d 0

设L为线性算子，代入 u i N i ，得
i 1
n


Ni [ L( j N j ) f ] d Ni [ j L(N j ) f ] d 0
j 1 j 1
n
n
或 记
单元节点的编号按 逆时针方向排列！
1 x2 y2
1 x y
3 ( x, y) 1 ( x, y) 2 ( x, y) u( x, y) u1 u2 u3
记住我们的任务 —寻找基函数 对比 可得
u ( x, y) 1 N1 2 N2 3 N3
3 ( x, y) 1 ( x, y) 2 ( x, y) u( x, y) u1 u2 u3 i ( x, y) ( i 1, 2, 3 ) Ni
系数阵元素：
(e) Kij Ni( e ) L( N (j e ) )d e
当L为拉普拉斯算子时，由于Ni在单元
内是(x, y)的线性函数，经Laplace算子 作用后值为0。但是，在相邻单元的边 界上， Ni是连续但是不光滑的，因此对 积分的贡献主要来自边界。为考虑单元 边界的影响，需要借助于格林公式：
代入方程得余量：
R L(u ) f
在有限元法中，基函数一般用 {Ni , i 1, 2,
, n} 表示。
采用Galerkin方案，取权函数与基函数相同。使与余量正交
化：
( Ni , R) Ni [ L(u ) f ] d 0

(i 1, 2,
, n)
加权余量法回顾（续）
基函数Ni常被称为插值函数或者形状函数，具有以下性质： （1）是插值的；
1 (i j ) （2）Ni ( x j , y j ) 0 (i j )
（3）在相邻单元的公共边界上， Ni是连续的，从而通过Ni构造的逼近函数也是连续的。
单元分析：计算单元内积分对系数阵和右端项元素的贡献。
3 ( x, y) 1 ( x, y) 2 ( x, y) u( x, y) u1 u2 u3
1 1 其中， x1 2 y1
1 1 1 x 2 y 1 1 2 x1 2 y1
1 x2 y2
1 x2 y2 1 x y
1 x3 y3
1 x3 y3 1 x3 y3 1 1 3 x1 2 y1

j 1
n
j
Ni L(N j ) d Ni f d

wenku.baidu.com
(i 1, 2,
, n)
Ki , j Ni L(N j ) d

bi Ni f d

得代数方程组：
K α b
场域离散
以二维静电场泊松方程的求解为例。二维问题常使用三角 形单元离散，便于处理复杂的场域形状，容易实现。 单元：互不重叠，覆盖全部场域；每个单元内介质是 单一、均匀的。 节点：网格的交点，待求变量的设置点。 需要记录信息： 节点编号、节点坐标 节点属性(激励源、是否边界等) 单元编号 单元节点编号 单元介质
在积分 Kij


Ni L( N j )d 中，对于确定的 i，j的有效取
值为i本身以及与节点i相联的周围节点，积分的有效区域为 以i、j为公共节点的所有三角形单元 ，在这些单元中Ni、Nj 才有交叠。 这些积分可以分单元进行。例如对 右图所示的局部编码，K01、K00以及 b0的计算公式为：
K 00
K 01
1 2 3 4 5 6
N 0 L( N 0 )d
1 6
N 0 L( N1 )d
b0
1 2 3 4 5 6
N 0 fd
以下把单元e的贡献记为
(e) Kij Ni( e ) L( N (j e ) )d e
(e) 每个 K ij 或 bi 的计算都在具体的单元内单独考虑（称 为单元分析）。
(e)
三角形单元内的基函数
设三角形三个顶点处待求函数值 分别为u1, u2, u3。如果单元足够小， 可以采用线性近似，将单元内任 意p点的u(x,y)表示为
u ( x, y ) a bx cy
代入三个顶点的坐标和函数值， 可以解出a、b、c。得到
bi( e ) N i( e ) f ( e ) d
e
这样，就有
(1) (2) (3) (4) (5) (6) K00 K00 K00 K00 K00 K00 K00 (1) (6) K01 K01 K01 (1) (2) (3) (4) (5) (6) b0 b0 b0 b0 b0 b0 b0